⚖️

Εξισώσεις α' βαθμού

Αλγεβρικές παραστάσεις, επίλυση αx + β = γ, προβλήματα

Γιατί με νοιάζει;

Ο φίλος σου λέει: «Σκέφτηκα έναν αριθμό, τον διπλασίασα, πρόσθεσα $7$ και βγήκε $31$ ». Εσύ απαντάς σε δύο δευτερόλεπτα: « $12$ !». Δεν είναι μαγεία — είναι η εξίσωση $2x + 7 = 31$ . Κάθε «μάντεψε τον αριθμό» είναι μια εξίσωση μεταμφιεσμένη, και σε αυτό το κεφάλαιο μαθαίνεις να τις ξεμασκαρεύεις όλες.

Από τη μεταβλητή στην εξίσωση

Ένα γράμμα όπως το $x$ μπορεί να παριστάνει οποιονδήποτε αριθμό — γι' αυτό το λέμε μεταβλητή. Μια έκφραση με αριθμούς, μεταβλητές και πράξεις, π.χ. $3x + 5 - 2x$ , λέγεται αλγεβρική παράσταση. Όροι με την ίδια μεταβλητή λέγονται όμοιοι όροι και τους ενώνουμε με αναγωγή ομοίων όρων: $3x - 2x = x$ .

Εξίσωση α' βαθμού είναι μια ισότητα με άγνωστο $x$ σε πρώτη δύναμη, π.χ. $5x - 3 = 2x + 9$ . Λύση (ρίζα) της εξίσωσης είναι ο αριθμός που την επαληθεύει.

Αριθμητική τιμή και απλοποίηση παράστασης

Όταν στη θέση της μεταβλητής βάλουμε έναν αριθμό και κάνουμε τις πράξεις, βρίσκουμε την αριθμητική τιμή της παράστασης. Π.χ. για $x = 2$ η $3x + 5$ έχει τιμή $3 \cdot 2 + 5 = 11$ .

Πριν αντικαταστήσουμε, συμφέρει να απλοποιήσουμε την παράσταση: βγάζουμε τις παρενθέσεις με την επιμεριστική ιδιότητα και κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων. Προσοχή στο μείον μπροστά από παρένθεση: αλλάζει το πρόσημο σε όλους τους όρους της, π.χ. $-(x - 4) = -x + 4$ και $-2(x - 5) = -2x + 10$ .

Παράδειγμα: Να απλοποιηθεί η παράσταση $A = 3(x - 2) - 2(x - 5) + x$ και να βρεθεί η τιμή της για $x = -1$ .

Απλοποίηση: επιμεριστική σε κάθε παρένθεση, με το πρόσημο μπροστά της:

$A = 3x - 6 - 2x + 10 + x = (3 - 2 + 1)x + (-6 + 10) = 2x + 4$

Τιμή για $x = -1$ : $A = 2 \cdot (-1) + 4 = -2 + 4 = 2$ .

Έλεγχος στην αρχική μορφή: $3(-1 - 2) - 2(-1 - 5) + (-1) = -9 + 12 - 1 = 2$ ✓

Γρήγορος έλεγχος

Με ποια παράσταση είναι ίση η $5 - 2(x - 3)$ ;

Η εξίσωση είναι ζυγαριά σε ισορροπία: ό,τι κάνεις στο ένα μέλος, κάνε το και στο άλλο — μέχρι να μείνει μόνο το x.

Τα βήματα επίλυσης

Απαλοιφή παρονομαστών: πολλαπλασιάζουμε όλους τους όρους με το ΕΚΠ των παρονομαστών.
Απαλοιφή παρενθέσεων με την επιμεριστική ιδιότητα.
Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους: μεταφέρουμε όρους από το ένα μέλος στο άλλο αλλάζοντας πρόσημο.
Αναγωγή ομοίων όρων σε κάθε μέλος.
Διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου.

