🔗

Συνέχεια

Συνέχεια σε σημείο, θεώρημα Bolzano

Γιατί με νοιάζει;

Στις $6{:}00$ το θερμόμετρο έδειχνε $-3\,^\circ\text{C}$ και στις $12{:}00$ έδειχνε $5\,^\circ\text{C}$ . Μπορείς να ορκιστείς ότι κάποια στιγμή η θερμοκρασία ήταν ακριβώς $0\,^\circ\text{C}$ ; Ναι, γιατί η θερμοκρασία δεν «πηδάει»: αλλάζει συνεχώς.

Αυτό λέει το θεώρημα Bolzano. Με αυτό αποδεικνύεις ότι μια εξίσωση έχει ρίζα χωρίς να τη λύσεις, ένα από τα πιο συχνά ερωτήματα των Πανελλαδικών.

Συνέχεια σε σημείο

Μια συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο $x_0$ του πεδίου ορισμού της όταν το όριο υπάρχει και συμπίπτει με την τιμή της συνάρτησης. Αν η ισότητα δεν ισχύει, η $f$ είναι ασυνεχής στο $x_0$ .

Συνεχής σε διάστημα: συνεχής σε κάθε εσωτερικό σημείο του (και πλευρικά στα τυχόν κλειστά άκρα).

$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$

Δες τη διαφορά: συνεχής καμπύλη vs «άλμα» ασυνέχειας.

Κόλπο μνήμης

Συνέχεια στο $x_0$ = τρία «ναι»: (1) ορίζεται η $f(x_0)$ ; (2) υπάρχει το $\lim_{x \to x_0} f(x)$ ; (3) είναι ίσα; Ένα «όχι» αρκεί για ασυνέχεια. Σε διάστημα, η εικόνα είναι: «σχεδιάζεις τη $C_f$ χωρίς να σηκώσεις το μολύβι».

Ποιες συναρτήσεις είναι συνεχείς

Πολυωνυμικές, ρητές, $\eta\mu x$ , $\sigma\upsilon\nu x$ , $e^x$ , $\ln x$ είναι συνεχείς στο πεδίο ορισμού τους. Άθροισμα, γινόμενο, πηλίκο και σύνθεση συνεχών είναι συνεχείς συναρτήσεις — έτσι δικαιολογούμε με μία γραμμή τη συνέχεια στις ασκήσεις.

Μέθοδος: συνέχεια κλαδικής συνάρτησης

Σε κάθε ανοικτό διάστημα όπου ισχύει ένας τύπος, η $f$ είναι συνεχής ως πολυωνυμική, ρητή, σύνθεση συνεχών κ.λπ. — το γράφεις με μία γραμμή.
Στο σημείο $x_0$ όπου αλλάζει ο τύπος υπολογίζεις την τιμή $f(x_0)$ από τον κλάδο που περιέχει το « $=$ ».
Υπολογίζεις $\lim_{x \to x_0^-} f(x)$ και $\lim_{x \to x_0^+} f(x)$ από τους αντίστοιχους κλάδους.
Η $f$ είναι συνεχής στο $x_0$ αν και μόνο αν αριστερό όριο = δεξί όριο = $f(x_0)$ — από εδώ προκύπτουν οι εξισώσεις για τις παραμέτρους.

Παράδειγμα: Να βρεθεί το $\alpha$ ώστε η $f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sqrt{x + 2} - 2}{x - 2}, & x > 2 \\ \alpha x + 1, & x \le 2 \end{cases}$ να είναι συνεχής στο $\mathbb{R}$ .

Λύση: Για $x < 2$ η $f$ είναι πολυωνυμική και για $x > 2$ πηλίκο συνεχών, άρα συνεχής. Μένει το $x_0 = 2$ :

$f(2) = 2\alpha + 1$ και $\lim_{x \to 2^-} f(x) = 2\alpha + 1$ .
Δεξιά, μορφή $\frac{0}{0}$ · με συζυγή: $\dfrac{\sqrt{x + 2} - 2}{x - 2} = \dfrac{x + 2 - 4}{(x - 2)(\sqrt{x + 2} + 2)} = \dfrac{1}{\sqrt{x + 2} + 2} \to \dfrac{1}{4}$ .

