📊

Ολοκληρώματα & Εμβαδόν

Αρχική, ορισμένο ολοκλήρωμα, εμβαδά

Γιατί με νοιάζει;

Πόσο είναι το εμβαδόν κάτω από την παραβολή $y = x^2$ , από το $0$ ως το $1$ ; Δεν είναι τρίγωνο ούτε τραπέζιο, και κανένας τύπος της Γεωμετρίας δεν το δίνει. Με το ολοκλήρωμα βγαίνει $\frac{1}{3}$ σε μία γραμμή.

Το ίδιο εργαλείο δίνει απόσταση από ταχύτητα, όγκο νερού από ρυθμό ροής, εμβαδά ανάμεσα σε καμπύλες. Στις Πανελλαδικές, το εμβαδόν χωρίου είναι σταθερό υποερώτημα των Θεμάτων Γ και Δ.

Αρχική (παράγουσα) συνάρτηση

Η $F$ λέγεται αρχική της $f$ στο $\Delta$ αν $F'(x) = f(x)$ για κάθε $x \in \Delta$ . Όλες οι αρχικές διαφέρουν κατά σταθερά: $F(x) + c$ .

Βασικές αρχικές: του $x^\nu$ είναι η $\frac{x^{\nu+1}}{\nu+1}$ , του $\sigma\upsilon\nu x$ η $\eta\mu x$ , του $e^x$ ο εαυτός του, του $\frac{1}{x}$ ( $x > 0$ ) η $\ln x$ .

Πίνακας βασικών αρχικών

Κάθε γραμμή διαβάζεται «η $F$ είναι αρχική της $f$ », και επαληθεύεται με παραγώγιση ( $F' = f$ ):

$f(x) = x^\alpha$ , $\alpha \neq -1$ → $F(x) = \frac{x^{\alpha + 1}}{\alpha + 1}$ (π.χ. $\sqrt{x} = x^{1/2}$ → $\frac{2}{3} x^{3/2}$ )
$f(x) = \frac{1}{x}$ → $F(x) = \ln|x|$ σε καθένα από τα $(-\infty, 0)$ , $(0, +\infty)$
$f(x) = e^x$ → $F(x) = e^x$ και $f(x) = \alpha^x$ ( $0 < \alpha \neq 1$ ) → $F(x) = \frac{\alpha^x}{\ln\alpha}$
$f(x) = \eta\mu x$ → $F(x) = -\sigma\upsilon\nu x$ και $f(x) = \sigma\upsilon\nu x$ → $F(x) = \eta\mu x$
$f(x) = \frac{1}{\sigma\upsilon\nu^2 x}$ → $F(x) = \varepsilon\varphi x$

Κάθε αρχική «κουβαλά» μια σταθερά $c$ · αν δίνεται μια τιμή (π.χ. $F(1) = 3$ ), από αυτήν βρίσκουμε το $c$ .

Κόλπο μνήμης

Για το $x^\nu$ : «ανέβασε τον εκθέτη κατά $1$ και διαίρεσε με τον νέο εκθέτη» → $\frac{x^{\nu + 1}}{\nu + 1}$ . Και ο πιο σίγουρος έλεγχος για κάθε αρχική: παραγώγισε την απάντησή σου. Αν πάρεις πίσω την $f$ , είσαι σωστός.

Γρήγορος έλεγχος

Ποια είναι η αρχική $F$ της $f(x) = 2x$ στο $\mathbb{R}$ με $F(1) = 3$ ;

Γρήγορος έλεγχος

Ποια είναι μια αρχική της $f(x) = \frac{1}{x}$ στο διάστημα $(-\infty, 0)$ ;

Το ορισμένο ολοκλήρωμα ως εμβαδόν

Για συνεχή $f \ge 0$ στο $[\alpha, \beta]$ , το $\int_\alpha^\beta f(x)\,dx$ είναι το εμβαδόν του χωρίου ανάμεσα στη γραφική παράσταση και τον άξονα $x'x$ . Η ιδέα: χωρίζουμε το χωρίο σε ορθογώνια και αφήνουμε το πλήθος τους να μεγαλώσει απεριόριστα.

Χρήσιμες ιδιότητες: $\int_\alpha^\beta (\lambda f + \mu g) = \lambda \int_\alpha^\beta f + \mu \int_\alpha^\beta g$ , $\int_\alpha^\alpha f = 0$ και $\int_\beta^\alpha f = -\int_\alpha^\beta f$ .

