🔄

Η Συνάρτηση y = α/x — Υπερβολή

Αντιστρόφως ανάλογα ποσά, πίνακας τιμών, κλάδοι και ασύμπτωτες

Γιατί με νοιάζει;

Αν πας στο σχολείο με διπλάσια ταχύτητα, φτάνεις στον μισό χρόνο. Αν μια πίτσα τη μοιραστούν $8$ φίλοι αντί για $4$ , ο καθένας παίρνει το μισό κομμάτι. Τέτοια ζευγάρια ποσών είναι παντού — αλλά η γραφική τους παράσταση δεν είναι ευθεία. Είναι μια καμπύλη που τρέχει προς το άπειρο χωρίς να αγγίζει ποτέ τους άξονες: η υπερβολή.

Όταν το ένα μεγαλώνει, το άλλο μικραίνει

Έχεις $12$ € για σοκολάτες. Αν η σοκολάτα κοστίζει $1$ €, παίρνεις $12$ · αν κοστίζει $2$ €, παίρνεις $6$ · αν κοστίζει $3$ €, παίρνεις $4$ . Όσο διπλασιάζεται η τιμή, το πλήθος υποδιπλασιάζεται — αλλά το γινόμενό τους μένει καρφωμένο στο $12$ .

Δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα όταν, πολλαπλασιάζοντας το ένα με έναν αριθμό, το άλλο διαιρείται με τον ίδιο αριθμό — δηλαδή όταν το γινόμενό τους μένει σταθερό: $x \cdot y = \alpha$ .

Λύνοντας ως προς $y$ , παίρνουμε μια νέα συνάρτηση, διαφορετική από τις ευθείες $y = \alpha x$ που ήδη ξέρεις:

$y = \frac{\alpha}{x}, \quad \alpha \neq 0, \; x \neq 0 \qquad \Leftrightarrow \qquad x \cdot y = \alpha$

Πίνακας τιμών — και μια έκπληξη στο σχήμα

Ας φτιάξουμε πίνακα τιμών για την $y = \frac{12}{x}$ :

για $x = 1, 2, 3, 6, 12$ παίρνουμε $y = 12, 6, 4, 2, 1$
για $x = -1, -2, -3, -6, -12$ παίρνουμε $y = -12, -6, -4, -2, -1$

Πρόσεξε δύο πράγματα. Πρώτον, το $x = 0$ απαγορεύεται — διαίρεση με το μηδέν δεν ορίζεται, άρα η καμπύλη δεν έχει κανένα σημείο πάνω στον άξονα $y'y$ . Δεύτερον, σε κάθε ζεύγος το γινόμενο είναι $12$ : αυτό είναι το «δαχτυλικό αποτύπωμα» των αντιστρόφως αναλόγων.

Αν τοποθετήσεις τα σημεία και τα ενώσεις, δεν βγαίνει ευθεία: βγαίνει μια καμπύλη με δύο χωριστούς κλάδους που λέγεται υπερβολή.

Αν $\alpha > 0$ : οι κλάδοι ζουν στο 1ο και 3ο τεταρτημόριο (τα $x, y$ έχουν ίδιο πρόσημο).
Αν $\alpha < 0$ : οι κλάδοι ζουν στο 2ο και 4ο τεταρτημόριο (τα $x, y$ έχουν αντίθετο πρόσημο).

Σύγκρινε τα ανάλογα με τα αντιστρόφως ανάλογα ποσά: η y = αx είναι ευθεία που περνά από την αρχή των αξόνων, ενώ η y = α/x λυγίζει σε δύο κλάδους — σύρε το x και δες το γινόμενο x·y να μένει σταθερό.

Γρήγορος έλεγχος

Για τη συνάρτηση $y = \frac{12}{x}$ , ποια είναι η τιμή του $y$ όταν $x = 3$ ;

Γρήγορος έλεγχος

Ποιο σημείο ανήκει στην υπερβολή $y = -\frac{8}{x}$ ;

Η καμπύλη που πλησιάζει αλλά δεν αγγίζει

Τι γίνεται στις «άκρες» της υπερβολής; Πάρε την $y = \frac{12}{x}$ και στείλε το $x$ σε όλο και μεγαλύτερες τιμές: για $x = 100$ , $y = 0{,}12$ · για $x = 1000$ , $y = 0{,}012$ . Το $y$ πλησιάζει το μηδέν όσο θέλουμε, αλλά ποτέ δεν γίνεται μηδέν — γιατί κανένα κλάσμα με αριθμητή $12$ δεν μηδενίζεται. Η καμπύλη «κολλάει» στον άξονα $x'x$ χωρίς να τον ακουμπά.

