⏱️

Ρυθμός Μεταβολής

Η παράγωγος ως ταχύτητα μεταβολής: κίνηση, οριακό κόστος, συνδεόμενοι ρυθμοί

Γιατί με νοιάζει;

Ρίχνεις μια πέτρα σε μια λίμνη και ο κυκλικός κυματισμός απλώνεται με σταθερή ταχύτητα $1$ m/s. Το εμβαδόν του κύκλου όμως δεν μεγαλώνει σταθερά. Αφού $E = \pi r^2$ , είναι $E'(t) = 2\pi r\, r'(t)$ : όταν $r = 1$ m μεγαλώνει με $2\pi$ m²/s, όταν $r = 10$ m με $20\pi$ m²/s.

Τέτοιες ερωτήσεις («πόσο γρήγορα αλλάζει το ένα, όταν ξέρω πόσο γρήγορα αλλάζει το άλλο;») είναι σχεδόν σίγουρο υποερώτημα σε Θέμα Γ ή Δ.

Πόσο γρήγορα αλλάζει κάτι;

Αν δύο μεγέθη συνδέονται με $y = f(x)$ , τότε ο ρυθμός μεταβολής του $y$ ως προς το $x$ τη στιγμή που $x = x_0$ είναι η παράγωγος:

$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$

Το κλάσμα $\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ είναι ο μέσος ρυθμός μεταβολής στο διάστημα $[x_0, x_0 + h]$ — και το όριο τον μετατρέπει σε στιγμιαίο. Οι μονάδες «μαρτυρούν» πάντα τον ρυθμό: μονάδες του $y$ ανά μονάδα του $x$ .

Κίνηση σε άξονα: αν $x = x(t)$ η θέση κινητού τη στιγμή $t$ , τότε:

ταχύτητα: $\upsilon(t) = x'(t)$ — ρυθμός μεταβολής της θέσης
επιτάχυνση: $\alpha(t) = \upsilon'(t) = x''(t)$ — ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας

Οικονομία: αν $K(x)$ το κόστος παραγωγής $x$ μονάδων, το $K'(x)$ λέγεται οριακό κόστος — πρακτικά, το πρόσθετο κόστος της «επόμενης» μονάδας. Αντίστοιχα ορίζονται οριακή είσπραξη $E'(x)$ και οριακό κέρδος $P'(x)$ , όπου $P(x) = E(x) - K(x)$ .

$\upsilon(t) = x'(t) \qquad \alpha(t) = \upsilon'(t) = x''(t) \qquad \text{οριακό κόστος} = K'(x)$

Παρακολούθησε μαζί τη θέση και την ταχύτητα του κινητού: θα ανακαλύψεις ότι όταν η ταχύτητα μηδενίζεται και αλλάζει πρόσημο, το κινητό σταματά στιγμιαία και αναστρέφει την πορεία του — η κλίση της μιας καμπύλης είναι το ύψος της άλλης.

Παράδειγμα 1 (κίνηση): Κινητό κινείται σε άξονα με θέση $x(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$ (σε m, $t \geq 0$ σε s). Πότε είναι στιγμιαία ακίνητο και ποια η επιτάχυνσή του τότε;

Η ταχύτητα είναι $\upsilon(t) = x'(t) = 3t^2 - 12t + 9 = 3(t - 1)(t - 3)$ , που μηδενίζεται για $t = 1$ και $t = 3$ .

Η επιτάχυνση είναι $\alpha(t) = \upsilon'(t) = 6t - 12$ , οπότε:

$\alpha(1) = -6 \; \text{m/s}^2 \qquad \alpha(3) = 6 \; \text{m/s}^2$

Για $t \in (1, 3)$ είναι $\upsilon(t) < 0$ : το κινητό κινείται προς τα αρνητικά — στο $t = 1$ «φρενάρει» και γυρίζει, στο $t = 3$ ξαναγυρίζει προς τα θετικά.

