🧱

Ταυτότητες & Μέθοδοι Απόδειξης

(α±β)², α²−β², (α±β)³, ευθεία απόδειξη, άτοπο, αντιπαράδειγμα

Μπορείς να βρεις το $99^2$ στο μυαλό σου σε 3 δευτερόλεπτα;

Γράψε $99 = 100 - 1$ : $\ 99^2 = 10000 - 200 + 1 = 9801$ . Ή το $48 \cdot 52$ : είναι $(50 - 2)(50 + 2) = 2500 - 4 = 2496$ . Αυτά δεν είναι μαγικά κόλπα· είναι ταυτότητες. Και μαζί τους μαθαίνεις κάτι ακόμα πιο δυνατό: πώς αποδεικνύεις ότι κάτι ισχύει πάντα.

Ταυτότητες — ισότητες που ισχύουν πάντα

Ταυτότητα είναι μια ισότητα με μεταβλητές που αληθεύει για όλες τις τιμές τους. Δεν τη «λύνεις». Τη χρησιμοποιείς ως εργαλείο: για να αναπτύξεις και να παραγοντοποιήσεις παραστάσεις. Οι αξιοσημείωτες ταυτότητες της ύλης:

$(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2$
$(\alpha - \beta)^2 = \alpha^2 - 2\alpha\beta + \beta^2$
$\alpha^2 - \beta^2 = (\alpha - \beta)(\alpha + \beta)$
$(\alpha + \beta)^3 = \alpha^3 + 3\alpha^2\beta + 3\alpha\beta^2 + \beta^3$
$(\alpha - \beta)^3 = \alpha^3 - 3\alpha^2\beta + 3\alpha\beta^2 - \beta^3$
$\alpha^3 - \beta^3 = (\alpha - \beta)(\alpha^2 + \alpha\beta + \beta^2)$
$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2)$

Όλες αποδεικνύονται με την επιμεριστική ιδιότητα — δοκίμασε να αναπτύξεις το $(\alpha + \beta)(\alpha + \beta)$ και θα δεις το $2\alpha\beta$ να γεννιέται από τους δύο «χιαστί» όρους.

Κόλπο μνήμης

Στους κύβους οι συντελεστές είναι 1 – 3 – 3 – 1: $(\alpha + \beta)^3 = \alpha^3 + 3\alpha^2\beta + 3\alpha\beta^2 + \beta^3$ . Στο $(\alpha - \beta)^3$ κρατάς τα ίδια νούμερα και τα πρόσημα εναλλάσσονται: $+ \, - \, + \, -$ .

Σπάσε το τετράγωνο πλευράς α+β σε κομμάτια — θα ανακαλύψεις ότι το (α+β)² είναι κυριολεκτικά ένα α², ένα β² και δύο ορθογώνια αβ.

Ήξερες ότι;

Οι αρχαίοι Έλληνες έγραφαν την ταυτότητα $(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2$ χωρίς καθόλου άλγεβρα: στα Στοιχεία του Ευκλείδη (Βιβλίο II, Πρόταση 4) είναι ένα τετράγωνο κομμένο σε δύο τετράγωνα και δύο ίσα ορθογώνια — ακριβώς το σχήμα της προσομοίωσης.

Γρήγορος έλεγχος

Ποιο είναι το ανάπτυγμα του $(x - 3)^2$ ;

Άσκηση: Να υπολογιστεί το $101^2 - 99^2$ χωρίς πολλαπλασιασμούς και να παραγοντοποιηθεί η παράσταση $8x^3 + 27$ .

Λύση: Διαφορά τετραγώνων: $101^2 - 99^2 = (101 - 99)(101 + 99) = 2 \cdot 200 = 400$ .

Για το $8x^3 + 27$ : αναγνωρίζουμε κύβους, $8x^3 = (2x)^3$ και $27 = 3^3$ . Από την $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2)$ με $\alpha = 2x$ , $\beta = 3$ :

$8x^3 + 27 = (2x + 3)(4x^2 - 6x + 9)$

Έλεγχος του μεσαίου όρου: $\alpha\beta = 2x \cdot 3 = 6x$ με πρόσημο αντίθετο από αυτό του αθροίσματος — εδώ μείον.

Παράδειγμα: Αν $\alpha + \beta = 5$ και $\alpha\beta = 3$ , να υπολογιστούν οι παραστάσεις: α) $\alpha^2 + \beta^2$ , β) $(\alpha - \beta)^2$ , γ) $\alpha^3 + \beta^3$ .

