⚖️

Διάταξη Πραγματικών Αριθμών

Ανισότητες, πράξεις κατά μέλη, διαστήματα

Φτάνουν τα λεφτά σου;

Το κινητό που θέλεις κοστίζει από $300$ ως $400$ €, η θήκη από $20$ ως $30$ €. Πόσα να έχεις μαζί σου; Προσθέτεις κατά μέλη: από $320$ ως $430$ €. Κάθε φορά που εκτιμάς «από… έως…», δουλεύεις με ανισότητες — και εδώ μαθαίνεις ποιες κινήσεις επιτρέπονται και ποιες σε ρίχνουν σε παγίδα.

Ποιος είναι μεγαλύτερος; — η διάταξη στον άξονα

Στον άξονα των πραγματικών αριθμών, μεγαλύτερος είναι όποιος βρίσκεται δεξιότερα — όπως σε ένα θερμόμετρο ο $-2$ είναι «πιο ζεστός» από τον $-7$ , αν και τα ψηφία λένε αλλιώς.

Ο αυστηρός ορισμός χρησιμοποιεί τη διαφορά:

$\alpha > \beta \iff \alpha - \beta > 0$

Άρα, για να συγκρίνεις δύο αριθμούς ή παραστάσεις, αφαίρεσέ τους και κοίτα το πρόσημο της διαφοράς. Αυτή είναι η βασική μέθοδος σύγκρισης σε όλο το Λύκειο. Αντίστοιχα $\alpha < \beta \iff \alpha - \beta < 0$ και $\alpha = \beta \iff \alpha - \beta = 0$ . Το σύμβολο $\alpha \ge \beta$ σημαίνει « $\alpha > \beta$ ή $\alpha = \beta$ ».

Περπάτησε στον άξονα και σύγκρινε θέσεις — θα ανακαλύψεις ότι η διάταξη είναι απλώς «ποιος στέκεται δεξιότερα», ακόμα και στους αρνητικούς.

Ήξερες ότι;

Τα σύμβολα $<$ και $>$ είναι σχετικά «νέα»: εμφανίστηκαν σε βιβλίο του Άγγλου μαθηματικού Thomas Harriot, που εκδόθηκε μετά τον θάνατό του, το 1631. Ως τότε οι μαθηματικοί έγραφαν «μεγαλύτερο» και «μικρότερο» ολογράφως.

Οι ιδιότητες — τι «επιτρέπεται» σε μια ανισότητα

Μια ανισότητα είναι σαν ζυγαριά που γέρνει. Τι μπορούμε να κάνουμε χωρίς να χαλάσουμε την πληροφορία;

Πρόσθεση ίδιου αριθμού: $\alpha > \beta \iff \alpha + \gamma > \beta + \gamma$ — η φορά διατηρείται πάντα.
Πολλαπλασιασμός με θετικό: αν $\gamma > 0$ , τότε $\alpha > \beta \iff \alpha\gamma > \beta\gamma$ — η φορά διατηρείται.
Πολλαπλασιασμός με αρνητικό: αν $\gamma < 0$ , τότε $\alpha > \beta \iff \alpha\gamma < \beta\gamma$ — η φορά αντιστρέφεται! Λογικό: το $3 > 2$ γίνεται $-3 < -2$ , αφού στον άξονα ο πολλαπλασιασμός με $-1$ καθρεφτίζει τις θέσεις.
Μεταβατική: αν $\alpha > \beta$ και $\beta > \gamma$ , τότε $\alpha > \gamma$ .

Γρήγορος έλεγχος

Αν $\alpha < \beta$ , τι ισχύει για τα $-2\alpha$ και $-2\beta$ ;

$\alpha > \beta \iff \alpha - \beta > 0, \qquad \gamma < 0: \ \alpha > \beta \iff \alpha\gamma < \beta\gamma, \qquad \alpha^2 \ge 0 \ \text{για κάθε } \alpha \in \mathbb{R}$

Κόλπο μνήμης

Φαντάσου την ανισότητα ως καθρέφτη: όταν πολλαπλασιάζεις ή διαιρείς με αρνητικό, όλα καθρεφτίζονται στον άξονα — ο μεγαλύτερος γίνεται μικρότερος, άρα γυρνάς τη φορά. Πρόσθεση και θετικός πολλαπλασιαστής απλώς μετακινούν ή τεντώνουν — η φορά μένει.

