🎯

Γραμμικά Συστήματα

Σύστημα 2×2, γραφική ερμηνεία, αντικατάσταση, αντίθετοι συντελεστές, διερεύνηση

Γιατί με νοιάζει;

Πήγες στην καντίνα και πήρες $2$ σουβλάκια και $1$ αναψυκτικό με $8$ €. Ο φίλος σου πήρε $1$ σουβλάκι και $1$ αναψυκτικό με $5$ €. Πόσο κοστίζει το σουβλάκι; Δύο άγνωστοι, δύο πληροφορίες — αυτό είναι ένα γραμμικό σύστημα. Με την ίδια ιδέα οι υπολογιστές λύνουν συστήματα με χιλιάδες αγνώστους, από τη στατική μιας γέφυρας ως την πρόγνωση του καιρού.

Τι είναι ένα γραμμικό σύστημα

Στην καντίνα, αν $x$ η τιμή του σουβλακιού και $y$ του αναψυκτικού, τότε $2x + y = 8$ και $x + y = 5$ .

Κάθε εξίσωση της μορφής $\alpha x + \beta y = \gamma$ (με $\alpha, \beta$ όχι και τα δύο μηδέν) λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Η γραφική της παράσταση είναι ευθεία. Λύση της είναι κάθε ζεύγος $(x, y)$ που την επαληθεύει. Άρα μία εξίσωση μόνη της έχει άπειρες λύσεις: όλα τα σημεία της ευθείας.

Γραμμικό σύστημα 2×2 λέμε δύο τέτοιες εξισώσεις που πρέπει να ισχύουν ταυτόχρονα:

$\begin{cases} \alpha_1 x + \beta_1 y = \gamma_1 \\ \alpha_2 x + \beta_2 y = \gamma_2 \end{cases}$

Λύση του συστήματος είναι κάθε ζεύγος που επαληθεύει και τις δύο εξισώσεις μαζί. Στην καντίνα: σουβλάκι $3$ €, αναψυκτικό $2$ € — έλεγξε ότι το $(3, 2)$ «δουλεύει» και στις δύο.

Σύρε τους συντελεστές και δες τις ευθείες να κινούνται στο επίπεδο — θα ανακαλύψεις ότι η λύση του συστήματος είναι ακριβώς το σημείο όπου οι δύο ευθείες συναντιούνται.

Γραφική ερμηνεία — τρία πιθανά σενάρια

Αφού κάθε εξίσωση είναι μια ευθεία, το να λύσεις το σύστημα σημαίνει να βρεις τα κοινά σημεία δύο ευθειών. Δύο ευθείες στο επίπεδο μπορούν να κάνουν μόνο τρία πράγματα:

Τέμνονται σε ένα σημείο → το σύστημα έχει μοναδική λύση, τις συντεταγμένες του σημείου τομής.
Είναι παράλληλες (ίδια κλίση, δεν ακουμπούν ποτέ) → το σύστημα είναι αδύνατο, καμία λύση.
Ταυτίζονται (η μία εξίσωση είναι «μεταμφιεσμένη» η άλλη) → το σύστημα έχει άπειρες λύσεις, όλα τα σημεία της κοινής ευθείας.

Παράδειγμα με το μάτι: οι $x + y = 1$ και $2x + 2y = 2$ ταυτίζονται (διαίρεσε τη δεύτερη με το 2), ενώ οι $x + y = 1$ και $x + y = 3$ είναι παράλληλες — το ίδιο άθροισμα δεν γίνεται να βγάζει και $1$ και $3$ .

Γρήγορος έλεγχος

Πόσες λύσεις έχει το σύστημα $x + y = 1$ και $x + y = 3$ ;

Κόλπο μνήμης

σκέψου τις δύο εξισώσεις ως δύο δρόμους. Αν διασταυρώνονται, συναντιούνται σε ένα σημείο: μία λύση. Αν είναι παράλληλοι, δεν συναντιούνται ποτέ: αδύνατο. Αν είναι ο ίδιος δρόμος γραμμένος αλλιώς, «συναντιούνται» παντού: άπειρες λύσεις.

Μέθοδος της αντικατάστασης

Η ιδέα: λύνω τη μία εξίσωση ως προς έναν άγνωστο και τον «φυτεύω» στην άλλη, ώστε να μείνει εξίσωση με έναν μόνο άγνωστο.

Στο σύστημα της καντίνας $\begin{cases} 2x + y = 8 \\ x + y = 5 \end{cases}$ :

Από τη δεύτερη: $y = 5 - x$ .
Αντικαθιστώ στην πρώτη: $2x + (5 - x) = 8 \Rightarrow x + 5 = 8 \Rightarrow x = 3$ .
Επιστρέφω: $y = 5 - 3 = 2$ .

