📏

Πραγματικοί Αριθμοί & Απόλυτη Τιμή

Δυνάμεις, ρίζες, |x| ως απόσταση

Πόσο «λάθος» επιτρέπεται;

Πολλά εμβόλια φυλάσσονται σε ψυγείο από $2$ έως $8\ ^\circ\text{C}$ . Αυτό γράφεται σύντομα $|T - 5| \le 3$ : η θερμοκρασία απέχει το πολύ $3$ βαθμούς από το $5$ . Η απόλυτη τιμή είναι η γλώσσα της ανοχής — στη βιομηχανία, στην ιατρική, στις μετρήσεις. Εδώ μαθαίνεις να τη χειρίζεσαι μαζί με δυνάμεις και ρίζες.

Δυνάμεις και ρίζες — οι κανόνες του παιχνιδιού

Στο Λύκειο οι πράξεις με δυνάμεις γίνονται καθημερινό εργαλείο, οπότε αξίζει να τις έχεις «στο αυτόματο»:

$\alpha^\mu \cdot \alpha^\nu = \alpha^{\mu + \nu}$ και $\frac{\alpha^\mu}{\alpha^\nu} = \alpha^{\mu - \nu}$
$(\alpha^\mu)^\nu = \alpha^{\mu \nu}$ και $(\alpha \beta)^\nu = \alpha^\nu \beta^\nu$
$\alpha^{-\nu} = \frac{1}{\alpha^\nu}$ και $\alpha^0 = 1$ (για $\alpha \neq 0$ )

Για τις ρίζες ( $\alpha, \beta \ge 0$ ): $\sqrt{\alpha \beta} = \sqrt{\alpha} \sqrt{\beta}$ , $\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}} = \frac{\sqrt{\alpha}}{\sqrt{\beta}}$ ( $\beta > 0$ ) και γενικά $\sqrt[\nu]{\alpha^\mu} = \alpha^{\frac{\mu}{\nu}}$ .

Προσοχή στην πιο διάσημη παγίδα του κεφαλαίου: $\sqrt{\alpha^2} = |\alpha|$ — ΟΧΙ σκέτο $\alpha$ ! Για $\alpha = -3$ : $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3 = |-3|$ .

Παράδειγμα: $\sqrt{18} + \sqrt{50} = \sqrt{9 \cdot 2} + \sqrt{25 \cdot 2} = 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ . Σπάμε κάθε υπόρριζο σε τέλειο τετράγωνο επί κάτι — έτσι «μαζεύονται» οι ρίζες σαν όμοιοι όροι.

Παράδειγμα: Να απλοποιηθούν: α) $A = \frac{2^5 \cdot 4^{-1}}{8^2}$ , β) $B = \frac{6}{\sqrt{3}}$ , γ) $\Gamma = \sqrt{(x - 5)^2}$ για $x < 5$ .

Λύση: α) Γράφουμε όλα σε βάση $2$ : $4^{-1} = (2^2)^{-1} = 2^{-2}$ και $8^2 = (2^3)^2 = 2^6$ . Άρα

$A = \frac{2^5 \cdot 2^{-2}}{2^6} = 2^{5 - 2 - 6} = 2^{-3} = \frac{1}{8}$

β) Ρητοποιούμε τον παρονομαστή, πολλαπλασιάζοντας αριθμητή και παρονομαστή με $\sqrt{3}$ : $B = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ .

γ) $\sqrt{(x - 5)^2} = |x - 5|$ . Αφού $x < 5$ , είναι $x - 5 < 0$ , οπότε $\Gamma = -(x - 5) = 5 - x$ .

Γρήγορος έλεγχος

Με ποια παράσταση ισούται το $\sqrt{(2 - \sqrt{5})^2}$ ;

Η απόλυτη τιμή ως απόσταση

Η απόλυτη τιμή $|x|$ είναι η απόσταση του $x$ από το $0$ στον άξονα των πραγματικών αριθμών. Απόσταση — άρα ποτέ αρνητική: $|x| \ge 0$ .

$|x| = \begin{cases} x, & x \ge 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$

Γενικότερα, το $|x - \alpha|$ είναι η απόσταση των $x$ και $\alpha$ στον άξονα. Αυτή η γεωμετρική ματιά λύνει εξισώσεις και ανισώσεις σχεδόν χωρίς πράξεις: « $|x - 3| = 2$ » διαβάζεται «ποιοι αριθμοί απέχουν από το 3 απόσταση 2;» — προφανώς οι $1$ και $5$ .