Γρήγορος έλεγχος

Κινητό έχει θέση $x(t) = t^3 - 3t$ (m, s). Ποια είναι η επιτάχυνσή του τη στιγμή που η ταχύτητά του μηδενίζεται (για $t > 0$ );

Συνδεόμενοι ρυθμοί — η τεχνική των Πανελληνίων

Στα προβλήματα ρυθμού μεταβολής, δύο ή περισσότερα μεγέθη μεταβάλλονται μαζί με τον χρόνο και συνδέονται με μια γεωμετρική σχέση. Η στρατηγική σε 4 βήματα:

Ονόμασε τα μεγέθη ως συναρτήσεις του χρόνου: $x = x(t)$ , $y = y(t)$ , ...
Γράψε τη σχέση που τα συνδέει για ΚΑΘΕ $t$ (Πυθαγόρειο, όμοια τρίγωνα, όγκος, εμβαδόν...).
Παραγώγισε ως προς $t$ και τα δύο μέλη — κάθε μέγεθος είναι σύνθεση με το $t$ , οπότε ο κανόνας αλυσίδας σκορπίζει παντού παράγοντες $x'(t)$ , $y'(t)$ .
Αντικατάστησε τα δεδομένα ΤΗΣ συγκεκριμένης στιγμής και λύσε ως προς τον ζητούμενο ρυθμό.

Το κλασικό λάθος: να αντικαταστήσεις τις τιμές της στιγμής πριν παραγωγίσεις — τότε όλα γίνονται σταθερές και οι ρυθμοί «εξαφανίζονται». Πρώτα η γενική σχέση και η παραγώγιση, μετά τα νούμερα.

Κόλπο μνήμης

Οι μονάδες σε σώζουν. Ένας ρυθμός έχει πάντα μονάδες «του πάνω ανά του κάτω»: το $V'(t)$ σε m³/s, το $r'(t)$ σε m/s. Αν στο τέλος οι μονάδες της απάντησης δεν «βγαίνουν», κάπου ξέχασες τον παράγοντα της αλυσίδας.

Παράδειγμα 2 (η σκάλα που γλιστράει): Σκάλα μήκους $5$ m είναι ακουμπισμένη σε κατακόρυφο τοίχο. Η βάση της απομακρύνεται από τον τοίχο με ρυθμό $1$ m/s. Με ποιον ρυθμό κατεβαίνει η κορυφή της τη στιγμή που η βάση απέχει $3$ m από τον τοίχο;

Έστω $x(t)$ η απόσταση της βάσης από τον τοίχο και $y(t)$ το ύψος της κορυφής. Από το Πυθαγόρειο θεώρημα, για κάθε $t$ :

$x^2(t) + y^2(t) = 25$

Παραγωγίζουμε ως προς $t$ (κανόνας αλυσίδας):

$2x(t) x'(t) + 2y(t) y'(t) = 0 \iff y'(t) = -\frac{x(t) x'(t)}{y(t)}$

Τη ζητούμενη στιγμή $t_0$ : $x(t_0) = 3$ , οπότε $y(t_0) = \sqrt{25 - 9} = 4$ , και $x'(t_0) = 1$ m/s. Άρα:

$y'(t_0) = -\frac{3 \cdot 1}{4} = -\frac{3}{4} \; \text{m/s}$

Το αρνητικό πρόσημο σημαίνει ότι το $y$ μειώνεται: η κορυφή κατεβαίνει με ρυθμό $0{,}75$ m/s.

Σύρε το σημείο και δες την κλίση της εφαπτομένης να μεταφράζεται σε ρυθμό: θα ανακαλύψεις ότι στα ίδια «βήματα» του x το y άλλοτε τρέχει κι άλλοτε σέρνεται — ο στιγμιαίος ρυθμός είναι ακριβώς αυτή η τοπική κλίση.