Το ίδιο συμβαίνει κοντά στο μηδέν: για $x = 0{,}1$ , $y = 120$ · για $x = 0{,}01$ , $y = 1200$ . Όσο το $x$ πλησιάζει το $0$ , η καμπύλη εκτοξεύεται προς τα πάνω «αγκαλιάζοντας» τον άξονα $y'y$ χωρίς να τον τέμνει ποτέ.

Οι δύο άξονες λέγονται ασύμπτωτες της υπερβολής: ευθείες που η καμπύλη πλησιάζει απεριόριστα χωρίς να τις αγγίζει.

Η υπερβολή έχει και όμορφες συμμετρίες: τα σημεία $(x, y)$ και $(-x, -y)$ ανήκουν και τα δύο στην καμπύλη, άρα έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων $O$ . Επιπλέον, άξονες συμμετρίας της είναι οι διχοτόμοι των γωνιών των αξόνων, δηλαδή οι ευθείες $y = x$ και $y = -x$ .

Κάνε ζουμ στις άκρες της υπερβολής: όσο κι αν πλησιάζεις, ανάμεσα στην καμπύλη και στον άξονα μένει πάντα ένα κενό — αυτό σημαίνει «ασύμπτωτη».

Ήξερες ότι;

Το όνομα «υπερβολή» είναι ελληνικό. Το καθιέρωσε ο Απολλώνιος ο Περγαίος (3ος–2ος αι. π.Χ.) στο έργο του «Κωνικά», όπου μελέτησε τις καμπύλες που βγαίνουν όταν κόβεις έναν κώνο με ένα επίπεδο — από εκεί προέρχονται και τα ονόματα «έλλειψη» και «παραβολή». Η ίδια καμπύλη εμφανίζεται και στη Φυσική: σε σταθερή θερμοκρασία, η πίεση επί τον όγκο ενός αερίου μένει σταθερή (νόμος του Boyle).

Μέθοδος: από τα δεδομένα στον τύπο και στο σχήμα

Έλεγξε τα γινόμενα $x \cdot y$ στον πίνακα τιμών ή στα δεδομένα: αν είναι όλα ίσα, τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα.
Το σταθερό γινόμενο είναι το $\alpha$ , άρα ο τύπος είναι $y = \frac{\alpha}{x}$ .
Από το πρόσημο του $\alpha$ βρες τα τεταρτημόρια: $\alpha > 0$ 1ο–3ο, $\alpha < 0$ 2ο–4ο.
Για να σχεδιάσεις, φτιάξε πίνακα τιμών και με αρνητικά $x$ — ποτέ όμως $x = 0$ .
Σημείο ανήκει στην υπερβολή $\iff$ $x \cdot y = \alpha$ .

Παράδειγμα: Ένα αυτοκίνητο θα διανύσει $240$ km. Να εκφραστεί ο χρόνος $t$ (σε ώρες) ως συνάρτηση της ταχύτητας $v$ (σε km/h) και να βρεθεί ο χρόνος για $v = 60$ , $v = 80$ και $v = 120$ km/h.

Από τη σχέση απόσταση $=$ ταχύτητα $\times$ χρόνος: $v \cdot t = 240$ , άρα

$t = \frac{240}{v}$

Τα ποσά $v, t$ είναι αντιστρόφως ανάλογα με σταθερό γινόμενο $240$ :

$v = 60$ : $t = \frac{240}{60} = 4$ ώρες
$v = 80$ : $t = \frac{240}{80} = 3$ ώρες
$v = 120$ : $t = \frac{240}{120} = 2$ ώρες

Διπλασιάζοντας την ταχύτητα από $60$ σε $120$ km/h, ο χρόνος υποδιπλασιάστηκε από $4$ σε $2$ ώρες — ακριβώς η συμπεριφορά της υπερβολής. Στο πρόβλημα αυτό έχει νόημα μόνο ο κλάδος με $v > 0$ .

Παράδειγμα 2 (τύπου διαγωνίσματος): Η υπερβολή $y = \frac{\alpha}{x}$ περνά από το σημείο $A(-2, 3)$ . (α) Να βρεθεί το $\alpha$ . (β) Σε ποια τεταρτημόρια βρίσκονται οι κλάδοι της; (γ) Ανήκουν σε αυτήν τα σημεία $B(3, -2)$ και $\Gamma(1, 6)$ ;

(α) Το $A$ ανήκει, άρα $\alpha = x \cdot y = (-2) \cdot 3 = -6$ και $y = -\frac{6}{x}$ .

