🔢

Πραγματικοί Αριθμοί — Επανάληψη

Σύνολα αριθμών, διαστήματα, απόλυτη τιμή και αποστάσεις στον άξονα

Γιατί με νοιάζει;

Ένα πακέτο ζάχαρης γράφει « $500$ g $\pm\, 10$ g». Αυτό σημαίνει ότι το πραγματικό βάρος $x$ ικανοποιεί $|x - 500| \le 10$ : απέχει από το $500$ το πολύ $10$ γραμμάρια.

Όλη η Ανάλυση της Γ΄ Λυκείου χτίζεται πάνω σε αυτή τη μία ιδέα: απόσταση = απόλυτη τιμή. Όρια, συνέχεια και παράγωγοι μιλούν για το πόσο «κοντά» είναι δύο αριθμοί. Αν την κατακτήσεις εδώ, τα επόμενα κεφάλαια «κουμπώνουν».

Το «έδαφος» της Ανάλυσης

Όλη η Ανάλυση της Γ΄ Λυκείου παίζεται πάνω στο σύνολο $\mathbb{R}$ των πραγματικών αριθμών: ρητοί και άρρητοι μαζί, απλωμένοι χωρίς κενά πάνω στον άξονα. Θυμήσου την αλυσίδα των συνόλων:

$\mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{R}$

Τα διαστήματα είναι τα βασικά «κομμάτια» του άξονα και η γλώσσα με την οποία γράφουμε πεδία ορισμού και σύνολα τιμών:

$[\alpha, \beta] = \{ x \in \mathbb{R} : \alpha \leq x \leq \beta \}$ — κλειστό, με τα άκρα
$(\alpha, \beta) = \{ x \in \mathbb{R} : \alpha < x < \beta \}$ — ανοικτό, χωρίς τα άκρα
$[\alpha, +\infty)$ , $(-\infty, \beta)$ — μη φραγμένα διαστήματα

Το $\pm\infty$ ΔΕΝ είναι αριθμός — γι' αυτό η αγκύλη δίπλα του είναι πάντα παρένθεση. Από τη διάταξη θυμήσου και τους κανόνες των ανισοτήτων: πολλαπλασιασμός με αρνητικό αριθμό αλλάζει τη φορά.

Περπάτησε πάνω στον άξονα των πραγματικών: θα ανακαλύψεις ότι ανάμεσα σε δύο οποιουσδήποτε αριθμούς, όσο κοντά κι αν είναι, υπάρχουν πάντα άπειροι άλλοι — αυτή η «πυκνότητα χωρίς κενά» είναι που επιτρέπει στα όρια να έχουν νόημα.

Διάταξη, δυνάμεις και ρίζες

Για $\alpha, \beta \ge 0$ και $\nu$ θετικό ακέραιο: $\alpha < \beta \iff \alpha^\nu < \beta^\nu \iff \sqrt[\nu]{\alpha} < \sqrt[\nu]{\beta}$ . Υψώνουμε σε δύναμη μόνο μη αρνητικά μέλη.
$\alpha^2 + \beta^2 = 0 \iff \alpha = \beta = 0$ , και ομοίως $|\alpha| + |\beta| = 0 \iff \alpha = \beta = 0$ .
Η $\sqrt[\nu]{\alpha}$ ορίζεται στο σχολικό βιβλίο για $\alpha \ge 0$ · για $\alpha > 0$ ισχύει $\sqrt[\nu]{\alpha^\mu} = \alpha^{\mu / \nu}$ .
Οι $e^x$ και $\ln x$ είναι γνησίως αύξουσες: $e^\alpha < e^\beta \iff \alpha < \beta$ και $\ln\alpha < \ln\beta \iff 0 < \alpha < \beta$ .

Γρήγορος έλεγχος

Αν $\alpha < \beta < 0$ , ποια σχέση ισχύει πάντα;

Ήξερες ότι;

Η απόδειξη ότι ο $\sqrt{2}$ δεν είναι ρητός ήταν γνωστή ήδη στους αρχαίους Έλληνες: ο Αριστοτέλης την αναφέρει ως το κλασικό παράδειγμα απαγωγής σε άτοπο. Και κάτι ακόμη πιο παράξενο: ο Georg Cantor απέδειξε το 1874 ότι οι πραγματικοί αριθμοί δεν μπορούν να αριθμηθούν, ενώ οι ρητοί μπορούν. Με άλλα λόγια, οι άρρητοι είναι «πολύ περισσότεροι» από τους ρητούς.