Λύση το ζεύγος $(x, y) = (3, 2)$ . Η αντικατάσταση συμφέρει όταν κάποιος άγνωστος έχει συντελεστή $1$ ή $-1$ — λύνεται εύκολα ως προς αυτόν χωρίς κλάσματα.

Μέθοδος των αντίθετων συντελεστών

Η ιδέα: πολλαπλασιάζω τις εξισώσεις με κατάλληλους αριθμούς ώστε ένας άγνωστος να αποκτήσει αντίθετους συντελεστές, και μετά προσθέτω κατά μέλη — ο άγνωστος αυτός εξαφανίζεται.

Παράδειγμα: $\begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ x - 2y = -4 \end{cases}$

Οι συντελεστές του $y$ είναι ήδη αντίθετοι ( $2$ και $-2$ ). Προσθέτω κατά μέλη:

$4x = 8 \Rightarrow x = 2$

Από τη δεύτερη: $2 - 2y = -4 \Rightarrow y = 3$ . Λύση $(2, 3)$ — επαλήθευση στην πρώτη: $3 \cdot 2 + 2 \cdot 3 = 12$ ✓

Αν οι συντελεστές δεν είναι έτοιμοι, τους «κατασκευάζεις»: στο $\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 3x + 2y = 8 \end{cases}$ πολλαπλασίασε την πρώτη με $3$ και τη δεύτερη με $-2$ , ώστε ο $x$ να πάρει συντελεστές $6$ και $-6$ .

Ήξερες ότι;

Η απαλοιφή αγνώστων είναι πανάρχαια. Το κινεζικό βιβλίο «Εννέα κεφάλαια της μαθηματικής τέχνης», που πήρε την τελική του μορφή πριν από περίπου $2000$ χρόνια, λύνει συστήματα με ραβδάκια αρίθμησης σε πίνακα, απαλείφοντας τους αγνώστους έναν-έναν. Είναι ουσιαστικά η μέθοδος που στην Ευρώπη έμεινε γνωστή με το όνομα του Gauss, πολλούς αιώνες αργότερα.

Μέθοδος: επίλυση και διερεύνηση συστήματος 2×2

Απλοποίησε κάθε εξίσωση (απαλοιφή παρονομαστών, πράξεις) ώστε να πάρει τη μορφή $\alpha x + \beta y = \gamma$ .
Διάλεξε μέθοδο: αντικατάσταση αν κάποιος άγνωστος έχει συντελεστή $\pm 1$ , αλλιώς αντίθετοι συντελεστές.
Με παράμετρο: απάλειψε τον έναν άγνωστο και φέρε τη μορφή $A \cdot x = B$ . Παραγοντοποίησε το $A$ : αν $A \neq 0$ υπάρχει μοναδική λύση, αν $A = 0$ και $B \neq 0$ το σύστημα είναι αδύνατο, αν $A = B = 0$ ξαναγράψε το αρχικό σύστημα για αυτή την τιμή και δες αν οι εξισώσεις ταυτίζονται.
Βρες και τον δεύτερο άγνωστο και επαλήθευσε στις δύο αρχικές εξισώσεις.

Γρήγορος έλεγχος

Στο σύστημα $2x + y = 7$ και $x - y = 2$ , ποια είναι η τιμή του $y$ ;

Παράδειγμα: Σε μια θεατρική παράσταση κόπηκαν $120$ εισιτήρια, ενηλίκων προς $8$ € και παιδικά προς $5$ €, με συνολικές εισπράξεις $810$ €. Πόσα εισιτήρια κάθε είδους κόπηκαν;

Λύση: Έστω $x$ τα εισιτήρια ενηλίκων και $y$ τα παιδικά:

$\begin{cases} x + y = 120 \\ 8x + 5y = 810 \end{cases}$

Από την πρώτη $y = 120 - x$ , και με αντικατάσταση: $8x + 5(120 - x) = 810 \iff 3x + 600 = 810 \iff x = 70$ . Άρα $y = 50$ .

Έλεγχος: $70 + 50 = 120$ ✓ και $8 \cdot 70 + 5 \cdot 50 = 560 + 250 = 810$ ✓

Απάντηση: $70$ εισιτήρια ενηλίκων και $50$ παιδικά.

