⚖️

Συνέπειες Θ.Μ.Τ.

f′ = 0 ⇒ σταθερή, μονοτονία, ανισότητες

Γιατί με νοιάζει;

Αν το ταχύμετρο δείχνει συνέχεια $0$ , το αυτοκίνητο δεν κουνήθηκε. Αν δύο αυτοκίνητα έχουν σε κάθε στιγμή την ίδια ταχύτητα, η απόστασή τους μένει σταθερή. «Προφανή», θα πεις. Κι όμως, είναι θεωρήματα που αποδεικνύονται με το Θ.Μ.Τ.

Από αυτά τα «προφανή» βγαίνουν τα βαριά εργαλεία του Θέματος Γ και Δ: η μονοτονία από το πρόσημο της $f'$ , η εύρεση της $f$ από σχέση με την $f'$ και οι αποδείξεις ανισοτήτων.

Το Θεώρημα Μέσης Τιμής

Αν η $f$ είναι συνεχής στο $[\alpha, \beta]$ και παραγωγίσιμη στο $(\alpha, \beta)$ , τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi \in (\alpha, \beta)$ τέτοιο ώστε η εφαπτομένη στο $(\xi, f(\xi))$ να είναι παράλληλη στη χορδή $AB$ των άκρων. Από αυτό το θεώρημα «γεννιούνται» τα βασικότερα εργαλεία της μελέτης συνάρτησης.

$f'(\xi) = \frac{f(\beta) - f(\alpha)}{\beta - \alpha}$

Σταθερή συνάρτηση & f′ = g′

Συνέπεια 1: Αν η $f$ είναι συνεχής σε διάστημα $\Delta$ και $f'(x) = 0$ για κάθε εσωτερικό σημείο $x$ του $\Delta$ , τότε η $f$ είναι σταθερή σε όλο το $\Delta$ .

Συνέπεια 2 (Πόρισμα): Αν οι $f, g$ είναι συνεχείς σε διάστημα $\Delta$ και $f'(x) = g'(x)$ για κάθε εσωτερικό σημείο του $\Delta$ , τότε υπάρχει σταθερά $c$ ώστε $f(x) = g(x) + c$ για κάθε $x \in \Delta$ .

Η λέξη-κλειδί είναι διάστημα: σε ένωση διαστημάτων το συμπέρασμα καταρρέει — π.χ. η $f(x) = \frac{|x|}{x}$ έχει $f'(x) = 0$ παντού στο $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$ αλλά ΔΕΝ είναι σταθερή.

Απόδειξη θεωρίας: $f' = 0$ ⇒ σταθερή

Θεώρημα. Αν η $f$ είναι συνεχής σε ένα διάστημα $\Delta$ και $f'(x) = 0$ για κάθε εσωτερικό σημείο $x$ του $\Delta$ , τότε η $f$ είναι σταθερή σε όλο το $\Delta$ .

Απόδειξη. Αρκεί να δείξουμε ότι $f(x_1) = f(x_2)$ για οποιαδήποτε $x_1, x_2 \in \Delta$ . Αν $x_1 = x_2$ , είναι προφανές. Έστω $x_1 < x_2$ . Στο $[x_1, x_2]$ η $f$ είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο $(x_1, x_2)$ , αφού όλα τα σημεία του είναι εσωτερικά του $\Delta$ . Από το Θ.Μ.Τ. υπάρχει $\xi \in (x_1, x_2)$ τέτοιο ώστε

$f'(\xi) = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$

Το $\xi$ είναι εσωτερικό σημείο του $\Delta$ , άρα $f'(\xi) = 0$ και επομένως $f(x_1) = f(x_2)$ . ∎