Συνέχεια στο $2$ : $2\alpha + 1 = \frac{1}{4} \iff 2\alpha = -\frac{3}{4} \iff \alpha = -\frac{3}{8}$ .

Γρήγορος έλεγχος

Δίνεται $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ για $x \neq 1$ και $f(1) = 3$ . Είναι η $f$ συνεχής στο $x_0 = 1$ ;

Γρήγορος έλεγχος

Δίνεται $f(x) = x^2 + 1$ για $x \le 1$ και $f(x) = \alpha x$ για $x > 1$ . Για ποια τιμή του $\alpha$ η $f$ είναι συνεχής στο $x_0 = 1$ ;

Θεώρημα Bolzano

Αν η $f$ είναι συνεχής στο $[\alpha, \beta]$ και $f(\alpha) \cdot f(\beta) < 0$ , τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα $\xi \in (\alpha, \beta)$ με $f(\xi) = 0$ .

Δηλαδή: αν η συνάρτηση αλλάζει πρόσημο, η γραφική της παράσταση «κόβει» υποχρεωτικά τον άξονα $x'x$ . Αν επιπλέον η $f$ είναι γνησίως μονότονη στο $[\alpha, \beta]$ , η ρίζα είναι μοναδική.

Ήξερες ότι;

Ο Bernard Bolzano, ιερέας και μαθηματικός από την Πράγα, απέδειξε το θεώρημα το 1817, σε μια εποχή που οι περισσότεροι το θεωρούσαν «προφανές» από το σχήμα. Η δουλειά του έμεινε για δεκαετίες σχεδόν άγνωστη. Σήμερα το ίδιο επιχείρημα δουλεύει μέσα σε κάθε αριθμομηχανή που λύνει εξισώσεις με τη μέθοδο της διχοτόμησης: κόβει το διάστημα στη μέση και κρατά το μισό όπου αλλάζει το πρόσημο.

Συνέπειες του Bolzano: διατήρηση προσήμου

Αν η $f$ είναι συνεχής σε διάστημα $\Delta$ και δεν μηδενίζεται σε αυτό, τότε διατηρεί σταθερό πρόσημο στο $\Delta$ — αλλιώς, από Bolzano, θα είχε ρίζα.
Άρα μια συνεχής $f$ διατηρεί πρόσημο ανάμεσα σε δύο διαδοχικές ρίζες της. Για το πρόσημο σε κάθε υποδιάστημα αρκεί η τιμή σε ένα σημείο του.
Το αντίστροφο του Bolzano δεν ισχύει: η $f(x) = x^2$ έχει ρίζα στο $(-1, 1)$ , αν και $f(-1) f(1) = 1 > 0$ . Και το Bolzano δίνει ύπαρξη, όχι πλήθος ριζών.

Παράδειγμα: Η $f(x) = x^3 + x - 1$ είναι συνεχής (πολυωνυμική), $f(0) = -1 < 0$ και $f(1) = 1 > 0$ . Άρα από Bolzano υπάρχει ρίζα στο $(0, 1)$ — και είναι μοναδική, αφού $f'(x) = 3x^2 + 1 > 0$ (γνησίως αύξουσα).

Άσκηση: Να δείξετε ότι η εξίσωση $e^x = 2 - x$ έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο $(0, 1)$ .

Λύση: Θεωρούμε $f(x) = e^x + x - 2$ , συνεχή στο $[0, 1]$ ως άθροισμα συνεχών. Είναι $f(0) = 1 + 0 - 2 = -1 < 0$ και $f(1) = e + 1 - 2 = e - 1 > 0$ , αφού $e > 1$ . Άρα $f(0) \cdot f(1) < 0$ και από Bolzano υπάρχει $\xi \in (0, 1)$ με $f(\xi) = 0$ , δηλαδή $e^{\xi} = 2 - \xi$ .