Γρήγορος έλεγχος

Σφαιρικό μπαλόνι φουσκώνει ώστε η ακτίνα του να αυξάνεται με ρυθμό $2$ cm/s. Με ποιον ρυθμό αυξάνεται ο όγκος του $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ τη στιγμή που $r = 1$ cm;

Γρήγορος έλεγχος

Ένα σημείο κινείται στην καμπύλη $y = x^2$ και η τετμημένη του αυξάνεται με ρυθμό $3$ μονάδες/s. Με ποιον ρυθμό αυξάνεται η τεταγμένη του τη στιγμή που $x = 2$ ;

Παράδειγμα 3 (μέγιστο κέρδος): Μια επιχείρηση πουλά κάθε μονάδα προϊόντος προς $50$ €, οπότε η είσπραξη είναι $E(x) = 50x$ , ενώ το κόστος είναι $K(x) = x^2 + 10x + 100$ (€). Για ποια παραγωγή το κέρδος γίνεται μέγιστο;

Λύση: Κέρδος $P(x) = E(x) - K(x) = -x^2 + 40x - 100$ και οριακό κέρδος $P'(x) = -2x + 40$ .

$P'(x) > 0$ για $x < 20$ και $P'(x) < 0$ για $x > 20$ : το κέρδος αυξάνεται ως τις $20$ μονάδες και μετά μειώνεται. Μέγιστο κέρδος:

$P(20) = -400 + 800 - 100 = 300 \text{ €}$

Παρατήρησε: στο $x = 20$ ισχύει $K'(20) = 2 \cdot 20 + 10 = 50 = E'(20)$ — το κέρδος μεγιστοποιείται εκεί όπου η οριακή είσπραξη ισούται με το οριακό κόστος.

Γρήγορος έλεγχος

Το κόστος παραγωγής $x$ μονάδων είναι $K(x) = 0{,}1x^2 + 20x + 1000$ (€). Το οριακό κόστος στις $100$ μονάδες είναι:

Ήξερες ότι;

Η λέξη «οριακό» στην Οικονομία (οριακό κόστος, οριακή χρησιμότητα) έχει τη ρίζα της ακριβώς στην παράγωγο. Τη δεκαετία του 1870, οι Jevons, Menger και Walras έφεραν, ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο, τη λογική του «τι αλλάζει με μία μονάδα ακόμη» στο κέντρο της οικονομικής θεωρίας. Οι οικονομολόγοι την ονομάζουν «οριακή επανάσταση».

Παράδειγμα 4 (δεξαμενή σε σχήμα κώνου): Δεξαμενή έχει σχήμα ανεστραμμένου κώνου με ακτίνα βάσης $2$ m και ύψος $4$ m. Νερό εισρέει με ρυθμό $2\ \text{m}^3/\text{min}$ . Με ποιον ρυθμό ανεβαίνει η στάθμη τη στιγμή που το βάθος του νερού είναι $2$ m;

Δεδομένα: $R = 2$ m, $H = 4$ m, $V'(t) = 2\ \text{m}^3/\text{min}$ , $h(t_0) = 2$ m. Ζητούμενο: $h'(t_0)$ .

Λύση: Έστω $h(t)$ το βάθος και $r(t)$ η ακτίνα της επιφάνειας του νερού. Από όμοια τρίγωνα $\frac{r}{h} = \frac{R}{H} = \frac{1}{2}$ , άρα $r(t) = \frac{h(t)}{2}$ και ο όγκος

$V(t) = \frac{1}{3}\pi r^2(t)\,h(t) = \frac{\pi}{12} h^3(t)$

Παραγωγίζουμε ως προς $t$ : $V'(t) = \frac{\pi}{4} h^2(t)\,h'(t)$ . Τη στιγμή $t_0$ :

$2 = \frac{\pi}{4} \cdot 4 \cdot h'(t_0) \iff h'(t_0) = \frac{2}{\pi}\ \text{m/min}$

Απάντηση: η στάθμη ανεβαίνει με ρυθμό $\frac{2}{\pi} \approx 0{,}64$ m/min.

Θέμα τύπου Πανελλαδικών (Θέμα Γ): Ένα σημείο $M$ κινείται στην $C_f$ της $f(x) = \sqrt{x}$ , $x > 0$ . Η τετμημένη του $x(t)$ αυξάνεται με ρυθμό $4$ μονάδες/s. Τη στιγμή $t_0$ που $x(t_0) = 4$ , να βρεθούν οι ρυθμοί μεταβολής:

(α) της τεταγμένης $y(t)$ του $M$ ,

(β) του εμβαδού $E(t)$ του τριγώνου $OMK$ , όπου $K(x(t), 0)$ η προβολή του $M$ στον $x'x$ ,

(γ) της κλίσης $\lambda(t)$ της ευθείας $OM$ .