Απόδειξη θεωρίας: $f' = g'$ ⇒ $f = g + c$

Απόδειξη. Η συνάρτηση $h = f - g$ είναι συνεχής στο $\Delta$ και για κάθε εσωτερικό σημείο $x$ του $\Delta$ ισχύει $h'(x) = f'(x) - g'(x) = 0$ . Από το προηγούμενο θεώρημα η $h$ είναι σταθερή στο $\Delta$ : υπάρχει $c \in \mathbb{R}$ με $h(x) = c$ , δηλαδή $f(x) = g(x) + c$ για κάθε $x \in \Delta$ . ∎

Γρήγορος έλεγχος

Η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $A = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$ με $f'(x) = 0$ για κάθε $x \in A$ . Τι ισχύει;

Γρήγορος έλεγχος

Η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ με $f'(x) = 0$ για κάθε $x$ και $f(1) = 5$ . Πόσο είναι το $f(3)$ ;

Κόλπο μνήμης

«Ίδια παράγωγος, ίδιο σχήμα, απλώς ανεβοκατεβασμένο.» Αν $f' = g'$ σε διάστημα, οι $C_f$ και $C_g$ είναι η ίδια καμπύλη μετατοπισμένη κατακόρυφα κατά $c$ . Και η λέξη-κλειδί είναι διάστημα: σε ένωση διαστημάτων η σταθερά μπορεί να είναι διαφορετική σε κάθε κομμάτι.

Μονοτονία από το πρόσημο της f′

Θεώρημα: Έστω $f$ συνεχής σε διάστημα $\Delta$ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του.

Αν $f'(x) > 0$ για κάθε εσωτερικό σημείο $x$ του $\Delta$ , τότε η $f$ είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το $\Delta$
Αν $f'(x) < 0$ για κάθε εσωτερικό σημείο $x$ του $\Delta$ , τότε η $f$ είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το $\Delta$

Το αντίστροφο δεν ισχύει: η $f(x) = x^3$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$ , αν και $f'(0) = 0$ .

Απόδειξη θεωρίας: $f' > 0$ ⇒ γνησίως αύξουσα

Απόδειξη. Έστω $x_1, x_2 \in \Delta$ με $x_1 < x_2$ . Στο $[x_1, x_2]$ η $f$ ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ., άρα υπάρχει $\xi \in (x_1, x_2)$ τέτοιο ώστε

$f'(\xi) = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$

Το $\xi$ είναι εσωτερικό σημείο του $\Delta$ , οπότε $f'(\xi) > 0$ . Επειδή $x_2 - x_1 > 0$ , έπεται $f(x_2) - f(x_1) > 0$ , δηλαδή $f(x_1) < f(x_2)$ . Άρα η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\Delta$ . Ανάλογα για $f' < 0$ . ∎

Γρήγορος έλεγχος

Η $f$ είναι παραγωγίσιμη και γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$ . Τι ισχύει υποχρεωτικά;

Η κλίση της εφαπτομένης είναι το f′(x): όπου είναι θετική, η καμπύλη «ανεβαίνει».

Μέθοδος: βρίσκω την $f$ από σχέση με την $f'$

$f'(x) = g'(x)$ με γνωστή $g$ → $f(x) = g(x) + c$ στο διάστημα· το $c$ από τη δοσμένη τιμή.
$f'(x) = f(x)$ → πολλαπλασίασε με $e^{-x} > 0$ : $e^{-x} f'(x) - e^{-x} f(x) = 0 \iff \left(e^{-x} f(x)\right)' = 0$ , άρα $e^{-x} f(x) = c$ και $f(x) = c\,e^x$ .
$f'(x) = \lambda f(x)$ → $\left(e^{-\lambda x} f(x)\right)' = 0$ , άρα $f(x) = c\,e^{\lambda x}$ . Γενικότερα, αν $f'(x) = g'(x) f(x)$ , τότε $\left(e^{-g(x)} f(x)\right)' = 0$ .
Σε ένωση διαστημάτων γράφεις διαφορετική σταθερά σε κάθε διάστημα.