(β) Αφού $\alpha = -6 < 0$ , οι κλάδοι βρίσκονται στο 2ο και 4ο τεταρτημόριο.

(γ) Για το $B$ : $3 \cdot (-2) = -6$ ✓, ανήκει. Για το $\Gamma$ : $1 \cdot 6 = 6 \neq -6$ , δεν ανήκει — βρίσκεται στο 1ο τεταρτημόριο, όπου η καμπύλη δεν περνά καθόλου.

Παράδειγμα 3 (εργάτες και μέρες): $6$ εργάτες τελειώνουν ένα έργο σε $10$ μέρες. Αν όλοι δουλεύουν με τον ίδιο ρυθμό, σε πόσες μέρες θα το τελειώσουν $15$ εργάτες;

Περισσότεροι εργάτες $\to$ λιγότερες μέρες: τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα, με σταθερό γινόμενο

$\alpha = 6 \cdot 10 = 60 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{60}{x}$

όπου $x$ οι εργάτες και $y$ οι μέρες. Για $x = 15$ : $y = \frac{60}{15} = 4$ μέρες.

Εδώ το $x$ είναι φυσικός αριθμός, άρα η γραφική παράσταση αποτελείται από μεμονωμένα σημεία του κλάδου στο 1ο τεταρτημόριο.

Γρήγορος έλεγχος

Τα ποσά $x$ και $y$ είναι αντιστρόφως ανάλογα και για $x = 2$ είναι $y = 9$ . Ποιος είναι ο τύπος της συνάρτησης;

Γρήγορος έλεγχος

Για ποιες τιμές του $\alpha$ οι κλάδοι της υπερβολής $y = \frac{\alpha}{x}$ βρίσκονται στο 2ο και στο 4ο τεταρτημόριο;

Γρήγορος έλεγχος

Σε ποιο σημείο η υπερβολή $y = \frac{\alpha}{x}$ τέμνει τον άξονα $x'x$ ;

Πρόκληση

Θέλεις να φτιάξεις ορθογώνιο κήπο με εμβαδόν $24 \text{ m}^2$ και πλευρές ακέραια μέτρα. (α) Πόσα διαφορετικά ορθογώνια υπάρχουν; (β) Ποιο θέλει τη λιγότερη περίφραξη;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Αν οι πλευρές είναι $x$ και $y$ , τότε $x \cdot y = 24$ , δηλαδή $y = \frac{24}{x}$ : όλα τα ορθογώνια είναι σημεία της ίδιας υπερβολής.

(α) Οι ακέραιοι διαιρέτες του $24$ δίνουν τα ζεύγη $1 \times 24$ , $2 \times 12$ , $3 \times 8$ , $4 \times 6$ (το $6 \times 4$ είναι το ίδιο ορθογώνιο γυρισμένο). Άρα $4$ ορθογώνια.

(β) Περίμετροι: $2(1 + 24) = 50$ , $2(2 + 12) = 28$ , $2(3 + 8) = 22$ , $2(4 + 6) = 20$ m. Τη λιγότερη περίφραξη θέλει το $4 \times 6$ , με $20$ m. Παρατήρησε: όσο πιο «τετράγωνο» το σχήμα, τόσο μικρότερη η περίμετρος για το ίδιο εμβαδόν.

Κόλπο μνήμης

«Γινόμενο $\to$ υπερβολή, λόγος $\to$ ευθεία.» Για να αναγνωρίσεις αντιστρόφως ανάλογα ποσά σε πίνακα τιμών, μην κοιτάς διαφορές — κοίτα γινόμενα: αν όλα τα $x \cdot y$ βγάζουν τον ίδιο αριθμό, αυτός είναι το $\alpha$ και ο τύπος είναι $y = \frac{\alpha}{x}$ . Αν σταθερός είναι ο λόγος $\frac{y}{x}$ , τότε τα ποσά είναι ανάλογα και η γραφική παράσταση ευθεία.