Λύση: Δεν βρίσκουμε τα $\alpha, \beta$ — χρησιμοποιούμε ταυτότητες που περιέχουν μόνο το άθροισμα και το γινόμενο.

α) Από $(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2$ : $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = 25 - 6 = 19$ .

β) $(\alpha - \beta)^2 = \alpha^2 + \beta^2 - 2\alpha\beta = 19 - 6 = 13$ .

γ) Από $(\alpha + \beta)^3 = \alpha^3 + \beta^3 + 3\alpha\beta(\alpha + \beta)$ : $\alpha^3 + \beta^3 = 125 - 3 \cdot 3 \cdot 5 = 125 - 45 = 80$ .

Γρήγορος έλεγχος

Αν $\alpha + \beta = 4$ και $\alpha\beta = 1$ , πόσο κάνει το $\alpha^2 + \beta^2$ ;

Μέθοδοι απόδειξης — πώς θεμελιώνουμε έναν ισχυρισμό

Στα μαθηματικά ένας ισχυρισμός δεν γίνεται δεκτός επειδή «φαίνεται σωστός» — αποδεικνύεται. Τρεις βασικές στρατηγικές:

Ευθεία απόδειξη: ξεκινάμε από την υπόθεση ή από κάτι γνωστό (ορισμό, ταυτότητα, ιδιότητα) και με λογικά βήματα φτάνουμε στο συμπέρασμα. Παράδειγμα: για να δείξουμε ότι το άθροισμα δύο άρτιων είναι άρτιο, γράφουμε $\alpha = 2\kappa$ , $\beta = 2\lambda$ και τότε $\alpha + \beta = 2(\kappa + \lambda)$ — άρτιο.
Απαγωγή σε άτοπο: υποθέτουμε ότι το συμπέρασμα δεν ισχύει και καταλήγουμε σε αντίφαση — κάτι που συγκρούεται με την υπόθεση ή με γνωστή αλήθεια. Άρα η αρχική μας άρνηση ήταν λάθος και ο ισχυρισμός ισχύει. Έτσι αποδεικνύεται π.χ. ότι ο $\sqrt{2}$ είναι άρρητος.
Αντιπαράδειγμα: για να διαψεύσουμε έναν ισχυρισμό της μορφής «για κάθε...», αρκεί ένα παράδειγμα όπου αποτυγχάνει. Προσοχή στην ασυμμετρία: ένα παράδειγμα διαψεύδει, αλλά χίλια παραδείγματα δεν αποδεικνύουν.

Μέθοδος: απόδειξη ισότητας ή ανισότητας

Ισότητα: ξεκίνα από το πιο σύνθετο μέλος, κάνε πράξεις με τις ταυτότητες και κατέληξε στο άλλο μέλος. Εναλλακτικά, δείξε ότι η διαφορά των δύο μελών είναι $0$ .
Ανισότητα: μετέφερε όλους τους όρους στο ένα μέλος και «χτίσε» τετράγωνα, αφού $(\ldots)^2 \ge 0$ .
Αν δουλεύεις με διαδοχικές ισοδυναμίες ( $\iff$ ), βεβαιώσου ότι κάθε βήμα αντιστρέφεται — π.χ. η ύψωση στο τετράγωνο δεν είναι ισοδυναμία χωρίς πληροφορία για τα πρόσημα.
Διάψευση: για ισχυρισμό της μορφής «για κάθε…», ψάξε αντιπαράδειγμα με απλούς αριθμούς ( $0$ , $1$ , $-1$ ).

Άσκηση (απαγωγή σε άτοπο): Αν ο $\alpha^2$ είναι άρτιος αριθμός, να αποδειχθεί ότι και ο $\alpha$ είναι άρτιος.

Λύση: Έστω —προς άτοπο— ότι ο $\alpha$ είναι περιττός, δηλαδή $\alpha = 2\kappa + 1$ για κάποιον ακέραιο $\kappa$ . Τότε:

$\alpha^2 = (2\kappa + 1)^2 = 4\kappa^2 + 4\kappa + 1 = 2(2\kappa^2 + 2\kappa) + 1$

δηλαδή ο $\alpha^2$ είναι περιττός — άτοπο, αφού από την υπόθεση είναι άρτιος. Άρα ο $\alpha$ είναι άρτιος.

Παρατήρησε το «μοτέρ» της απόδειξης: η ταυτότητα $(\alpha + \beta)^2$ έκανε όλη τη δουλειά.