Πράξεις κατά μέλη — και οι παγίδες τους

Πρόσθεση κατά μέλη (πάντα επιτρέπεται): αν $\alpha > \beta$ και $\gamma > \delta$ , τότε $\alpha + \gamma > \beta + \delta$ .
Πολλαπλασιασμός κατά μέλη (μόνο για θετικούς): αν $\alpha > \beta > 0$ και $\gamma > \delta > 0$ , τότε $\alpha\gamma > \beta\delta$ .
ΑΠΑΓΟΡΕΥΕΤΑΙ η αφαίρεση και η διαίρεση κατά μέλη — από $5 > 1$ και $4 > 1$ ΔΕΝ προκύπτει $5 - 4 > 1 - 1$ .

Χρήσιμα συμπληρώματα: για ομόσημους $\alpha, \beta$ ισχύει $\alpha < \beta \iff \frac{1}{\alpha} > \frac{1}{\beta}$ , ενώ για θετικούς $\alpha, \beta$ ισχύει $\alpha < \beta \iff \alpha^2 < \beta^2$ .

Τέλος, το θεμέλιο πολλών αποδείξεων: $\alpha^2 \ge 0$ για κάθε πραγματικό $\alpha$ , και $\alpha^2 + \beta^2 = 0 \iff \alpha = 0$ και $\beta = 0$ — ένα άθροισμα τετραγώνων μηδενίζεται μόνο όταν μηδενίζονται όλα του τα μέλη.

Μέθοδος: απόδειξη ανισότητας

Μετέφερε τα πάντα στο ένα μέλος: για να δείξεις $A \ge B$ , μελέτησε τη διαφορά $A - B$ .
Κάνε πράξεις και προσπάθησε να τη γράψεις ως τέλειο τετράγωνο, άθροισμα τετραγώνων ή γινόμενο/πηλίκο παραγόντων γνωστού προσήμου.
Συμπέρανε το πρόσημο — π.χ. $(\ldots)^2 \ge 0$ πάντα.
Εξέτασε πότε ισχύει το ίσον: συνήθως όταν μηδενίζεται το τετράγωνο.

Παράδειγμα: Να αποδειχθεί ότι: α) $\alpha^2 + \beta^2 \ge 2\alpha\beta$ για κάθε $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ , β) $\alpha + \frac{1}{\alpha} \ge 2$ για κάθε $\alpha > 0$ .

Λύση: α) $\alpha^2 + \beta^2 - 2\alpha\beta = (\alpha - \beta)^2 \ge 0$ , άρα $\alpha^2 + \beta^2 \ge 2\alpha\beta$ . Το ίσον ισχύει μόνο όταν $\alpha = \beta$ .

β) $\alpha + \frac{1}{\alpha} - 2 = \frac{\alpha^2 - 2\alpha + 1}{\alpha} = \frac{(\alpha - 1)^2}{\alpha}$ . Ο αριθμητής είναι $\ge 0$ και ο παρονομαστής $\alpha > 0$ , άρα το κλάσμα είναι $\ge 0$ και $\alpha + \frac{1}{\alpha} \ge 2$ , με ίσον μόνο για $\alpha = 1$ .

Στο (β) η υπόθεση $\alpha > 0$ χρειάστηκε για το πρόσημο του παρονομαστή — για $\alpha = -1$ η ανισότητα αποτυγχάνει: $-1 + (-1) = -2 < 2$ .

Άσκηση: Αν $2 < x < 5$ και $1 < y < 3$ , να βρεθούν τα όρια των παραστάσεων $x + y$ , $x - y$ και $xy$ .

Λύση: Για το $x + y$ προσθέτουμε κατά μέλη: $2 + 1 < x + y < 5 + 3$ , δηλαδή $3 < x + y < 8$ .

Για το $x - y$ ΔΕΝ αφαιρούμε κατά μέλη! Γράφουμε $x - y = x + (-y)$ . Από $1 < y < 3$ , πολλαπλασιάζοντας με $-1$ : $-3 < -y < -1$ . Τώρα προσθέτουμε κατά μέλη με το $2 < x < 5$ :

$2 + (-3) < x - y < 5 + (-1) \iff -1 < x - y < 4$

Για το $xy$ , όλα τα μέλη είναι θετικά, άρα πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη: $2 \cdot 1 < xy < 5 \cdot 3$ , δηλαδή $2 < xy < 15$ .

Γρήγορος έλεγχος

Αν $1 < x < 4$ , σε ποιο διάστημα βρίσκεται η παράσταση $3x - 2$ ;

Γρήγορος έλεγχος

Αν $2 < x < 5$ , τι ισχύει για τον αριθμό $\frac{1}{x}$ ;

Διαστήματα — η γλώσσα των λύσεων

Οι λύσεις ανισώσεων είναι «κομμάτια» του άξονα — τα διαστήματα. Για $\alpha < \beta$ :

$[\alpha, \beta]$ κλειστό: $\alpha \le x \le \beta$ — τα άκρα ανήκουν
$(\alpha, \beta)$ ανοικτό: $\alpha < x < \beta$ — τα άκρα δεν ανήκουν
$[\alpha, \beta)$ και $(\alpha, \beta]$ : ημίκλειστα — ανήκει μόνο το «αγκυλωτό» άκρο
Μη φραγμένα: $[\alpha, +\infty)$ σημαίνει $x \ge \alpha$ , ενώ $(-\infty, \beta)$ σημαίνει $x < \beta$ . Δίπλα στο $\pm\infty$ μπαίνει πάντα παρένθεση.