Περπάτησε στον άξονα — η απόλυτη τιμή μετράει βήματα απόστασης, όχι κατεύθυνση.

Ήξερες ότι;

Το σύμβολο $|x|$ για την απόλυτη τιμή το εισήγαγε ο Γερμανός μαθηματικός Karl Weierstrass το 1841. Σήμερα το ίδιο «απόσταση από το $0$ » γενικεύεται σε μήκη διανυσμάτων και αποστάσεις στον χώρο — στον τρόπο που το GPS μετράει πόσο απέχεις από τον προορισμό σου.

$|x| = \rho \iff x = \rho \text{ ή } x = -\rho, \qquad |x| < \rho \iff -\rho < x < \rho, \qquad |x| > \rho \iff x < -\rho \text{ ή } x > \rho$

Πώς διαβάζονται οι τρεις μορφές

Για $\rho > 0$ :

$|x| = \rho$ : δύο ακριβώς σημεία, τα $\pm\rho$
$|x| < \rho$ : τα σημεία μέσα στη ζώνη $(-\rho, \rho)$ — ένα διάστημα
$|x| > \rho$ : τα σημεία έξω από τη ζώνη — ένωση δύο διαστημάτων

Η γενίκευση-κλειδί: $|x - x_0| < \rho \iff x_0 - \rho < x < x_0 + \rho$ . Δηλαδή το $x$ βρίσκεται σε διάστημα με κέντρο $x_0$ και ακτίνα $\rho$ . Κράτα και τις ιδιότητες $|\alpha \beta| = |\alpha||\beta|$ και $\left|\frac{\alpha}{\beta}\right| = \frac{|\alpha|}{|\beta|}$ .

Κόλπο μνήμης

Διάβαζε το $|x - \alpha|$ ως «πόσο απέχει το $x$ από το $\alpha$ ». Τότε: «μικρότερο» = μέσα, κοντά στο κέντρο $\alpha$ (ένα διάστημα)· «μεγαλύτερο» = έξω, μακριά από το $\alpha$ (δύο κομμάτια).

Ιδιότητες της απόλυτης τιμής

Για κάθε $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ :

$|\alpha| = |-\alpha| \ge 0$ και $|\alpha| = 0 \iff \alpha = 0$
$|\alpha|^2 = \alpha^2$ και $-|\alpha| \le \alpha \le |\alpha|$
$|\alpha \beta| = |\alpha| \cdot |\beta|$ και $\left|\frac{\alpha}{\beta}\right| = \frac{|\alpha|}{|\beta|}$ για $\beta \neq 0$
Τριγωνική ανισότητα: $\big||\alpha| - |\beta|\big| \le |\alpha + \beta| \le |\alpha| + |\beta|$ — το δεξί ίσον ισχύει μόνο όταν $\alpha\beta \ge 0$
$|x| = |\alpha| \iff x = \alpha$ ή $x = -\alpha$

Η απόσταση δύο αριθμών $\alpha, \beta$ στον άξονα είναι $d(\alpha, \beta) = |\alpha - \beta|$ — γι' αυτό το $|x - 3|$ διαβάζεται «πόσο απέχει το $x$ από το $3$ ».

Γρήγορος έλεγχος

Ποια σχέση ισχύει για όλους τους πραγματικούς αριθμούς $\alpha, \beta$ ;

Μέθοδος: εξισώσεις και ανισώσεις με απόλυτες τιμές

Απομόνωσε την απόλυτη τιμή, ώστε να πάρεις μορφή $|A| = \rho$ , $|A| < \rho$ ή $|A| > \rho$ .
Κοίτα πρώτα το πρόσημο του $\rho$ . Αν $\rho < 0$ : οι $|A| = \rho$ και $|A| < \rho$ είναι αδύνατες, ενώ η $|A| > \rho$ ισχύει για κάθε $x$ . Αν $\rho = 0$ : $|A| = 0 \iff A = 0$ , η $|A| < 0$ είναι αδύνατη, και $|A| > 0 \iff A \neq 0$ .
Για $\rho > 0$ εφάρμοσε τις ισοδυναμίες: $A = \pm\rho$ , $-\rho < A < \rho$ , $A < -\rho$ ή $A > \rho$ .
Για $|A| = |B|$ γράψε $A = B$ ή $A = -B$ .
Γράψε τη λύση με διαστήματα και έλεγξέ τη με ένα σημείο ή με τη γεωμετρική ερμηνεία (κέντρο–ακτίνα).