Παράδειγμα: (α) Να βρεθεί η $f$ με $f'(x) = 2x + \frac{1}{x}$ για $x > 0$ και $f(1) = 3$ . (β) Να βρεθεί η παραγωγίσιμη $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ με $g'(x) = g(x)$ και $g(0) = 2$ .

Λύση (α): Είναι $\left(x^2 + \ln x\right)' = 2x + \frac{1}{x}$ , άρα στο διάστημα $(0, +\infty)$ : $f(x) = x^2 + \ln x + c$ . Από $f(1) = 1 + 0 + c = 3$ βρίσκουμε $c = 2$ , οπότε $f(x) = x^2 + \ln x + 2$ .

Λύση (β): $\left(e^{-x} g(x)\right)' = e^{-x}\left(g'(x) - g(x)\right) = 0$ στο $\mathbb{R}$ , άρα $e^{-x} g(x) = c$ . Για $x = 0$ : $c = g(0) = 2$ . Επομένως $g(x) = 2e^x$ (επαλήθευση: $g' = 2e^x = g$ ✓).

Γρήγορος έλεγχος

Η $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ είναι παραγωγίσιμη με $f'(x) = 2x f(x)$ για κάθε $x$ και $f(0) = 3$ . Ποια είναι η $f$ ;

Παράδειγμα (ανισότητα): Να δειχθεί ότι $e^x \geq x + 1$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

Θέτουμε $f(x) = e^x - x - 1$ με $f'(x) = e^x - 1$ .

Για $x < 0$ : $f'(x) < 0$ , άρα η $f$ γνησίως φθίνουσα στο $(-\infty, 0]$ . Για $x > 0$ : $f'(x) > 0$ , άρα γνησίως αύξουσα στο $[0, +\infty)$ .

Άρα η $f$ έχει ολικό ελάχιστο το $f(0) = e^0 - 0 - 1 = 0$ , οπότε $f(x) \geq 0 \Rightarrow e^x \geq x + 1$ για κάθε $x$ , με ισότητα μόνο για $x = 0$ .

Ήξερες ότι;

Η απλή ανισότητα $e^x \ge x + 1$ «παγιδεύει» τον αριθμό $e$ . Για $x = \frac{1}{\nu}$ δίνει $e \ge \left(1 + \frac{1}{\nu}\right)^{\nu}$ . Για $x = -\frac{1}{\nu + 1}$ , μετά από λίγες πράξεις, δίνει $e \le \left(1 + \frac{1}{\nu}\right)^{\nu + 1}$ . Για $\nu = 1$ παίρνεις $2 \le e \le 4$ , για $\nu = 100$ ήδη $2{,}70 < e < 2{,}74$ .

Θέμα τύπου Πανελλαδικών (Θέμα Β): Δίνεται $f(x) = e^{x - 1} + x$ , $x \in \mathbb{R}$ .

(α) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία.

(β) Να λυθεί η εξίσωση $e^{x - 1} + x = 2$ .

(γ) Να λυθεί η ανίσωση $f(x^2) < f(3x - 2)$ .

Λύση (α): $f'(x) = e^{x - 1} + 1 > 0$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ , και το $\mathbb{R}$ είναι διάστημα, άρα η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$ .

Λύση (β): Η εξίσωση είναι $f(x) = 2$ . Επειδή $f(1) = e^0 + 1 = 2$ και η $f$ είναι γνησίως αύξουσα (άρα 1-1), η μοναδική λύση είναι $x = 1$ .

Λύση (γ): Η $f$ είναι γνησίως αύξουσα, άρα

$f(x^2) < f(3x - 2) \iff x^2 < 3x - 2 \iff x^2 - 3x + 2 < 0 \iff (x - 1)(x - 2) < 0 \iff 1 < x < 2$

Σε αποδείξεις ανισοτήτων: φέρε όλα στο ένα μέλος, όρισε βοηθητική $f$ , βρες το πρόσημο της $f'$ και κατέληξε σε μονοτονία ή ολικό ακρότατο. Και πρόσεχε την παγίδα των Πανελληνίων: οι συνέπειες του Θ.Μ.Τ. ισχύουν ΜΟΝΟ σε διάστημα — αν το πεδίο ορισμού «σπάει» (π.χ. λόγω $\frac{1}{x}$ ), δούλεψε χωριστά σε κάθε διάστημα με δικό του $c$ .

