🛤️

Όρια στο Άπειρο & Ασύμπτωτες

Όρια ρητών στο ±∞, κατακόρυφη, οριζόντια, πλάγια

Γιατί με νοιάζει;

Σε μια λίμνη ρίχνονται $200$ ψάρια και ο πληθυσμός τους μετά από $t$ χρόνια είναι $P(t) = \frac{1000t + 200}{t + 1}$ . Πού θα «κατασταλάξει»; Καθώς $t \to +\infty$ , $P(t) \to 1000$ . Η ευθεία $y = 1000$ είναι οριζόντια ασύμπτωτη: η μακροπρόθεσμη συμπεριφορά του συστήματος.

Οι ασύμπτωτες είναι οι «ράγες» πάνω στις οποίες κινείται η γραφική παράσταση μακριά από την αρχή. Σε κάθε μελέτη συνάρτησης τις βρίσκεις πρώτες.

Όρια στο ±∞

Όταν το $x$ «τρέχει» προς το $+\infty$ ή το $-\infty$ , τη συμπεριφορά ενός πολυωνύμου την καθορίζει ο μεγιστοβάθμιος όρος: $\lim_{x \to \pm\infty} (\alpha_\nu x^\nu + \dots + \alpha_0) = \lim_{x \to \pm\infty} \alpha_\nu x^\nu$ .

Για ρητή συνάρτηση, το όριο στο $\pm\infty$ ισούται με το όριο του πηλίκου των μεγιστοβάθμιων όρων:

Βαθμός αριθμητή < βαθμός παρονομαστή → όριο $0$
Ίσοι βαθμοί → όριο ο λόγος των μεγιστοβάθμιων συντελεστών
Βαθμός αριθμητή > βαθμός παρονομαστή → όριο $+\infty$ ή $-\infty$

Βασικά όρια στο άπειρο

$\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$ και $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$
$\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$ και $\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$
$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x^\nu} = 0$ και $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty$
Για $\alpha > 1$ : $\lim_{x \to +\infty} \alpha^x = +\infty$ · για $0 < \alpha < 1$ : $\lim_{x \to +\infty} \alpha^x = 0$

Ρίζες στο $-\infty$ : $\sqrt{x^2} = |x| = -x$ όταν $x < 0$ . Π.χ. για $x < 0$ :

$\frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x} = \frac{|x| \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}}{x} = -\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} \to -1$

Για διαφορές ριζών της μορφής $(+\infty) - (+\infty)$ πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε με τη συζυγή παράσταση.

Γρήγορος έλεγχος

Πόσο είναι το $\lim_{x \to -\infty} \dfrac{\sqrt{x^2 + 1}}{x}$ ;

Κατακόρυφη & Οριζόντια ασύμπτωτη

Η ευθεία $x = x_0$ λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της $C_f$ αν ένα τουλάχιστον από τα πλευρικά όρια $\lim_{x \to x_0^-} f(x)$ , $\lim_{x \to x_0^+} f(x)$ είναι $+\infty$ ή $-\infty$ . Τις αναζητούμε στα σημεία όπου η $f$ δεν ορίζεται ή στα ανοικτά άκρα των διαστημάτων του πεδίου ορισμού.

Η ευθεία $y = \ell$ λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της $C_f$ στο $+\infty$ (αντίστοιχα στο $-\infty$ ) αν $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \ell$ (αντίστοιχα $\lim_{x \to -\infty} f(x) = \ell$ ), με $\ell \in \mathbb{R}$ .

Γρήγορος έλεγχος

Έχει η $C_f$ της $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ κατακόρυφη ασύμπτωτη την $x = 1$ ;

Γρήγορος έλεγχος

Ποιες είναι οι ασύμπτωτες της $C_f$ της $f(x) = \dfrac{2x^2 + 1}{x^2 - 1}$ ;

Κάνε ζουμ προς τα έξω — όσο μεγαλώνει το x, η καμπύλη «κολλάει» στην οριζόντια ασύμπτωτη y = 2.

Ήξερες ότι;

Η λέξη «ασύμπτωτη» είναι ελληνική: α- + συν + πίπτω, «αυτή που δεν συμπίπτει». Τη χρησιμοποίησε ήδη ο Απολλώνιος ο Περγαίος στα «Κωνικά» του, για τις ευθείες που πλησιάζει η υπερβολή. Προσοχή όμως: στη σύγχρονη έννοια, μια καμπύλη μπορεί να τέμνει την ασύμπτωτή της. Η $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$ έχει ασύμπτωτη την $y = 0$ και την τέμνει στο $O(0, 0)$ .