Άσκηση: Να λυθούν: α) $|2x - 3| = 5$ , β) $|x - 2| < 3$ .

Λύση: α) $|2x - 3| = 5 \iff 2x - 3 = 5$ ή $2x - 3 = -5 \iff 2x = 8$ ή $2x = -2 \iff x = 4$ ή $x = -1$ .

β) $|x - 2| < 3 \iff -3 < x - 2 < 3 \iff -1 < x < 5$ , δηλαδή $x \in (-1, 5)$ .

Γεωμετρικός έλεγχος: στο (β) ζητάμε τους αριθμούς που απέχουν από το $2$ λιγότερο από $3$ — το διάστημα με κέντρο $2$ και ακτίνα $3$ , δηλαδή $(2 - 3,\ 2 + 3) = (-1, 5)$ . ✔

Γρήγορος έλεγχος

Ποιες είναι οι λύσεις της εξίσωσης $|x - 1| = 4$ ;

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: α) Να λυθεί η ανίσωση $|2x - 1| < 3$ . β) Να λυθεί η ανίσωση $|x + 1| \ge 2$ . γ) Να βρεθούν οι ακέραιοι που ικανοποιούν και τις δύο ανισώσεις. δ) Αν ο $x$ ικανοποιεί την ανίσωση του (α), να δειχθεί ότι η παράσταση $B = |x + 1| + |x - 2|$ είναι σταθερή.

Λύση:

α) $|2x - 1| < 3 \iff -3 < 2x - 1 < 3 \iff -2 < 2x < 4 \iff -1 < x < 2$ , δηλαδή $x \in (-1, 2)$ .

β) $|x + 1| \ge 2 \iff x + 1 \le -2$ ή $x + 1 \ge 2 \iff x \le -3$ ή $x \ge 1$ , δηλαδή $x \in (-\infty, -3] \cup [1, +\infty)$ .

γ) Σχεδιάζουμε τις δύο λύσεις σε κοινό άξονα: κοινό κομμάτι είναι το $[1, 2)$ . Ο μόνος ακέραιος εκεί είναι ο $x = 1$ (έλεγχος: $|1| < 3$ ✓ και $|2| \ge 2$ ✓).

δ) Για $-1 < x < 2$ είναι $x + 1 > 0$ , άρα $|x + 1| = x + 1$ , και $x - 2 < 0$ , άρα $|x - 2| = 2 - x$ . Επομένως $B = (x + 1) + (2 - x) = 3$ , σταθερή.

Απάντηση: α) $(-1, 2)$ , β) $(-\infty, -3] \cup [1, +\infty)$ , γ) $x = 1$ , δ) $B = 3$ .

Πρόκληση

Να λυθούν οι εξισώσεις α) $|x - 1| + |x - 3| = 2$ , β) $|x - 1| + |x - 3| = 4$ .

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Σκέψου αποστάσεις: το $|x - 1| + |x - 3|$ είναι το άθροισμα των αποστάσεων του $x$ από το $1$ και από το $3$ . Τα $1$ και $3$ απέχουν μεταξύ τους $2$ .

α) Κάθε $x$ ανάμεσα στο $1$ και στο $3$ έχει άθροισμα αποστάσεων ακριβώς $2$ · κάθε $x$ έξω έχει περισσότερο. Επιβεβαίωση αλγεβρικά:

$x < 1$ : $\ (1 - x) + (3 - x) = 2 \iff 4 - 2x = 2 \iff x = 1$ , απορρίπτεται ( $x < 1$ )
$1 \le x \le 3$ : $\ (x - 1) + (3 - x) = 2$ , ισχύει για όλα αυτά τα $x$
$x > 3$ : $\ (x - 1) + (x - 3) = 2 \iff x = 3$ , απορρίπτεται ( $x > 3$ )

β) Τώρα θέλουμε άθροισμα $4$ , άρα το $x$ είναι έξω από το $[1, 3]$ , μία μονάδα από κάθε άκρη:

$x < 1$ : $\ 4 - 2x = 4 \iff x = 0$ ✓
$x > 3$ : $\ 2x - 4 = 4 \iff x = 4$ ✓
$1 \le x \le 3$ : $\ 2 = 4$ , αδύνατο

Απάντηση: α) κάθε $x \in [1, 3]$ — άπειρες λύσεις! β) $x = 0$ ή $x = 4$ .