Γρήγορος έλεγχος

Δύο αριθμοί έχουν άθροισμα $20$ και διαφορά $4$ . Ποιος είναι ο μεγαλύτερος;

Παράδειγμα (διερεύνηση — εξεταστικό μοτίβο): Να λυθεί για τις διάφορες τιμές του $\lambda \in \mathbb{R}$ το σύστημα:

$\begin{cases} \lambda x + y = 2 \\ 4x + \lambda y = 4 \end{cases}$

Λύση: Θα απαλείψουμε το $y$ . Πολλαπλασιάζουμε την πρώτη εξίσωση με $\lambda$ :

$\lambda^2 x + \lambda y = 2\lambda$

και αφαιρούμε τη δεύτερη κατά μέλη:

$(\lambda^2 - 4)x = 2\lambda - 4 \Rightarrow (\lambda - 2)(\lambda + 2)x = 2(\lambda - 2)$

Περίπτωση 1: $\lambda \neq 2$ και $\lambda \neq -2$ . Διαιρούμε με $(\lambda - 2)(\lambda + 2) \neq 0$ :

$x = \frac{2}{\lambda + 2}, \qquad y = 2 - \lambda x = \frac{2\lambda + 4 - 2\lambda}{\lambda + 2} = \frac{4}{\lambda + 2}$

Μοναδική λύση $\left(\frac{2}{\lambda + 2}, \frac{4}{\lambda + 2}\right)$ . Έλεγχος με $\lambda = 0$ : το σύστημα $y = 2$ , $4x = 4$ δίνει $(1, 2)$ — και ο τύπος δίνει $\frac{2}{2} = 1$ , $\frac{4}{2} = 2$ ✓

Περίπτωση 2: $\lambda = 2$ . Το σύστημα γίνεται $2x + y = 2$ και $4x + 2y = 4$ — η δεύτερη είναι η πρώτη επί $2$ . Οι ευθείες ταυτίζονται: άπειρες λύσεις, της μορφής $(x, 2 - 2x)$ , $x \in \mathbb{R}$ .

Περίπτωση 3: $\lambda = -2$ . Η εξίσωση γίνεται $0 \cdot x = 2(-4) = -8$ , δηλαδή $0 = -8$ — άτοπο. Οι ευθείες $-2x + y = 2$ και $4x - 2y = 4 \iff -2x + y = -2$ είναι παράλληλες: το σύστημα είναι αδύνατο.

Γρήγορος έλεγχος

Πόσες λύσεις έχει το σύστημα $2x + 2y = 4$ και $x + y = 2$ ;

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος:

α) Να βρεθούν τα $\alpha, \beta$ ώστε η ευθεία $y = \alpha x + \beta$ να διέρχεται από τα σημεία $A(1, 3)$ και $B(-2, -3)$ .

β) Να βρεθεί το σημείο τομής της ευθείας αυτής με την ευθεία $y = -x + 7$ .

γ) Να εξεταστεί αν το σύστημα $\begin{cases} y = 2x + 1 \\ 4x - 2y = 6 \end{cases}$ έχει λύση και να δοθεί γεωμετρική ερμηνεία.

Λύση:

α) Τα σημεία επαληθεύουν την εξίσωση: $\alpha + \beta = 3$ και $-2\alpha + \beta = -3$ . Αφαιρώντας κατά μέλη: $3\alpha = 6 \iff \alpha = 2$ , οπότε $\beta = 1$ . Η ευθεία είναι η $y = 2x + 1$ .

β) Λύνουμε το σύστημα $y = 2x + 1$ , $y = -x + 7$ : $2x + 1 = -x + 7 \iff 3x = 6 \iff x = 2$ , οπότε $y = 5$ . Σημείο τομής το $(2, 5)$ .

γ) Η δεύτερη εξίσωση γράφεται $2y = 4x - 6 \iff y = 2x - 3$ . Με αντικατάσταση: $2x + 1 = 2x - 3 \iff 1 = -3$ , άτοπο. Το σύστημα είναι αδύνατο: οι ευθείες $y = 2x + 1$ και $y = 2x - 3$ έχουν την ίδια κλίση $2$ και τέμνουν τον $y'y$ σε διαφορετικά σημεία — είναι παράλληλες.

Απάντηση: α) $\alpha = 2$ , $\beta = 1$ , β) $(2, 5)$ , γ) αδύνατο, παράλληλες ευθείες.

Γρήγορος έλεγχος

Για ποια τιμή του $\lambda$ το σύστημα $x + y = 2$ και $2x + 2y = \lambda$ έχει άπειρες λύσεις;

Πρόκληση

Ένας διψήφιος αριθμός έχει άθροισμα ψηφίων $11$ . Αν αντιστρέψεις τα ψηφία του, ο νέος αριθμός είναι κατά $27$ μεγαλύτερος. α) Ποιος είναι ο αριθμός; β) Υπάρχει διψήφιος με άθροισμα ψηφίων $10$ που, αν αντιστραφεί, μεγαλώνει κατά $27$ ;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