Απόλυτη τιμή = απόσταση

Η απόλυτη τιμή ενός αριθμού είναι η απόστασή του από το $0$ στον άξονα:

$|x| = x \;\text{αν}\; x \geq 0 \qquad |x| = -x \;\text{αν}\; x < 0$

και γενικότερα το $|x - x_0|$ είναι η απόσταση του $x$ από το $x_0$ . Οι ιδιότητες που θα δουλέψεις ξανά και ξανά:

$|x| \geq 0$ και $|x|^2 = x^2$ , $\sqrt{x^2} = |x|$
$|\alpha \beta| = |\alpha| |\beta|$ και $\left| \frac{\alpha}{\beta} \right| = \frac{|\alpha|}{|\beta|}$
Τριγωνική ανισότητα: $|\alpha + \beta| \leq |\alpha| + |\beta|$

Και οι δύο «μεταφράσεις» που λύνουν τις περισσότερες ανισώσεις (για $\theta > 0$ ):

$|x - x_0| < \theta \iff x_0 - \theta < x < x_0 + \theta \qquad |x - x_0| > \theta \iff x < x_0 - \theta \; \text{ή} \; x > x_0 + \theta$

Η πρώτη περιγράφει τα $x$ «κοντά στο $x_0$ » — ακριβώς η γλώσσα που χρειάζεται το όριο στο $x_0$ .

$|x - x_0| < \theta \iff x \in (x_0 - \theta, \, x_0 + \theta) \qquad |\alpha + \beta| \leq |\alpha| + |\beta|$

Κόλπο μνήμης

«Μικρότερο → μέσα, μεγαλύτερο → μακριά.» Το $|x - x_0| < \theta$ σημαίνει ότι το $x$ είναι μέσα σε ένα κομμάτι γύρω από το $x_0$ (ένα διάστημα). Το $|x - x_0| > \theta$ σημαίνει ότι είναι μακριά, έξω και από τις δύο μεριές (ένωση δύο διαστημάτων).

Γρήγορος έλεγχος

Ποιο σύνολο περιγράφει η ανίσωση $|x - 3| < 2$ ;

Γρήγορος έλεγχος

Αν $\alpha < 0$ , τότε $\sqrt{\alpha^2} = \;$ ;

Μέθοδος: εξισώσεις και ανισώσεις με απόλυτα

Ένα απόλυτο: χρησιμοποίησε, για $\theta > 0$ , τις «μεταφράσεις» $|X| < \theta \iff -\theta < X < \theta$ , $\;|X| > \theta \iff X < -\theta$ ή $X > \theta$ , $\;|X| = \theta \iff X = \pm\theta$ .
Πολλά απόλυτα: βρες τις ρίζες των παραστάσεων μέσα στα απόλυτα, χώρισε τον άξονα σε διαστήματα και σε καθένα «άνοιξε» τα απόλυτα με το σωστό πρόσημο.
Λύσε σε κάθε διάστημα και κράτα μόνο τις λύσεις που ανήκουν σε αυτό.
Για $|A| = |B|$ : $A = B$ ή $A = -B$ (ή ύψωσε στο τετράγωνο).

Παράδειγμα: (α) Να λυθεί η $|2x - 1| \le 3$ . (β) Να γραφτεί η $f(x) = |x^2 - 1|$ χωρίς απόλυτα και να εξεταστεί αν υπάρχει το $\lim_{x \to 1} \frac{|x^2 - 1|}{x - 1}$ .

Λύση (α): $-3 \le 2x - 1 \le 3 \iff -2 \le 2x \le 4 \iff -1 \le x \le 2$ , δηλαδή $x \in [-1, 2]$ .