$\alpha x + \beta = \gamma \Rightarrow \alpha x = \gamma - \beta \Rightarrow x = \frac{\gamma - \beta}{\alpha}, \quad \alpha \neq 0$

Ήξερες ότι;

Η λέξη Άλγεβρα βγαίνει από το αραβικό «al-jabr» («αποκατάσταση»), λέξη του τίτλου ενός βιβλίου που έγραψε γύρω στο $820$ μ.Χ. ο Πέρσης μαθηματικός αλ-Χουαρίζμι. «Αποκατάσταση» ήταν ακριβώς αυτό που κάνεις κι εσύ: περνάς έναν όρο που αφαιρείται στο άλλο μέλος, ώστε να γίνει θετικός. Από το όνομα του ίδιου του αλ-Χουαρίζμι βγήκε και η λέξη αλγόριθμος.

Παράδειγμα (τύπου διαγωνίσματος): Λύσε την $\frac{x-1}{3} - \frac{x+2}{2} = 1$ .

ΕΚΠ(3, 2) = 6, πολλαπλασιάζουμε όλους τους όρους με 6:

$6 \cdot \frac{x-1}{3} - 6 \cdot \frac{x+2}{2} = 6 \cdot 1 \Rightarrow 2(x-1) - 3(x+2) = 6$

$2x - 2 - 3x - 6 = 6 \Rightarrow -x - 8 = 6 \Rightarrow -x = 14 \Rightarrow x = -14$ .

Επαλήθευση: $\frac{-14-1}{3} - \frac{-14+2}{2} = -5 - (-6) = 1$ ✓

Γρήγορος έλεγχος

Πολλαπλασιάζοντας όλους τους όρους της $\frac{x}{2} - \frac{x-1}{3} = 1$ με το ΕΚΠ $6$ , ποια εξίσωση παίρνουμε;

Παράδειγμα 2 (με παρενθέσεις και στα δύο μέλη): Να λυθεί η $3(x - 2) - 2(x + 1) = 5 - (x - 3)$ .

Απαλοιφή παρενθέσεων:

$3x - 6 - 2x - 2 = 5 - x + 3$

Αναγωγή σε κάθε μέλος: $x - 8 = 8 - x$ .

Γνωστοί–άγνωστοι: $x + x = 8 + 8 \Rightarrow 2x = 16 \Rightarrow x = 8$ .

Επαλήθευση: πρώτο μέλος $3 \cdot 6 - 2 \cdot 9 = 18 - 18 = 0$ , δεύτερο μέλος $5 - 5 = 0$ ✓

Ειδικές περιπτώσεις

Αν καταλήξουμε σε $0x = \beta$ με $\beta \neq 0$ , η εξίσωση είναι αδύνατη. Αν καταλήξουμε σε $0x = 0$ , είναι ταυτότητα — την επαληθεύει κάθε αριθμός.

Επίλυση προβλημάτων

Στα προβλήματα: ονομάζουμε τον άγνωστο $x$ , μεταφράζουμε την εκφώνηση σε εξίσωση, λύνουμε και ελέγχουμε αν η λύση έχει νόημα. Π.χ. «Ο πατέρας είναι 26 χρόνια μεγαλύτερος από τον γιο και σε 4 χρόνια θα έχει τη διπλάσια ηλικία»: αν ο γιος είναι $x$ , τότε $x + 26 + 4 = 2(x + 4) \Rightarrow x + 30 = 2x + 8 \Rightarrow x = 22$ .

Παράδειγμα 3 (αδύνατη ή ταυτότητα;): Να λυθούν οι εξισώσεις (α) $2(x - 3) + 4 = 2x - 2$ και (β) $3(x + 1) - x = 2(x + 2)$ .

(α) $2x - 6 + 4 = 2x - 2 \Rightarrow 2x - 2x = -2 + 2 \Rightarrow 0x = 0$ . Την επαληθεύει κάθε αριθμός: είναι ταυτότητα.

(β) $3x + 3 - x = 2x + 4 \Rightarrow 2x + 3 = 2x + 4 \Rightarrow 0x = 1$ . Κανένας αριθμός πολλαπλασιασμένος με $0$ δεν δίνει $1$ : η εξίσωση είναι αδύνατη.

Πρόσεξε: στο $0x = 0$ δεν γράφουμε « $x = 0$ » — λύση είναι κάθε αριθμός, όχι μόνο το $0$ .