Όταν δύο συνθήκες πρέπει να συναληθεύσουν (π.χ. $x \ge 1$ και $x < 3$ ), σχεδίασέ τις στον ίδιο άξονα. Κράτα μόνο το κοινό κομμάτι: εδώ $[1, 3)$ . Έτσι κλείνει κάθε ανίσωση ή σύστημα ανισώσεων 1ου βαθμού.

Ανισώσεις 1ου βαθμού

Κάθε ανίσωση 1ου βαθμού, μετά από απαλοιφή παρονομαστών και αναγωγή ομοίων όρων, παίρνει τη μορφή $\alpha x > \beta$ (ή $<$ , $\ge$ , $\le$ ). Όπως στις εξισώσεις, όλα κρίνονται από τον συντελεστή $\alpha$ :

$\alpha > 0$ : $x > \frac{\beta}{\alpha}$ — η φορά μένει ίδια
$\alpha < 0$ : $x < \frac{\beta}{\alpha}$ — η φορά αντιστρέφεται
$\alpha = 0$ : γίνεται $0x > \beta$ , που αληθεύει για κάθε $x$ αν $\beta < 0$ και είναι αδύνατη αν $\beta \ge 0$

Παράδειγμα: α) Να λυθεί η ανίσωση $\frac{x - 1}{2} - \frac{x + 2}{3} < 1$ . β) Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων $2x - 1 \ge 3$ και $5 - x > 0$ .

Λύση: α) Πολλαπλασιάζουμε όλους τους όρους με το ΕΚΠ $6 > 0$ (η φορά μένει):

$3(x - 1) - 2(x + 2) < 6 \iff 3x - 3 - 2x - 4 < 6 \iff x < 13$

Άρα $x \in (-\infty, 13)$ .

β) $2x - 1 \ge 3 \iff 2x \ge 4 \iff x \ge 2$ και $5 - x > 0 \iff x < 5$ . Σε κοινό άξονα, το κοινό κομμάτι είναι το $[2, 5)$ .

Γρήγορος έλεγχος

Τι ισχύει για την ανίσωση $0 \cdot x > -2$ ;

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Αν $1 < \alpha < 3$ και $-2 < \beta < -1$ , να βρεθούν τα όρια των παραστάσεων: α) $\alpha - \beta$ , β) $\alpha\beta$ , γ) $\frac{1}{\alpha}$ . δ) Να δειχθεί ότι $\alpha^2 - 4\alpha + 3 < 0$ .

Λύση:

α) Από $-2 < \beta < -1$ , πολλαπλασιάζοντας με $-1$ : $1 < -\beta < 2$ . Προσθέτουμε κατά μέλη με την $1 < \alpha < 3$ : $2 < \alpha - \beta < 5$ .

β) Δεν πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη ανισότητες με αρνητικά μέλη. Χρησιμοποιούμε τους θετικούς $\alpha$ και $-\beta$ : $1 \cdot 1 < \alpha(-\beta) < 3 \cdot 2$ , δηλαδή $1 < -\alpha\beta < 6$ , και με πολλαπλασιασμό επί $-1$ : $-6 < \alpha\beta < -1$ .

γ) Όλα τα μέλη της $1 < \alpha < 3$ είναι θετικά, οπότε με αντιστροφή αλλάζει η φορά: $\frac{1}{3} < \frac{1}{\alpha} < 1$ .

δ) $\alpha^2 - 4\alpha + 3 = (\alpha - 1)(\alpha - 3)$ . Αφού $\alpha > 1$ είναι $\alpha - 1 > 0$ , και αφού $\alpha < 3$ είναι $\alpha - 3 < 0$ . Γινόμενο θετικού με αρνητικό, άρα $\alpha^2 - 4\alpha + 3 < 0$ ✓

Απάντηση: α) $(2, 5)$ , β) $(-6, -1)$ , γ) $\left(\frac{1}{3}, 1\right)$ , δ) αποδείχθηκε.