Πρόκληση

Η $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ είναι παραγωγίσιμη με

$f'(x) - f(x) = e^x \quad \text{για κάθε } x \in \mathbb{R}, \qquad f(0) = 1$

(α) Να βρείτε τον τύπο της $f$ .

(β) Να δείξετε ότι $f(x) \ge -\frac{1}{e^2}$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

(α) Η σχέση δεν είναι της μορφής $f' = g'$ . Η «στροφή»: πολλαπλασίασε με $e^{-x} > 0$ :

$e^{-x} f'(x) - e^{-x} f(x) = 1$

Το αριστερό μέλος είναι ακριβώς $\left(e^{-x} f(x)\right)'$ . Άρα $\left(e^{-x} f(x)\right)' = (x)'$ στο $\mathbb{R}$ , οπότε $e^{-x} f(x) = x + c$ . Για $x = 0$ : $c = f(0) = 1$ . Άρα

$f(x) = (x + 1)\, e^x$

Επαλήθευση: $f'(x) = (x + 2)\, e^x$ και $f'(x) - f(x) = e^x$ ✓.

(β) $f'(x) = (x + 2)\, e^x$ με $e^x > 0$ : $f'(x) < 0$ για $x < -2$ και $f'(x) > 0$ για $x > -2$ . Η $f$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $(-\infty, -2]$ και γνησίως αύξουσα στο $[-2, +\infty)$ , άρα έχει ολικό ελάχιστο

$f(-2) = (-2 + 1)\, e^{-2} = -\frac{1}{e^2}$

Γενικός κανόνας: για σχέση $f' - \lambda f = \dots$ πολλαπλασίασε με $e^{-\lambda x}$ και αναγνώρισε παράγωγο γινομένου.

Συνηθισμένα λάθη

Εφαρμόζεις « $f' = 0$ ⇒ σταθερή» σε ένωση διαστημάτων με μία σταθερά — χρειάζεται μία σε κάθε διάστημα.
Γράφεις «γνησίως αύξουσα ⇒ $f' > 0$ ». Λάθος: η $x^3$ έχει $f'(0) = 0$ . Σωστό είναι μόνο $f' \ge 0$ .
Στο $f' = g'$ ξεχνάς τη σταθερά $c$ ή δεν τη βρίσκεις από τη δοσμένη τιμή.
Στις αποδείξεις θεωρίας παραλείπεις ότι το $\xi$ είναι εσωτερικό σημείο του $\Delta$ — γι' αυτό ακριβώς ισχύει $f'(\xi) = 0$ ή $f'(\xi) > 0$ , και βαθμολογείται.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Όλες οι συνέπειες αποδεικνύονται με Θ.Μ.Τ. σε τυχαίο $[x_1, x_2] \subseteq \Delta$ .
$f$ συνεχής σε διάστημα και $f' = 0$ στο εσωτερικό ⇒ $f$ σταθερή.
$f' = g'$ σε διάστημα ⇒ $f = g + c$ · $f' = f$ ⇒ $f(x) = c\,e^x$ (μέσω $(e^{-x} f)' = 0$ ).
$f' > 0$ (αντ. $< 0$ ) στο εσωτερικό ⇒ γνησίως αύξουσα (αντ. φθίνουσα)· το αντίστροφο ισχύει μόνο με $\ge$ .
Τα θεωρήματα ισχύουν μόνο σε διάστημα — σε ένωση διαστημάτων δουλεύεις χωριστά.