α) Έστω $x$ το ψηφίο των δεκάδων και $y$ των μονάδων. Ο αριθμός είναι $10x + y$ και ο αντεστραμμένος $10y + x$ . Τότε

$\begin{cases} x + y = 11 \\ (10y + x) - (10x + y) = 27 \end{cases} \iff \begin{cases} x + y = 11 \\ y - x = 3 \end{cases}$

(η δεύτερη εξίσωση διαιρέθηκε με $9$ ). Προσθέτοντας κατά μέλη: $2y = 14 \iff y = 7$ , άρα $x = 4$ . Ο αριθμός είναι ο $47$ . Έλεγχος: $4 + 7 = 11$ και $74 - 47 = 27$ ✓

β) Τώρα $x + y = 10$ και $y - x = 3$ , οπότε $2y = 13 \iff y = 6{,}5$ . Το σύστημα έχει λύση, αλλά όχι ψηφία: τέτοιος αριθμός δεν υπάρχει. Το δίδαγμα: μετά τη λύση, έλεγξε ότι ταιριάζει με το νόημα του προβλήματος.

Στρατηγική εξετάσεων: διάλεξε αντικατάσταση όταν κάποιος άγνωστος έχει συντελεστή $\pm 1$ , αλλιώς αντίθετους συντελεστές — γλιτώνεις κλάσματα. Στη διερεύνηση με παράμετρο, ΠΟΤΕ μη διαιρείς με παράσταση που μπορεί να μηδενίζεται χωρίς διάκριση περιπτώσεων: εκεί κρύβονται οι περιπτώσεις «αδύνατο» και «άπειρες λύσεις» που πιάνουν τις μισές μονάδες. Τέλος: η λύση επαληθεύεται και στις ΔΥΟ εξισώσεις — και θυμήσου ότι η μέθοδος με ορίζουσες $D, D_x, D_y$ είναι εκτός εξεταστέας ύλης, η διερεύνηση γίνεται με απαλοιφή.

Συνηθισμένα λάθη

Επαληθεύουν τη λύση μόνο στη μία εξίσωση. Η λύση πρέπει να ικανοποιεί και τις δύο.
Στη διερεύνηση διαιρούν με παράσταση της παραμέτρου χωρίς να εξετάσουν πότε μηδενίζεται.
Πολλαπλασιάζουν μια εξίσωση με το $\lambda$ και δεν ελέγχουν την περίπτωση $\lambda = 0$ , όπου η εξίσωση «χάνεται». Στις κρίσιμες τιμές ξαναγράψε το αρχικό σύστημα.
Γράφουν «άπειρες λύσεις» χωρίς τη μορφή τους. Σωστό, π.χ.: όλα τα ζεύγη $(x, 2 - x)$ με $x \in \mathbb{R}$ .

Σύνοψη — τι κρατάμε

Γραμμική εξίσωση $\alpha x + \beta y = \gamma$ : ευθεία· λύση του συστήματος = κοινά σημεία δύο ευθειών
Τεμνόμενες → μοναδική λύση, παράλληλες → αδύνατο, ταυτιζόμενες → άπειρες λύσεις
Αντικατάσταση όταν κάποιος συντελεστής είναι $\pm 1$ , αλλιώς αντίθετοι συντελεστές
Διερεύνηση: απαλοιφή σε $A \cdot x = B$ και χωριστή εξέταση των τιμών που μηδενίζουν το $A$
Ένα γραμμικό σύστημα έχει καμία, μία ή άπειρες λύσεις — ποτέ ακριβώς δύο

Τι είναι ένα γραμμικό σύστημα

Στην καντίνα, αν

x

η τιμή του σουβλακιού και

y

του αναψυκτικού, τότε

2x + y = 8

και

x + y = 5

Κάθε εξίσωση της μορφής

\alpha x + \beta y = \gamma

(με

\alpha, \beta

όχι και τα δύο μηδέν) λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Η γραφική της παράσταση είναι ευθεία. Λύση της είναι κάθε ζεύγος

(x, y)

που την επαληθεύει. Άρα μία εξίσωση μόνη της έχει άπειρες λύσεις: όλα τα σημεία της ευθείας.

Γραμμικό σύστημα 2×2 λέμε δύο τέτοιες εξισώσεις που πρέπει να ισχύουν ταυτόχρονα:

\begin{cases} \alpha_1 x + \beta_1 y = \gamma_1 \\ \alpha_2 x + \beta_2 y = \gamma_2 \end{cases}

Λύση του συστήματος είναι κάθε ζεύγος που επαληθεύει και τις δύο εξισώσεις μαζί. Στην καντίνα: σουβλάκι

3

€, αναψυκτικό

2

€ — έλεγξε ότι το

(3, 2)

«δουλεύει» και στις δύο.