Στα Σωστό/Λάθος πέφτει συνέχεια το $\sqrt{\alpha^2} = |\alpha|$ και το « $|x| < \rho$ με $\rho \le 0$ είναι αδύνατη». Και πριν λύσεις οποιαδήποτε $|x - \alpha| \lessgtr \rho$ , μετάφρασέ τη σε απόσταση: κέντρο $\alpha$ , ακτίνα $\rho$ — θα ξέρεις το αποτέλεσμα πριν καν κάνεις πράξεις, ιδανικό για επαλήθευση.

Συνηθισμένα λάθη

Γράφουν $\sqrt{x^2} = x$ . Σωστό: $\sqrt{x^2} = |x|$ , και μετά διάκριση περιπτώσεων για το πρόσημο.
Λύνουν την $|A| = \rho$ με $\rho < 0$ σαν να είχε λύσεις. Η απόλυτη τιμή δεν είναι ποτέ αρνητική — έλεγξε πρώτα το $\rho$ .
Στην $|A| > \rho$ γράφουν « $-\rho > A > \rho$ », που δεν έχει νόημα. Σωστό: $A < -\rho$ ή $A > \rho$ , ένωση δύο διαστημάτων.
«Βγάζουν» την απόλυτη τιμή χωρίς έλεγχο προσήμου: το $|x - 2| = x - 2$ ισχύει μόνο για $x \ge 2$ .

Σύνοψη — τι κρατάμε

$\sqrt{\alpha^2} = |\alpha|$ , με $|\alpha| = \alpha$ για $\alpha \ge 0$ και $|\alpha| = -\alpha$ για $\alpha < 0$
$|x - x_0|$ είναι η απόσταση των $x, x_0$ : $|x - x_0| < \rho \iff x_0 - \rho < x < x_0 + \rho$
Για $\rho > 0$ : $|x| = \rho \iff x = \pm\rho$ και $|x| > \rho \iff x < -\rho$ ή $x > \rho$
$|\alpha\beta| = |\alpha||\beta|$ και $|\alpha + \beta| \le |\alpha| + |\beta|$
Δυνάμεις: $\alpha^\mu \alpha^\nu = \alpha^{\mu + \nu}$ , $\alpha^{-\nu} = \frac{1}{\alpha^\nu}$ · ρίζες: $\sqrt{\alpha\beta} = \sqrt{\alpha}\sqrt{\beta}$ για $\alpha, \beta \ge 0$

Δυνάμεις και ρίζες — οι κανόνες του παιχνιδιού

Στο Λύκειο οι πράξεις με δυνάμεις γίνονται καθημερινό εργαλείο, οπότε αξίζει να τις έχεις «στο αυτόματο»:

\alpha^\mu \cdot \alpha^\nu = \alpha^{\mu + \nu}

και

\frac{\alpha^\mu}{\alpha^\nu} = \alpha^{\mu - \nu}

(\alpha^\mu)^\nu = \alpha^{\mu \nu}

και

(\alpha \beta)^\nu = \alpha^\nu \beta^\nu

\alpha^{-\nu} = \frac{1}{\alpha^\nu}

και

\alpha^0 = 1

(για

\alpha \neq 0

)

Για τις ρίζες (

\alpha, \beta \ge 0

\sqrt{\alpha \beta} = \sqrt{\alpha} \sqrt{\beta}

\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}} = \frac{\sqrt{\alpha}}{\sqrt{\beta}}

(

\beta > 0

) και γενικά

\sqrt[\nu]{\alpha^\mu} = \alpha^{\frac{\mu}{\nu}}

Προσοχή στην πιο διάσημη παγίδα του κεφαλαίου:

\sqrt{\alpha^2} = |\alpha|

— ΟΧΙ σκέτο

\alpha

! Για

\alpha = -3

\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3 = |-3|