Λύση (α): $y(t) = \sqrt{x(t)}$ , άρα $y'(t) = \frac{x'(t)}{2\sqrt{x(t)}}$ και $y'(t_0) = \frac{4}{2 \cdot 2} = 1$ μονάδα/s.

Λύση (β): $E(t) = \frac{1}{2} x(t) \sqrt{x(t)} = \frac{1}{2} x^{3/2}(t)$ , οπότε $E'(t) = \frac{3}{4} x^{1/2}(t)\,x'(t)$ και

$E'(t_0) = \frac{3}{4} \cdot 2 \cdot 4 = 6\ \text{τετρ. μονάδες/s}$

Λύση (γ): $\lambda(t) = \frac{\sqrt{x(t)}}{x(t)} = x^{-1/2}(t)$ , άρα $\lambda'(t) = -\frac{1}{2} x^{-3/2}(t)\,x'(t)$ και

$\lambda'(t_0) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8} \cdot 4 = -\frac{1}{4}\ \text{ανά s}$

Το αρνητικό πρόσημο σημαίνει ότι η $OM$ γίνεται όλο και λιγότερο απότομη.

Γρήγορος έλεγχος

Για τον όγκο $V(t)$ του νερού μιας δεξαμενής ισχύει $V'(t_0) = -5$ L/min. Τι σημαίνει αυτό;

Σε κάθε πρόβλημα ρυθμών, η πρώτη σου πρόταση στο γραπτό είναι ο ορισμός των μεταβλητών ΩΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ: «έστω $x(t)$ η ... τη χρονική στιγμή $t$ ». Μετά: γενική σχέση → παραγώγιση ως προς $t$ → αντικατάσταση της στιγμής. Έλεγξε στο τέλος το ΠΡΟΣΗΜΟ του αποτελέσματος: θετικός ρυθμός = το μέγεθος αυξάνεται, αρνητικός = μειώνεται — και διατύπωσε τη φυσική σημασία με μία πρόταση, ζητείται σχεδόν πάντα.

Πρόκληση

Ένας άνθρωπος ύψους $1{,}8$ m απομακρύνεται από έναν φανοστάτη ύψους $6$ m με ταχύτητα $1{,}4$ m/s.

(α) Με ποιον ρυθμό μεγαλώνει η σκιά του;

(β) Με ποια ταχύτητα κινείται η άκρη της σκιάς;

(γ) Εξαρτώνται οι απαντήσεις από το πόσο μακριά βρίσκεται ο άνθρωπος;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Έστω $x(t)$ η απόσταση του ανθρώπου από τη βάση του φανοστάτη και $s(t)$ το μήκος της σκιάς, με $x'(t) = 1{,}4$ m/s.

Από τα όμοια τρίγωνα (φανοστάτης–άκρη σκιάς και άνθρωπος–άκρη σκιάς):

$\frac{s}{1{,}8} = \frac{x + s}{6} \iff 6s = 1{,}8x + 1{,}8s \iff 4{,}2s = 1{,}8x \iff s = \frac{3}{7}x$

(α) Παραγωγίζουμε ως προς $t$ : $s'(t) = \frac{3}{7} x'(t) = \frac{3}{7} \cdot 1{,}4 = 0{,}6$ m/s.

(β) Η άκρη της σκιάς απέχει $x + s$ από τον φανοστάτη, άρα κινείται με $(x + s)'(t) = 1{,}4 + 0{,}6 = 2$ m/s.

(γ) Όχι. Η σχέση $s = \frac{3}{7}x$ είναι γραμμική, άρα οι ρυθμοί είναι σταθεροί σε κάθε θέση.