Παράδειγμα: Να αποδειχθεί ότι $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 \ge \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha$ για κάθε $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}$ . Πότε ισχύει το ίσον;

Λύση: Πολλαπλασιάζουμε με $2 > 0$ (η φορά μένει) και μεταφέρουμε όλους τους όρους στο ένα μέλος:

$2\alpha^2 + 2\beta^2 + 2\gamma^2 - 2\alpha\beta - 2\beta\gamma - 2\gamma\alpha \ge 0$

Μοιράζουμε κάθε τετράγωνο σε δύο ζευγάρια και σχηματίζουμε τρία τέλεια τετράγωνα:

$(\alpha^2 - 2\alpha\beta + \beta^2) + (\beta^2 - 2\beta\gamma + \gamma^2) + (\gamma^2 - 2\gamma\alpha + \alpha^2) = (\alpha - \beta)^2 + (\beta - \gamma)^2 + (\gamma - \alpha)^2 \ge 0$

που ισχύει ως άθροισμα τετραγώνων. Το ίσον ισχύει μόνο όταν μηδενίζονται και τα τρία τετράγωνα, δηλαδή όταν $\alpha = \beta = \gamma$ .

Γρήγορος έλεγχος

Θέλουμε να αποδείξουμε με απαγωγή σε άτοπο ότι «αν ο $\alpha^2$ είναι άρτιος, τότε ο $\alpha$ είναι άρτιος». Τι υποθέτουμε αρχικά;

Γρήγορος έλεγχος

Ένας μαθητής ισχυρίζεται: «για κάθε $\alpha, \beta$ ισχύει $(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + \beta^2$ ». Πώς διαψεύδεται ο ισχυρισμός;

Γρήγορος έλεγχος

Ποια παραγοντοποίηση είναι σωστή για το $\alpha^3 - \beta^3$ ;

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: α) Να αποδειχθεί ότι $(x + 1)^2 - (x - 1)^2 = 4x$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ . β) Με τη βοήθεια του (α), να υπολογιστεί το $1001^2 - 999^2$ . γ) Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση $x^3 - 8$ . δ) Να δειχθεί ότι η εξίσωση $x^3 - 8 = 0$ έχει μοναδική πραγματική λύση.

Λύση:

α) $(x + 1)^2 - (x - 1)^2 = (x^2 + 2x + 1) - (x^2 - 2x + 1) = 4x$ .

β) Για $x = 1000$ : $1001^2 - 999^2 = 4 \cdot 1000 = 4000$ .

γ) Διαφορά κύβων με $\alpha = x$ , $\beta = 2$ : $x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$ .

δ) $x^3 - 8 = 0 \iff x - 2 = 0$ ή $x^2 + 2x + 4 = 0$ . Όμως $x^2 + 2x + 4 = (x + 1)^2 + 3 \ge 3 > 0$ , άρα ο δεύτερος παράγοντας δεν μηδενίζεται ποτέ. Μοναδική λύση η $x = 2$ .

Απάντηση: α) αποδείχθηκε, β) $4000$ , γ) $(x - 2)(x^2 + 2x + 4)$ , δ) $x = 2$ .

Πρόκληση

Υπολόγισε $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 + 1$ , $\ 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 + 1$ , $\ 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 + 1$ . Τι παρατηρείς; Απόδειξε ότι ισχύει για κάθε ακέραιο $\nu$ .

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Βρίσκουμε $25 = 5^2$ , $\ 121 = 11^2$ , $\ 361 = 19^2$ — πάντα τέλειο τετράγωνο! Ισχυρισμός: το $\nu(\nu+1)(\nu+2)(\nu+3) + 1$ είναι τέλειο τετράγωνο.

Το «κλειδί» είναι να ζευγαρώσεις σωστά: ο πρώτος με τον τέταρτο, ο δεύτερος με τον τρίτο.

$\nu(\nu+3) = \nu^2 + 3\nu, \qquad (\nu+1)(\nu+2) = \nu^2 + 3\nu + 2$

Θέσε $t = \nu^2 + 3\nu$ . Τότε η παράσταση γίνεται

$t(t + 2) + 1 = t^2 + 2t + 1 = (t + 1)^2 = (\nu^2 + 3\nu + 1)^2$

Έλεγχος: για $\nu = 1$ , $\ 1 + 3 + 1 = 5$ ✓· για $\nu = 3$ , $\ 9 + 9 + 1 = 19$ ✓

Απάντηση: $\nu(\nu+1)(\nu+2)(\nu+3) + 1 = (\nu^2 + 3\nu + 1)^2$ για κάθε $\nu$ — ευθεία απόδειξη με την ταυτότητα $(t+1)^2$ .