Πρόκληση

Ποια είναι η μικρότερη τιμή που μπορεί να πάρει η παράσταση $(\alpha + \beta)\left(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}\right)$ για $\alpha, \beta > 0$ ; Πότε την πιάνει;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Δοκίμασε μερικές τιμές: $\alpha = \beta = 1$ δίνει $2 \cdot 2 = 4$ · $\ \alpha = 1, \beta = 2$ δίνει $3 \cdot \frac{3}{2} = 4{,}5$ . Υποψία: η ελάχιστη τιμή είναι $4$ . Απόδειξη:

$(\alpha + \beta)\left(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}\right) = 1 + \frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} + 1 = 2 + \frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha}$

Αρκεί $\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} \ge 2$ . Πολλαπλασιάζουμε με $\alpha\beta > 0$ (η φορά μένει):

$\alpha^2 + \beta^2 \ge 2\alpha\beta \iff \alpha^2 - 2\alpha\beta + \beta^2 \ge 0 \iff (\alpha - \beta)^2 \ge 0$

που ισχύει. Η ισότητα ισχύει μόνο όταν $\alpha = \beta$ .

Απάντηση: Η μικρότερη τιμή είναι $4$ και επιτυγχάνεται όταν $\alpha = \beta$ .

Τρεις «κόκκινες κάρτες» που κοστίζουν μονάδες: 1) Πολλαπλασιασμός/διαίρεση με αρνητικό χωρίς αντιστροφή της φοράς. 2) Αφαίρεση ή διαίρεση ανισοτήτων κατά μέλη — δεν επιτρέπεται ΠΟΤΕ· για το $x - y$ μετάτρεψε σε $x + (-y)$ . 3) Πολλαπλασιασμός με παράσταση αγνώστου προσήμου (π.χ. με $x$ ) χωρίς διάκριση περιπτώσεων. Στη σύγκριση παραστάσεων, ξεκίνα πάντα από τη διαφορά $A - B$ και βρες το πρόσημό της.

Συνηθισμένα λάθη

Στην απαλοιφή παρονομαστών πολλαπλασιάζουν μόνο τα κλάσματα και ξεχνούν τους ακέραιους όρους: στο (α) του παραδείγματος το $1$ γίνεται $6$ .
Πολλαπλασιάζουν ανισότητες κατά μέλη ενώ κάποια μέλη είναι αρνητικά. Κάνε πρώτα όλα τα μέλη θετικά (π.χ. με το $-\beta$ ).
Αντιστρέφουν χωρίς να ελέγξουν ότι τα μέλη είναι ομόσημα: από $-1 < x < 2$ δεν προκύπτει φράγμα για το $\frac{1}{x}$ με αντιστροφή — το $0$ είναι μέσα στο διάστημα.
Γράφουν αγκύλη δίπλα στο άπειρο, όπως $[2, +\infty]$ . Δίπλα στο $\pm\infty$ μπαίνει πάντα παρένθεση.

Σύνοψη — τι κρατάμε

$\alpha > \beta \iff \alpha - \beta > 0$ : η σύγκριση γίνεται πάντα μέσω της διαφοράς
Πολλαπλασιασμός με αρνητικό αντιστρέφει τη φορά· πρόσθεση κατά μέλη επιτρέπεται πάντα, πολλαπλασιασμός μόνο με θετικά μέλη
Αφαίρεση και διαίρεση κατά μέλη απαγορεύονται: γράψε $x - y = x + (-y)$
$\alpha^2 \ge 0$ , $\alpha^2 + \beta^2 \ge 2\alpha\beta$ και $\alpha^2 + \beta^2 = 0 \iff \alpha = \beta = 0$
$\alpha x > \beta$ : για $\alpha > 0$ είναι $x > \frac{\beta}{\alpha}$ , για $\alpha < 0$ είναι $x < \frac{\beta}{\alpha}$ , για $\alpha = 0$ κρίνει το πρόσημο του $\beta$

Ποιος είναι μεγαλύτερος; — η διάταξη στον άξονα

Στον άξονα των πραγματικών αριθμών, μεγαλύτερος είναι όποιος βρίσκεται δεξιότερα — όπως σε ένα θερμόμετρο ο

-2

είναι «πιο ζεστός» από τον

-7

, αν και τα ψηφία λένε αλλιώς.

Ο αυστηρός ορισμός χρησιμοποιεί τη διαφορά:

\alpha > \beta \iff \alpha - \beta > 0

Άρα, για να συγκρίνεις δύο αριθμούς ή παραστάσεις, αφαίρεσέ τους και κοίτα το πρόσημο της διαφοράς. Αυτή είναι η βασική μέθοδος σύγκρισης σε όλο το Λύκειο. Αντίστοιχα

\alpha < \beta \iff \alpha - \beta < 0

και

\alpha = \beta \iff \alpha - \beta = 0

. Το σύμβολο

\alpha \ge \beta

σημαίνει «

\alpha > \beta

\alpha = \beta

».