Η «στροφή»: αν η εκφώνηση έλεγε «τη στιγμή που απέχει $5$ m», πολλοί θα έβαζαν $x = 5$ πριν παραγωγίσουν και θα έβρισκαν ρυθμό $0$ . Πρώτα παραγώγιση, μετά αντικατάσταση.

Συνηθισμένα λάθη

Ξεχνάς τον παράγοντα $x'(t)$ του κανόνα αλυσίδας: $\left(y^2(t)\right)' = 2y(t)\,y'(t)$ , όχι $2y(t)$ .
Συγχέεις μέσο και στιγμιαίο ρυθμό: το $\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$ είναι μέσος ρυθμός, όχι $f'$ .
Λάθος μονάδες: ρυθμός = μονάδες του μεγέθους ανά μονάδα χρόνου (π.χ. $\text{m}^3/\text{min}$ , όχι $\text{m}^3$ ).
Στον κώνο χρησιμοποιείς τη σταθερή ακτίνα της βάσης αντί για την ακτίνα της στάθμης. Πρώτα όμοια τρίγωνα: $\frac{r}{h} = \frac{R}{H}$ .

Σύνοψη — τι κρατάμε

Ρυθμός μεταβολής του $y = f(x)$ στο $x_0$ είναι το $f'(x_0)$ , σε μονάδες « $y$ ανά $x$ ».
Κίνηση: $\upsilon(t) = x'(t)$ , $\alpha(t) = \upsilon'(t) = x''(t)$ · στιγμιαία ακινησία ⇔ $\upsilon = 0$ .
Οικονομία: οριακό κόστος $K'(x)$ , κέρδος $P = E - K$ , μέγιστο κέρδος όπου η $P'$ αλλάζει από $+$ σε $-$ .
Συνδεόμενοι ρυθμοί: μεγέθη ως συναρτήσεις του $t$ → γενική σχέση → παραγώγιση ως προς $t$ → αντικατάσταση της στιγμής.
Θετικός ρυθμός: το μέγεθος αυξάνεται· αρνητικός: μειώνεται.

Πόσο γρήγορα αλλάζει κάτι;

Αν δύο μεγέθη συνδέονται με

y = f(x)

, τότε ο ρυθμός μεταβολής του

y

ως προς το

x

τη στιγμή που

x = x_0

είναι η παράγωγος:

f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}

Το κλάσμα

\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}

είναι ο μέσος ρυθμός μεταβολής στο διάστημα

[x_0, x_0 + h]

— και το όριο τον μετατρέπει σε στιγμιαίο. Οι μονάδες «μαρτυρούν» πάντα τον ρυθμό: μονάδες του

y

ανά μονάδα του

x

Κίνηση σε άξονα: αν

x = x(t)

η θέση κινητού τη στιγμή

t

, τότε:

ταχύτητα:

\upsilon(t) = x'(t)

— ρυθμός μεταβολής της θέσης

επιτάχυνση:

\alpha(t) = \upsilon'(t) = x''(t)

— ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας

Οικονομία: αν

K(x)

το κόστος παραγωγής

x

μονάδων, το

K'(x)

λέγεται οριακό κόστος — πρακτικά, το πρόσθετο κόστος της «επόμενης» μονάδας. Αντίστοιχα ορίζονται οριακή είσπραξη

E'(x)

και οριακό κέρδος

P'(x)

, όπου

P(x) = E(x) - K(x)

Συνδεόμενοι ρυθμοί — η τεχνική των Πανελληνίων

Ονόμασε τα μεγέθη ως συναρτήσεις του χρόνου:

x = x(t)

y = y(t)

, ...

Γράψε τη σχέση που τα συνδέει για ΚΑΘΕ

t

(Πυθαγόρειο, όμοια τρίγωνα, όγκος, εμβαδόν...).

Παραγώγισε ως προς $t$ και τα δύο μέλη — κάθε μέγεθος είναι σύνθεση με το

t

, οπότε ο κανόνας αλυσίδας σκορπίζει παντού παράγοντες

x'(t)

y'(t)

Αντικατάστησε τα δεδομένα ΤΗΣ συγκεκριμένης στιγμής και λύσε ως προς τον ζητούμενο ρυθμό.