Το Θεώρημα Μέσης Τιμής

Αν η

f

είναι συνεχής στο $[\alpha, \beta]$ και παραγωγίσιμη στο $(\alpha, \beta)$ , τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον

\xi \in (\alpha, \beta)

τέτοιο ώστε η εφαπτομένη στο

(\xi, f(\xi))

να είναι παράλληλη στη χορδή

AB

των άκρων. Από αυτό το θεώρημα «γεννιούνται» τα βασικότερα εργαλεία της μελέτης συνάρτησης.

Σταθερή συνάρτηση & f′ = g′

Συνέπεια 1: Αν η

f

είναι συνεχής σε διάστημα

\Delta

και

f'(x) = 0

για κάθε εσωτερικό σημείο

x

του

\Delta

, τότε η

f

είναι σταθερή σε όλο το

\Delta

Συνέπεια 2 (Πόρισμα): Αν οι

f, g

είναι συνεχείς σε διάστημα

\Delta

και

f'(x) = g'(x)

για κάθε εσωτερικό σημείο του

\Delta

, τότε υπάρχει σταθερά

c

ώστε

f(x) = g(x) + c

για κάθε

x \in \Delta

Η λέξη-κλειδί είναι διάστημα: σε ένωση διαστημάτων το συμπέρασμα καταρρέει — π.χ. η

f(x) = \frac{|x|}{x}

έχει

f'(x) = 0

παντού στο

(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)

αλλά ΔΕΝ είναι σταθερή.

Μονοτονία από το πρόσημο της f′

Θεώρημα: Έστω

f

συνεχής σε διάστημα

\Delta

και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του.

Αν

f'(x) > 0

για κάθε εσωτερικό σημείο

x

του

\Delta

, τότε η

f

είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το

\Delta

Αν

f'(x) < 0

για κάθε εσωτερικό σημείο

x

του

\Delta

, τότε η

f

είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το

\Delta

Το αντίστροφο δεν ισχύει: η

f(x) = x^3

είναι γνησίως αύξουσα στο

\mathbb{R}

, αν και

f'(0) = 0

Συνέπειες Θ.Μ.Τ.

Το Θεώρημα Μέσης Τιμής

Σταθερή συνάρτηση & f′ = g′

Απόδειξη θεωρίας: f′=0f' = 0f′=0 ⇒ σταθερή

Απόδειξη θεωρίας: f′=g′f' = g'f′=g′ ⇒ f=g+cf = g + cf=g+c

Μονοτονία από το πρόσημο της f′

Απόδειξη θεωρίας: f′>0f' > 0f′>0 ⇒ γνησίως αύξουσα

Μέθοδος: βρίσκω την fff από σχέση με την f′f'f′

Συνέπειες Θ.Μ.Τ.

Το Θεώρημα Μέσης Τιμής

Σταθερή συνάρτηση & f′ = g′

Απόδειξη θεωρίας: f′=0f' = 0f′=0 ⇒ σταθερή

Απόδειξη θεωρίας: f′=g′f' = g'f′=g′ ⇒ f=g+cf = g + cf=g+c

Μονοτονία από το πρόσημο της f′

Απόδειξη θεωρίας: f′>0f' > 0f′>0 ⇒ γνησίως αύξουσα

Μέθοδος: βρίσκω την fff από σχέση με την f′f'f′

Απόδειξη θεωρίας: $f' = 0$ ⇒ σταθερή

Απόδειξη θεωρίας: $f' = g'$ ⇒ $f = g + c$

Απόδειξη θεωρίας: $f' > 0$ ⇒ γνησίως αύξουσα

Μέθοδος: βρίσκω την $f$ από σχέση με την $f'$

Απόδειξη θεωρίας: $f' = 0$ ⇒ σταθερή

Απόδειξη θεωρίας: $f' = g'$ ⇒ $f = g + c$

Απόδειξη θεωρίας: $f' > 0$ ⇒ γνησίως αύξουσα

Μέθοδος: βρίσκω την $f$ από σχέση με την $f'$