Λύση (β): $x^2 - 1 \ge 0 \iff |x| \ge 1$ . Άρα $f(x) = x^2 - 1$ για $x \le -1$ ή $x \ge 1$ , και $f(x) = 1 - x^2$ για $-1 < x < 1$ . Κοντά στο $1$ :

αριστερά: $\frac{1 - x^2}{x - 1} = -(x + 1) \to -2$
δεξιά: $\frac{x^2 - 1}{x - 1} = x + 1 \to 2$

Τα πλευρικά όρια διαφέρουν, άρα το όριο δεν υπάρχει.

Άσκηση τύπου Πανελλαδικών (προετοιμασία Θέματος Β): Δίνεται $f(x) = |x - 1| + |x + 2|$ .

(α) Να γραφτεί η $f$ χωρίς απόλυτα. (β) Να λυθεί η $f(x) = 5$ . (γ) Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της $f$ .

Λύση (α): Ρίζες $1$ και $-2$ :

$x < -2$ : $f(x) = (1 - x) + (-x - 2) = -2x - 1$
$-2 \le x \le 1$ : $f(x) = (1 - x) + (x + 2) = 3$
$x > 1$ : $f(x) = (x - 1) + (x + 2) = 2x + 1$

Λύση (β): Για $x < -2$ : $-2x - 1 = 5 \iff x = -3$ ✓ (ανήκει). Στο $[-2, 1]$ : $3 = 5$ , αδύνατη. Για $x > 1$ : $2x + 1 = 5 \iff x = 2$ ✓. Λύσεις: $x = -3$ και $x = 2$ .

Λύση (γ): Από την τριγωνική ανισότητα $|x - 1| + |x + 2| = |1 - x| + |x + 2| \ge |(1 - x) + (x + 2)| = 3$ , με ισότητα για κάθε $x \in [-2, 1]$ . Ελάχιστη τιμή $3$ .

Γρήγορος έλεγχος

Ποιο σύνολο είναι οι λύσεις της ανίσωσης $|x + 1| \ge 2$ ;

Γρήγορος έλεγχος

Πότε ισχύει η ισότητα $|\alpha + \beta| = |\alpha| + |\beta|$ ;

Σε όλη την ύλη της Γ΄ Λυκείου η απόλυτη τιμή εμφανίζεται «μεταμφιεσμένη»: στα όρια ως $|f(x) - \ell|$ , στις ρίζες ως $\sqrt{x^2} = |x|$ , στις παραγώγους ως το κλασικό αντιπαράδειγμα $f(x) = |x|$ . Όποτε τη συναντάς, ξεφορτώσου τη ΑΜΕΣΩΣ: σπάσε σε κλάδους με βάση το πρόσημο της παράστασης μέσα στο απόλυτο και δούλεψε σε κάθε κλάδο χωριστά.

Πρόκληση

Δίνεται $f(x) = |x - 1| + |x - 3| + |x - 8|$ , $x \in \mathbb{R}$ .

(α) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της $f$ και πού την παίρνει, χωρίς να «σπάσετε» τα απόλυτα σε κλάδους.

(β) Πόσες λύσεις έχει η εξίσωση $|x - 1| + |x - 8| = 7$ ;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Σκέψου γεωμετρικά: το $f(x)$ είναι το άθροισμα των αποστάσεων του $x$ από τα σημεία $1$ , $3$ και $8$ του άξονα.

(α) Από την τριγωνική ανισότητα:

$|x - 1| + |x - 8| = |x - 1| + |8 - x| \ge |(x - 1) + (8 - x)| = 7$

με ισότητα όταν $(x - 1)(8 - x) \ge 0$ , δηλαδή όταν $1 \le x \le 8$ . Επίσης $|x - 3| \ge 0$ , με ισότητα μόνο για $x = 3$ . Άρα $f(x) \ge 7$ για κάθε $x$ .

Η ισότητα θέλει ταυτόχρονα $x \in [1, 8]$ και $x = 3$ . Άρα η ελάχιστη τιμή είναι $f(3) = 2 + 0 + 5 = 7$ .

(β) Από το (α), η ισότητα $|x - 1| + |x - 8| = 7$ ισχύει για κάθε $x \in [1, 8]$ . Η εξίσωση έχει άπειρες λύσεις: όλο το διάστημα $[1, 8]$ .