Ακόμη ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος

Για συνεχή $f$ σε διάστημα $\Delta$ και $\alpha, \beta, \gamma \in \Delta$ :

Προσθετικότητα: $\int_\alpha^\beta f(x)\,dx = \int_\alpha^\gamma f(x)\,dx + \int_\gamma^\beta f(x)\,dx$ — έτσι «σπάμε» ολοκληρώματα με απόλυτα ή κλαδικές.
Πρόσημο: αν $\alpha < \beta$ και $f(x) \ge 0$ στο $[\alpha, \beta]$ , τότε $\int_\alpha^\beta f(x)\,dx \ge 0$ · αν επιπλέον η $f$ δεν είναι παντού μηδέν στο $[\alpha, \beta]$ , τότε $\int_\alpha^\beta f(x)\,dx > 0$ .
Σύγκριση: αν $\alpha < \beta$ και $f(x) \ge g(x)$ στο $[\alpha, \beta]$ , τότε $\int_\alpha^\beta f(x)\,dx \ge \int_\alpha^\beta g(x)\,dx$ .

Το $\int_\alpha^\beta f(x)\,dx$ είναι αριθμός και η μεταβλητή ολοκλήρωσης είναι «βουβή»: $\int_\alpha^\beta f(x)\,dx = \int_\alpha^\beta f(t)\,dt$ .

Γρήγορος έλεγχος

Η $f$ είναι συνεχής με $\int_0^3 f(x)\,dx = 5$ και $\int_0^1 f(x)\,dx = 2$ . Πόσο είναι το $\int_1^3 f(x)\,dx$ ;

Αύξησε το n — τα ορθογώνια «γεμίζουν» το χωρίο και το άθροισμα τείνει στο 1/3.

Ήξερες ότι;

Ο Αρχιμήδης, τον 3ο αιώνα π.Χ., βρήκε το εμβαδόν παραβολικού χωρίου: ίσο με τα $\frac{4}{3}$ του εγγεγραμμένου τριγώνου. Χρησιμοποίησε τη «μέθοδο της εξάντλησης», γεμίζοντας το χωρίο με όλο και περισσότερα, όλο και μικρότερα τρίγωνα. Είναι η ίδια ιδέα με τα αθροίσματα που ορίζουν το ολοκλήρωμα, σχεδόν $2000$ χρόνια πριν από τον Νεύτωνα και τον Leibniz.

Θεμελιώδες Θεώρημα

Αν η $F$ είναι αρχική της συνεχούς $f$ στο $[\alpha, \beta]$ , το ορισμένο ολοκλήρωμα υπολογίζεται χωρίς ορθογώνια — μόνο με τις τιμές της $F$ στα άκρα:

$\int_\alpha^\beta f(x)\,dx = F(\beta) - F(\alpha)$

Απόδειξη θεωρίας: Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού

Θεώρημα. Έστω $f$ μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα $[\alpha, \beta]$ . Αν $G$ είναι μια παράγουσα της $f$ στο $[\alpha, \beta]$ , τότε

$\int_\alpha^\beta f(t)\,dt = G(\beta) - G(\alpha)$

Απόδειξη. Η συνάρτηση $F(x) = \int_\alpha^x f(t)\,dt$ είναι μια παράγουσα της $f$ στο $[\alpha, \beta]$ (θεώρημα $F' = f$ ). Επειδή και η $G$ είναι παράγουσα της $f$ στο $[\alpha, \beta]$ , από τη συνέπεια του Θ.Μ.Τ. για $G' = F'$ υπάρχει $c \in \mathbb{R}$ τέτοιο ώστε

$G(x) = F(x) + c \quad \text{για κάθε } x \in [\alpha, \beta]$

Για $x = \alpha$ : $G(\alpha) = \int_\alpha^\alpha f(t)\,dt + c = 0 + c$ , άρα $c = G(\alpha)$ . Επομένως $G(x) = \int_\alpha^x f(t)\,dt + G(\alpha)$ για κάθε $x \in [\alpha, \beta]$ , και για $x = \beta$ :

$G(\beta) = \int_\alpha^\beta f(t)\,dt + G(\alpha) \iff \int_\alpha^\beta f(t)\,dt = G(\beta) - G(\alpha)$

∎ Συμβολίζουμε $\left[G(x)\right]_\alpha^\beta = G(\beta) - G(\alpha)$ .

Παράδειγμα: $\int_0^1 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}$ — ακριβώς ό,τι έδειξε και το πείραμα με τα ορθογώνια!

Παράδειγμα (Newton–Leibniz):

$\int_1^e \left(2x + \frac{1}{x}\right) dx = \left[x^2 + \ln x\right]_1^e = (e^2 + 1) - (1 + 0) = e^2$

$\int_0^{\pi/2} \sigma\upsilon\nu x\,dx = \left[\eta\mu x\right]_0^{\pi/2} = \eta\mu\frac{\pi}{2} - \eta\mu 0 = 1$

Στο πρώτο χρησιμοποιήσαμε ότι $\ln e = 1$ και $\ln 1 = 0$ · και οι δύο αρχικές ισχύουν στο διάστημα ολοκλήρωσης.