Γρήγορος έλεγχος

Ποια είναι η λύση της εξίσωσης $5x - 3 = 2x + 9$ ;

Γρήγορος έλεγχος

Η εξίσωση $2(x + 3) = 2x + 5$ είναι:

Πρόκληση

Ένα αρχαίο ελληνικό επίγραμμα-γρίφος (από την Παλατινή Ανθολογία) περιγράφει έτσι τη ζωή του μαθηματικού Διόφαντου: το $\frac{1}{6}$ της ζωής του ήταν παιδί· μετά από άλλο $\frac{1}{12}$ του φύτρωσε γένι· μετά από άλλο $\frac{1}{7}$ παντρεύτηκε· $5$ χρόνια αργότερα απέκτησε γιο· ο γιος έζησε τη μισή ζωή του πατέρα του· και ο Διόφαντος πέθανε $4$ χρόνια μετά τον γιο. Πόσα χρόνια έζησε (αν πιστέψουμε το επίγραμμα);

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Έστω $x$ τα χρόνια της ζωής του. Όλα τα κομμάτια μαζί δίνουν ολόκληρη τη ζωή:

$\frac{x}{6} + \frac{x}{12} + \frac{x}{7} + 5 + \frac{x}{2} + 4 = x$

ΕΚΠ $(6, 12, 7, 2) = 84$ . Πολλαπλασιάζουμε όλους τους όρους με $84$ :

$14x + 7x + 12x + 420 + 42x + 336 = 84x$

$75x + 756 = 84x \Rightarrow 756 = 9x \Rightarrow x = 84$ .

Επαλήθευση: $14 + 7 + 12 + 5 + 42 + 4 = 84$ ✓. Ο Διόφαντος έζησε $84$ χρόνια.

Κόλπο μνήμης

«Περνάει απέναντι, αλλάζει πρόσημο.» Πες το δυνατά κάθε φορά που μεταφέρεις όρο — η μεταφορά χωρίς αλλαγή προσήμου είναι το πιο συχνό λάθος στο διαγώνισμα. Και στο τέλος, 10 δευτερόλεπτα επαλήθευση στην αρχική εξίσωση πιάνουν σχεδόν όλα τα λάθη πράξεων.

Συνηθισμένα λάθη

Το ΕΚΠ δεν πολλαπλασιάζει τους ακέραιους όρους. Στην $\frac{x}{2} + 3 = x$ πολλαπλασιάζεις με $2$ και το $3$ : $x + 6 = 2x$ , όχι $x + 3 = 2x$ .
Μείον μπροστά από κλάσμα. Το $-\frac{x-1}{3}$ γίνεται μετά την απαλοιφή $-(x - 1) = -x + 1$ — βάλε πάντα παρένθεση στον αριθμητή.
Διαίρεση με αρνητικό συντελεστή. Από $-3x = 12$ βγαίνει $x = -4$ · το πρόσημο του συντελεστή «περνάει» στη λύση.
Λάθος συμπέρασμα στο $0x = 0$ . Δεν είναι « $x = 0$ »· είναι ταυτότητα, με λύση κάθε αριθμό.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Απλοποίηση παράστασης: επιμεριστική (προσοχή στο μείον μπροστά από παρένθεση) και αναγωγή ομοίων όρων.
Βήματα επίλυσης: απαλοιφή παρονομαστών → παρενθέσεων → γνωστοί/άγνωστοι → αναγωγή → διαίρεση με τον συντελεστή.
$\alpha x = \beta$ με $\alpha \neq 0$ : μοναδική λύση $x = \frac{\beta}{\alpha}$ .
$0x = \beta$ με $\beta \neq 0$ : αδύνατη · $0x = 0$ : ταυτότητα.
Πάντα επαλήθευση στην αρχική εξίσωση.

Από τη μεταβλητή στην εξίσωση

Ένα γράμμα όπως το

x

μπορεί να παριστάνει οποιονδήποτε αριθμό — γι' αυτό το λέμε μεταβλητή. Μια έκφραση με αριθμούς, μεταβλητές και πράξεις, π.χ.

3x + 5 - 2x

, λέγεται αλγεβρική παράσταση. Όροι με την ίδια μεταβλητή λέγονται όμοιοι όροι και τους ενώνουμε με αναγωγή ομοίων όρων:

3x - 2x = x

Εξίσωση α' βαθμού είναι μια ισότητα με άγνωστο

x

σε πρώτη δύναμη, π.χ.

5x - 3 = 2x + 9

. Λύση (ρίζα) της εξίσωσης είναι ο αριθμός που την επαληθεύει.