Μάθε τις ταυτότητες και προς τις δύο κατευθύνσεις: ανάπτυγμα (αριστερά → δεξιά) για πράξεις, παραγοντοποίηση (δεξιά → αριστερά) για απλοποιήσεις και εξισώσεις. Στις αποδείξεις ανισοτήτων του κεφαλαίου, το στάνταρ κόλπο είναι: μετέφερε όλα στο ένα μέλος και «χτίσε» τέλειο τετράγωνο — αφού $\alpha^2 \ge 0$ πάντα, η ανισότητα βγαίνει μόνη της.

Συνηθισμένα λάθη

$(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + \beta^2$ : ξεχνούν τον διπλάσιο όρο $2\alpha\beta$ .
$(\alpha - \beta)^3 = \alpha^3 - \beta^3$ : ο κύβος διαφοράς έχει τέσσερις όρους, $\alpha^3 - 3\alpha^2\beta + 3\alpha\beta^2 - \beta^3$ .
Λάθος πρόσημο στον μεσαίο όρο των κύβων: στο $\alpha^3 + \beta^3$ ο δεύτερος παράγοντας είναι $\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2$ , στο $\alpha^3 - \beta^3$ είναι $\alpha^2 + \alpha\beta + \beta^2$ .
«Αποδεικνύουν» γενικό ισχυρισμό ελέγχοντας μερικά παραδείγματα. Τα παραδείγματα μόνο διαψεύδουν, δεν αποδεικνύουν.

Σύνοψη — τι κρατάμε

$(\alpha \pm \beta)^2 = \alpha^2 \pm 2\alpha\beta + \beta^2$ και $\alpha^2 - \beta^2 = (\alpha - \beta)(\alpha + \beta)$
$(\alpha \pm \beta)^3 = \alpha^3 \pm 3\alpha^2\beta + 3\alpha\beta^2 \pm \beta^3$
$\alpha^3 \pm \beta^3 = (\alpha \pm \beta)(\alpha^2 \mp \alpha\beta + \beta^2)$
$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$
Μέθοδοι απόδειξης: ευθεία, απαγωγή σε άτοπο (αρνούμαστε το συμπέρασμα), διάψευση με αντιπαράδειγμα

Ταυτότητες — ισότητες που ισχύουν πάντα

(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2

(\alpha - \beta)^2 = \alpha^2 - 2\alpha\beta + \beta^2

\alpha^2 - \beta^2 = (\alpha - \beta)(\alpha + \beta)

(\alpha + \beta)^3 = \alpha^3 + 3\alpha^2\beta + 3\alpha\beta^2 + \beta^3

(\alpha - \beta)^3 = \alpha^3 - 3\alpha^2\beta + 3\alpha\beta^2 - \beta^3

\alpha^3 - \beta^3 = (\alpha - \beta)(\alpha^2 + \alpha\beta + \beta^2)

\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2)

Όλες αποδεικνύονται με την επιμεριστική ιδιότητα — δοκίμασε να αναπτύξεις το

(\alpha + \beta)(\alpha + \beta)

και θα δεις το

2\alpha\beta

να γεννιέται από τους δύο «χιαστί» όρους.

Ταυτότητες & Μέθοδοι Απόδειξης

Μπορείς να βρεις το 99299^2992 στο μυαλό σου σε 3 δευτερόλεπτα;

Ταυτότητες — ισότητες που ισχύουν πάντα

Μέθοδοι απόδειξης — πώς θεμελιώνουμε έναν ισχυρισμό

Μέθοδος: απόδειξη ισότητας ή ανισότητας

Ταυτότητες & Μέθοδοι Απόδειξης

Μπορείς να βρεις το 99299^2992 στο μυαλό σου σε 3 δευτερόλεπτα;

Ταυτότητες — ισότητες που ισχύουν πάντα

Μέθοδοι απόδειξης — πώς θεμελιώνουμε έναν ισχυρισμό

Μέθοδος: απόδειξη ισότητας ή ανισότητας

Μπορείς να βρεις το $99^2$ στο μυαλό σου σε 3 δευτερόλεπτα;

Μπορείς να βρεις το $99^2$ στο μυαλό σου σε 3 δευτερόλεπτα;