Παράδειγμα (πρόσημο συνεχούς): Να βρεθεί το πρόσημο της $f(x) = x^3 - 4x$ .

Λύση: $f(x) = x(x - 2)(x + 2)$ , με ρίζες $-2, 0, 2$ . Η $f$ είναι συνεχής, άρα σε καθένα από τα $(-\infty, -2)$ , $(-2, 0)$ , $(0, 2)$ , $(2, +\infty)$ διατηρεί πρόσημο. Μία δοκιμαστική τιμή σε καθένα:

$f(-3) = -27 + 12 = -15, \quad f(-1) = -1 + 4 = 3, \quad f(1) = 1 - 4 = -3, \quad f(3) = 27 - 12 = 15$

Άρα $f < 0$ στα $(-\infty, -2)$ και $(0, 2)$ , ενώ $f > 0$ στα $(-2, 0)$ και $(2, +\infty)$ .

Θέμα τύπου Πανελλαδικών (Θέμα Β): Η $f$ είναι συνεχής στο $[0, 1]$ με $0 < f(x) < 1$ για κάθε $x \in [0, 1]$ .

(α) Να δείξετε ότι υπάρχει $\xi \in (0, 1)$ τέτοιο ώστε $f(\xi) = \xi$ .

(β) Αν επιπλέον η $f$ είναι γνησίως φθίνουσα, να δείξετε ότι το $\xi$ είναι μοναδικό.

Λύση (α): Θεωρούμε $g(x) = f(x) - x$ , $x \in [0, 1]$ .

Η $g$ είναι συνεχής στο $[0, 1]$ ως διαφορά συνεχών.
$g(0) = f(0) > 0$ και $g(1) = f(1) - 1 < 0$ , αφού $f(1) < 1$ .

Άρα $g(0) g(1) < 0$ και από Bolzano υπάρχει $\xi \in (0, 1)$ με $g(\xi) = 0$ , δηλαδή $f(\xi) = \xi$ .

Λύση (β): Για $x_1 < x_2$ στο $[0, 1]$ είναι $f(x_1) > f(x_2)$ και $-x_1 > -x_2$ · προσθέτοντας, $g(x_1) > g(x_2)$ . Η $g$ είναι γνησίως φθίνουσα, άρα έχει το πολύ μία ρίζα: το $\xi$ είναι μοναδικό.

Γεωμετρικά: η $C_f$ τέμνει την ευθεία $y = x$ σε ένα ακριβώς σημείο.

Γρήγορος έλεγχος

Η $f$ είναι συνεχής στο $[0, 2]$ με $f(0) = 1$ και $f(2) = 3$ . Τι ισχύει για τις ρίζες της $f$ στο $(0, 2)$ ;

Γρήγορος έλεγχος

Η $f$ είναι συνεχής στο $\mathbb{R}$ , $f(x) \neq 0$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ και $f(0) = -3$ . Τι ισχύει;

Γρήγορος έλεγχος

Ποια πρόταση για το θεώρημα Bolzano είναι σωστή;

Όταν ζητείται «υπάρχει ρίζα/λύση»: φέρε όλους τους όρους στο ένα μέλος, όρισε $f$ , δικαιολόγησε συνέχεια και ψάξε $\alpha, \beta$ με $f(\alpha) \cdot f(\beta) < 0$ — δοκίμασε πρώτα τα άκρα του διαστήματος που δίνει η εκφώνηση.

Πρόκληση

Ένας ορειβάτης περπατά $2$ ώρες σε ένα μονοπάτι και τερματίζει στο ίδιο υψόμετρο από το οποίο ξεκίνησε. Να δείξετε ότι υπάρχει ένα χρονικό διάστημα ακριβώς μίας ώρας στην αρχή και στο τέλος του οποίου βρισκόταν στο ίδιο υψόμετρο.