Η «στροφή»: το ελάχιστο ενός αθροίσματος αποστάσεων το δίνει το μεσαίο σημείο, εδώ το $3$ , και όχι ο μέσος όρος $4$ (πράγματι $f(4) = 8 > 7$ ).

Συνηθισμένα λάθη

Γράφεις $\sqrt{x^2} = x$ για κάθε $x$ — σωστό: $\sqrt{x^2} = |x|$ .
Στο $|X| > \theta$ γράφεις $-\theta > X > \theta$ (αδύνατη διπλή ανίσωση)· σωστό: $X < -\theta$ ή $X > \theta$ .
Κρατάς λύσεις που δεν ανήκουν στο διάστημα όπου «άνοιξες» τα απόλυτα.
Γράφεις $[\alpha, +\infty]$ : το $+\infty$ δεν είναι αριθμός, άρα πάντα $[\alpha, +\infty)$ .

Σύνοψη — τι κρατάμε

$\mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{R}$ · δίπλα στο $\pm\infty$ πάντα παρένθεση.
$|x - x_0|$ = απόσταση των $x$ , $x_0$ · $\sqrt{x^2} = |x|$ , $|x|^2 = x^2$ .
$|x - x_0| < \theta \iff x \in (x_0 - \theta, x_0 + \theta)$ — η γλώσσα του ορίου.
Τριγωνική: $|\alpha + \beta| \le |\alpha| + |\beta|$ , με ισότητα ⇔ $\alpha\beta \ge 0$ .
Πολλά απόλυτα: σπάσιμο σε διαστήματα με βάση τις ρίζες τους.

Το «έδαφος» της Ανάλυσης

Όλη η Ανάλυση της Γ΄ Λυκείου παίζεται πάνω στο σύνολο

\mathbb{R}

των πραγματικών αριθμών: ρητοί και άρρητοι μαζί, απλωμένοι χωρίς κενά πάνω στον άξονα. Θυμήσου την αλυσίδα των συνόλων:

\mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{R}

[\alpha, \beta] = \{ x \in \mathbb{R} : \alpha \leq x \leq \beta \}

— κλειστό, με τα άκρα

(\alpha, \beta) = \{ x \in \mathbb{R} : \alpha < x < \beta \}

— ανοικτό, χωρίς τα άκρα

[\alpha, +\infty)

(-\infty, \beta)

— μη φραγμένα διαστήματα

Το

\pm\infty

ΔΕΝ είναι αριθμός — γι' αυτό η αγκύλη δίπλα του είναι πάντα παρένθεση. Από τη διάταξη θυμήσου και τους κανόνες των ανισοτήτων: πολλαπλασιασμός με αρνητικό αριθμό αλλάζει τη φορά.

Απόλυτη τιμή = απόσταση

Η απόλυτη τιμή ενός αριθμού είναι η απόστασή του από το

0

στον άξονα:

|x| = x \;\text{αν}\; x \geq 0 \qquad |x| = -x \;\text{αν}\; x < 0

και γενικότερα το

|x - x_0|

είναι η απόσταση του

x

από το

x_0

. Οι ιδιότητες που θα δουλέψεις ξανά και ξανά:

|x| \geq 0

και

|x|^2 = x^2

\sqrt{x^2} = |x|

|\alpha \beta| = |\alpha| |\beta|

και

\left| \frac{\alpha}{\beta} \right| = \frac{|\alpha|}{|\beta|}

Τριγωνική ανισότητα:

|\alpha + \beta| \leq |\alpha| + |\beta|

Και οι δύο «μεταφράσεις» που λύνουν τις περισσότερες ανισώσεις (για

\theta > 0

|x - x_0| < \theta \iff x_0 - \theta < x < x_0 + \theta \qquad |x - x_0| > \theta \iff x < x_0 - \theta \; \text{ή} \; x > x_0 + \theta

Η πρώτη περιγράφει τα

x

«κοντά στο

x_0

» — ακριβώς η γλώσσα που χρειάζεται το όριο στο

x_0