Συνηθισμένα λάθη

Ενωμένοι κλάδοι: οι δύο κλάδοι δεν ενώνονται περνώντας από το $O$ — για $x = 0$ η συνάρτηση δεν ορίζεται.
$x = 0$ στον πίνακα τιμών: η διαίρεση με το μηδέν δεν ορίζεται, οπότε η στήλη αυτή απλώς δεν υπάρχει.
Λάθος τεταρτημόρια: με $\alpha < 0$ οι κλάδοι είναι στο 2ο–4ο· έλεγξε το πρόσημο με ένα σημείο, π.χ. $x = 1 \Rightarrow y = \alpha$ .
Καμπύλη που «ακουμπά» τον άξονα: κοντά στους άξονες η υπερβολή πλησιάζει όλο και περισσότερο, αλλά δεν τους αγγίζει ποτέ.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Αντιστρόφως ανάλογα ποσά: $x \cdot y = \alpha$ σταθερό, δηλαδή $y = \frac{\alpha}{x}$ με $\alpha \neq 0$ , $x \neq 0$ .
Γραφική παράσταση: υπερβολή με δύο κλάδους.
$\alpha > 0$ : 1ο–3ο τεταρτημόριο · $\alpha < 0$ : 2ο–4ο.
Ασύμπτωτες οι άξονες · κέντρο συμμετρίας το $O$ · άξονες συμμετρίας οι $y = x$ και $y = -x$ .
Σημείο $(x_0, y_0)$ ανήκει $\iff x_0 \cdot y_0 = \alpha$ .

Όταν το ένα μεγαλώνει, το άλλο μικραίνει

Έχεις

12

€ για σοκολάτες. Αν η σοκολάτα κοστίζει

1

€, παίρνεις

12

· αν κοστίζει

2

€, παίρνεις

6

· αν κοστίζει

3

€, παίρνεις

4

. Όσο διπλασιάζεται η τιμή, το πλήθος υποδιπλασιάζεται — αλλά το γινόμενό τους μένει καρφωμένο στο

12

x \cdot y = \alpha

Λύνοντας ως προς

y

, παίρνουμε μια νέα συνάρτηση, διαφορετική από τις ευθείες

y = \alpha x

που ήδη ξέρεις:

Πίνακας τιμών — και μια έκπληξη στο σχήμα

Ας φτιάξουμε πίνακα τιμών για την

y = \frac{12}{x}

για

x = 1, 2, 3, 6, 12

παίρνουμε

y = 12, 6, 4, 2, 1

για

x = -1, -2, -3, -6, -12

παίρνουμε

y = -12, -6, -4, -2, -1

Πρόσεξε δύο πράγματα. Πρώτον, το

x = 0

απαγορεύεται — διαίρεση με το μηδέν δεν ορίζεται, άρα η καμπύλη δεν έχει κανένα σημείο πάνω στον άξονα

y'y

. Δεύτερον, σε κάθε ζεύγος το γινόμενο είναι

12

: αυτό είναι το «δαχτυλικό αποτύπωμα» των αντιστρόφως αναλόγων.

Αν

\alpha > 0

: οι κλάδοι ζουν στο 1ο και 3ο τεταρτημόριο (τα

x, y

έχουν ίδιο πρόσημο).

Αν

\alpha < 0

: οι κλάδοι ζουν στο 2ο και 4ο τεταρτημόριο (τα

x, y

έχουν αντίθετο πρόσημο).

Η καμπύλη που πλησιάζει αλλά δεν αγγίζει

Τι γίνεται στις «άκρες» της υπερβολής; Πάρε την

y = \frac{12}{x}

και στείλε το

x

σε όλο και μεγαλύτερες τιμές: για

x = 100

y = 0{,}12

· για

x = 1000

y = 0{,}012

. Το

y

πλησιάζει το μηδέν όσο θέλουμε, αλλά ποτέ δεν γίνεται μηδέν — γιατί κανένα κλάσμα με αριθμητή

12

δεν μηδενίζεται. Η καμπύλη «κολλάει» στον άξονα

x'x

χωρίς να τον ακουμπά.

Το ίδιο συμβαίνει κοντά στο μηδέν: για

x = 0{,}1

y = 120

· για

x = 0{,}01

y = 1200

. Όσο το

x

πλησιάζει το

0

, η καμπύλη εκτοξεύεται προς τα πάνω «αγκαλιάζοντας» τον άξονα

y'y

χωρίς να τον τέμνει ποτέ.

Η υπερβολή έχει και όμορφες συμμετρίες: τα σημεία

(x, y)

και

(-x, -y)

ανήκουν και τα δύο στην καμπύλη, άρα έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων

O

. Επιπλέον, άξονες συμμετρίας της είναι οι διχοτόμοι των γωνιών των αξόνων, δηλαδή οι ευθείες

y = x

και

y = -x