Μαθηματικά: αν η $f$ είναι συνεχής στο $[0, 2]$ με $f(0) = f(2)$ , υπάρχει $\xi \in [0, 1]$ με $f(\xi) = f(\xi + 1)$ .

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Βοηθητική: $g(x) = f(x + 1) - f(x)$ , $x \in [0, 1]$ . Είναι συνεχής ως διαφορά συνεχών (για $x \in [0, 1]$ είναι $x + 1 \in [1, 2]$ ).

$g(0) = f(1) - f(0), \qquad g(1) = f(2) - f(1) = f(0) - f(1) = -g(0)$

Άρα $g(0)\, g(1) = -g^2(0) \le 0$ . Εδώ «κόβονται» μονάδες, γιατί χρειάζονται δύο περιπτώσεις:

Αν $g(0) = 0$ , τότε $f(0) = f(1)$ και παίρνουμε $\xi = 0$ .
Αν $g(0) \neq 0$ , τότε $g(0)\, g(1) < 0$ και από το θεώρημα Bolzano υπάρχει $\xi \in (0, 1)$ με $g(\xi) = 0$ , δηλαδή $f(\xi) = f(\xi + 1)$ .

Η «στροφή»: το Bolzano θέλει γινόμενο αυστηρά αρνητικό. Όταν καταλήγεις σε « $\le 0$ », χειρίσου χωριστά την περίπτωση της ισότητας.

Συνηθισμένα λάθη

Bolzano χωρίς συνέχεια στο κλειστό διάστημα: η $\frac{1}{x}$ στο $[-1, 1]$ έχει $f(-1) f(1) < 0$ αλλά καμία ρίζα, γιατί δεν ορίζεται στο $0$ .
«Ακριβώς μία ρίζα» μόνο από Bolzano. Η μοναδικότητα θέλει επιπλέον γνήσια μονοτονία.
Στη συνέχεια κλαδικής ελέγχεις μόνο το ένα πλευρικό όριο ή ξεχνάς την τιμή $f(x_0)$ — χρειάζονται και τα τρία.
Το Bolzano δίνει ρίζα στο ανοικτό $(\alpha, \beta)$ . Αν η εκφώνηση ζητά ρίζα στο $[\alpha, \beta]$ με $f(\alpha) f(\beta) \le 0$ , εξέτασε χωριστά την περίπτωση $f(\alpha) f(\beta) = 0$ .

Σύνοψη — τι κρατάμε

$f$ συνεχής στο $x_0$ $\iff \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$ · σε κλαδική: αριστερό όριο = δεξί όριο = τιμή.
Πολυωνυμικές, ρητές, $\eta\mu x$ , $\sigma\upsilon\nu x$ , $e^x$ , $\ln x$ και οι πράξεις/συνθέσεις τους είναι συνεχείς στο πεδίο ορισμού τους.
Bolzano: $f$ συνεχής στο $[\alpha, \beta]$ και $f(\alpha) f(\beta) < 0$ ⇒ ρίζα στο $(\alpha, \beta)$ — ύπαρξη, όχι μοναδικότητα.
Συνεχής χωρίς ρίζες σε διάστημα ⇒ σταθερό πρόσημο· ανάμεσα σε διαδοχικές ρίζες το πρόσημο βρίσκεται με μία τιμή.
Μοναδικότητα ρίζας: Bolzano (ή σύνολο τιμών) + γνήσια μονοτονία.

Συνέχεια σε σημείο

Μια συνάρτηση

f

είναι συνεχής στο $x_0$ του πεδίου ορισμού της όταν το όριο υπάρχει και συμπίπτει με την τιμή της συνάρτησης. Αν η ισότητα δεν ισχύει, η

f

είναι ασυνεχής στο

x_0

Συνεχής σε διάστημα: συνεχής σε κάθε εσωτερικό σημείο του (και πλευρικά στα τυχόν κλειστά άκρα).