Γρήγορος έλεγχος

Για $f(x) = x^3$ : πόσο είναι το $\int_{-1}^{1} x^3\,dx$ και πόσο το εμβαδόν του χωρίου μεταξύ $C_f$ , $x'x$ και των ευθειών $x = -1$ , $x = 1$ ;

Μέθοδος: εμβαδόν χωρίου

Για συνεχή $f$ στο $[\alpha, \beta]$ , το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τη $C_f$ , τον άξονα $x'x$ και τις ευθείες $x = \alpha$ , $x = \beta$ είναι $E = \int_\alpha^\beta |f(x)|\,dx$ : αν $f \ge 0$ τότε $E = \int_\alpha^\beta f(x)\,dx$ , αν $f \le 0$ τότε $E = -\int_\alpha^\beta f(x)\,dx$ .

Βρες τις ρίζες της $f$ (ή της $f - g$ για δύο καμπύλες) μέσα στο $[\alpha, \beta]$ .
Βρες το πρόσημο σε κάθε υποδιάστημα — μία δοκιμαστική τιμή αρκεί, αφού η συνεχής διατηρεί πρόσημο ανάμεσα σε διαδοχικές ρίζες.
Σπάσε το ολοκλήρωμα στα υποδιαστήματα, «άνοιξε» το απόλυτο με το σωστό πρόσημο και υπολόγισε με Newton–Leibniz.
Το εμβαδόν είναι θετικό — αρνητικό αποτέλεσμα σημαίνει λάθος πρόσημο.

Σάρωσε το χωρίο ανάμεσα στις δύο καμπύλες — αυτό ακριβώς μετρά το $\int |f - g|$.

Άσκηση: Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των $f(x) = x$ και $g(x) = x^2$ .

Λύση: Σημεία τομής: $x = x^2 \Rightarrow x(x - 1) = 0 \Rightarrow x = 0$ ή $x = 1$ . Στο $[0, 1]$ είναι $x \ge x^2$ , άρα:

$E = \int_0^1 (x - x^2)\,dx = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$

Παράδειγμα (συνάρτηση που αλλάζει πρόσημο): Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου μεταξύ της $C_f$ της $f(x) = x^2 - 1$ , του $x'x$ και των ευθειών $x = 0$ , $x = 2$ .

Λύση: Στο $[0, 2]$ η $f$ μηδενίζεται στο $1$ : $f \le 0$ στο $[0, 1]$ και $f \ge 0$ στο $[1, 2]$ . Άρα

$E = \int_0^1 (1 - x^2)\,dx + \int_1^2 (x^2 - 1)\,dx = \left[x - \frac{x^3}{3}\right]_0^1 + \left[\frac{x^3}{3} - x\right]_1^2 = \frac{2}{3} + \left(\frac{2}{3} + \frac{2}{3}\right) = 2$

Προσοχή: $\int_0^2 (x^2 - 1)\,dx = \frac{8}{3} - 2 = \frac{2}{3}$ — τα κομμάτια κάτω από τον άξονα «αφαιρούνται» και το αποτέλεσμα δεν είναι το εμβαδόν.

Θέμα τύπου Πανελλαδικών (Θέμα Γ): Δίνεται $f(x) = e^x$ .

(α) Να βρεθεί η εφαπτομένη $\varepsilon$ της $C_f$ στο $A(0, 1)$ .

(β) Να δειχθεί ότι $e^x \ge x + 1$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

(γ) Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου μεταξύ της $C_f$ , της $\varepsilon$ και της ευθείας $x = 1$ .

Λύση (α): $f'(x) = e^x$ , $f'(0) = 1$ , άρα $\varepsilon: y - 1 = 1 \cdot (x - 0) \iff y = x + 1$ .

Λύση (β): $f''(x) = e^x > 0$ , άρα η $f$ είναι κυρτή και η $C_f$ βρίσκεται πάνω από κάθε εφαπτομένη της (εκτός του σημείου επαφής): $e^x \ge x + 1$ , με ισότητα μόνο για $x = 0$ .

Λύση (γ): Στο $[0, 1]$ είναι $e^x - (x + 1) \ge 0$ από το (β), άρα

$E = \int_0^1 \left(e^x - x - 1\right) dx = \left[e^x - \frac{x^2}{2} - x\right]_0^1 = \left(e - \frac{1}{2} - 1\right) - 1 = e - \frac{5}{2}$

Απάντηση: $E = e - \frac{5}{2} \approx 0{,}22$ τετραγωνικές μονάδες (θετικό, όπως πρέπει, αφού $e > 2{,}5$ ).

Γρήγορος έλεγχος

Πόσο είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις $C_f$ και $C_g$ με $f(x) = x^2$ και $g(x) = 2x$ ;

Γρήγορος έλεγχος

Πόσο είναι το $\int_{-1}^{2} |x|\,dx$ ;

Για εμβαδόν μεταξύ καμπυλών $E = \int_\alpha^\beta |f(x) - g(x)|\,dx$ : βρες πρώτα τα σημεία τομής, προσδιόρισε ποια καμπύλη είναι «από πάνω» σε κάθε υποδιάστημα και σπάσε το ολοκλήρωμα — ποτέ μην ολοκληρώνεις τη διαφορά χωρίς έλεγχο προσήμου.

Πρόκληση

Η ευθεία $y = \lambda x$ , με $0 < \lambda < 2$ , χωρίζει το χωρίο που περικλείεται από την παραβολή $y = 2x - x^2$ και τον άξονα $x'x$ σε δύο ισεμβαδικά μέρη. Να βρείτε το $\lambda$ .

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Ολικό εμβαδόν. Η παραβολή τέμνει τον $x'x$ στα $x = 0$ και $x = 2$ , και στο $[0, 2]$ είναι $2x - x^2 = x(2 - x) \ge 0$ :

$E = \int_0^2 (2x - x^2)\,dx = \left[x^2 - \frac{x^3}{3}\right]_0^2 = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$

Τομή ευθείας και παραβολής. $2x - x^2 = \lambda x \iff x(2 - \lambda - x) = 0 \iff x = 0$ ή $x = 2 - \lambda$ , με $2 - \lambda \in (0, 2)$ .

Το «πάνω» κομμάτι. Στο $[0, 2 - \lambda]$ είναι $(2x - x^2) - \lambda x = x(2 - \lambda - x) \ge 0$ . Με $k = 2 - \lambda$ :

$E_1 = \int_0^{k} (kx - x^2)\,dx = \left[\frac{kx^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^{k} = \frac{k^3}{2} - \frac{k^3}{3} = \frac{k^3}{6}$

Συνθήκη. $E_1 = \frac{E}{2} = \frac{2}{3} \iff k^3 = 4 \iff k = \sqrt[3]{4}$ . Άρα

$\lambda = 2 - \sqrt[3]{4} \approx 0{,}41$

που πράγματι ανήκει στο $(0, 2)$ ✓.

Η «στροφή»: δεν χρειάζεται να υπολογίσεις το δεύτερο κομμάτι. Αρκεί το ένα να είναι το μισό του συνόλου.

Συνηθισμένα λάθη

Ταυτίζεις ολοκλήρωμα με εμβαδόν: το $\int_\alpha^\beta f(x)\,dx$ μπορεί να είναι αρνητικό ή μηδέν, το εμβαδόν ποτέ.
Ξεχνάς τη σταθερά όταν δίνεται αρχική συνθήκη: γράψε πρώτα $F(x) = G(x) + c$ και μετά βρες το $c$ από την τιμή.
Αρχική του $\eta\mu x$ γράφεις $\sigma\upsilon\nu x$ — σωστό: $-\sigma\upsilon\nu x$ (επαλήθευσε παραγωγίζοντας).
Αρχική του $\frac{1}{x}$ σε αρνητικούς γράφεις $\ln x$ — σωστό: $\ln|x|$ .

Σύνοψη — τι κρατάμε

Αρχική: $F' = f$ σε διάστημα· όλες οι αρχικές είναι οι $F + c$ .
Newton–Leibniz: $\int_\alpha^\beta f(x)\,dx = G(\beta) - G(\alpha)$ για κάθε παράγουσα $G$ της συνεχούς $f$ (απόδειξη μέσω $F(x) = \int_\alpha^x f$ και $G = F + c$ ).
Ιδιότητες: γραμμικότητα, $\int_\alpha^\beta = \int_\alpha^\gamma + \int_\gamma^\beta$ , $\int_\beta^\alpha = -\int_\alpha^\beta$ , $f \ge 0 \Rightarrow \int_\alpha^\beta f \ge 0$ για $\alpha < \beta$ .
Εμβαδόν: $E = \int_\alpha^\beta |f(x) - g(x)|\,dx$ — ρίζες, πρόσημο, σπάσιμο σε υποδιαστήματα.

Αρχική (παράγουσα) συνάρτηση

F

λέγεται αρχική της

f

στο

\Delta

αν

F'(x) = f(x)

για κάθε

x \in \Delta

. Όλες οι αρχικές διαφέρουν κατά σταθερά:

F(x) + c

Βασικές αρχικές: του

x^\nu

είναι η

\frac{x^{\nu+1}}{\nu+1}

, του

\sigma\upsilon\nu x

\eta\mu x

, του

e^x

ο εαυτός του, του

\frac{1}{x}

(

x > 0

) η

\ln x