Πλάγια ασύμπτωτη

Η ευθεία $y = \lambda x + \beta$ με $\lambda \neq 0$ λέγεται πλάγια ασύμπτωτη της $C_f$ στο $+\infty$ (αντίστοιχα στο $-\infty$ ) αν $\lim_{x \to +\infty} [f(x) - (\lambda x + \beta)] = 0$ . Δηλαδή η καμπύλη «κολλάει» πάνω στην ευθεία όσο απομακρυνόμαστε.

Μεθοδολογία εύρεσης

Υπολογίζουμε με τη σειρά τα δύο όρια. Αν και τα δύο είναι πραγματικοί αριθμοί, η $y = \lambda x + \beta$ είναι ασύμπτωτη: για $\lambda \neq 0$ πλάγια, για $\lambda = 0$ οριζόντια. Ελέγχουμε χωριστά στο $+\infty$ και στο $-\infty$ .

$\lambda = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} \qquad \beta = \lim_{x \to \pm\infty} \left[ f(x) - \lambda x \right]$

Κόλπο μνήμης

Οι κατακόρυφες «ζουν» σε πεπερασμένα σημεία: άκρα του ΠΟ που δεν ανήκουν σε αυτό ή σημεία ασυνέχειας. Οι οριζόντιες και οι πλάγιες ζουν μόνο στο $\pm\infty$ . Και σε κάθε άκρο ( $+\infty$ ή $-\infty$ ) η $C_f$ έχει το πολύ μία από αυτές: η οριζόντια είναι απλώς πλάγια με $\lambda = 0$ .

Μέθοδος: εύρεση όλων των ασυμπτώτων

Κατακόρυφες: σε κάθε σημείο όπου η $f$ δεν ορίζεται (ανοικτό άκρο του πεδίου ορισμού) και σε σημεία ασυνέχειας, υπολόγισε τα πλευρικά όρια· αρκεί ένα να είναι $\pm\infty$ .
Οριζόντιες: υπολόγισε χωριστά $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ και $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ · όποιο είναι πραγματικός αριθμός $\ell$ δίνει την $y = \ell$ στο αντίστοιχο άπειρο.
Πλάγιες: μόνο στα άπειρα όπου δεν βρήκες οριζόντια: $\lambda = \lim \frac{f(x)}{x}$ και $\beta = \lim [f(x) - \lambda x]$ , και τα δύο πραγματικοί αριθμοί με $\lambda \neq 0$ .
Συντομεύσεις: συνεχής στο $\mathbb{R}$ ⇒ καμία κατακόρυφη· πολυωνυμική βαθμού $\ge 2$ ⇒ καμία ασύμπτωτη.

Παράδειγμα: $f(x) = \frac{x^2 + 2x + 3}{x - 1}$ , $x \neq 1$ .

Κατακόρυφη: $\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty$ (αριθμητής $\to 6 > 0$ , παρονομαστής $\to 0^+$ ), άρα $x = 1$ κατακόρυφη ασύμπτωτη.

Πλάγια στο $\pm\infty$ : $\lambda = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 + 2x + 3}{x^2 - x} = 1$ και $\beta = \lim_{x \to \pm\infty} \left[ f(x) - x \right] = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{3x + 3}{x - 1} = 3$ .

Άρα η $y = x + 3$ είναι πλάγια ασύμπτωτη στο $+\infty$ και στο $-\infty$ .

Παράδειγμα (ρίζα στο $\pm\infty$ ): Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της $f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ .

Λύση: Η $f$ είναι συνεχής στο $\mathbb{R}$ , άρα δεν έχει κατακόρυφες.

Στο $+\infty$ : $\lambda = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x} = \lim_{x \to +\infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} = 1$ και

$\beta = \lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + 1} - x\right) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 1 - x^2}{\sqrt{x^2 + 1} + x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1} + x} = 0$

Άρα $y = x$ πλάγια ασύμπτωτη στο $+\infty$ .

Στο $-\infty$ : $\lambda = \lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x} = -1$ (αφού $\sqrt{x^2} = -x$ ) και

$\beta = \lim_{x \to -\infty} \left(\sqrt{x^2 + 1} + x\right) = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1} - x} = 0$

γιατί ο παρονομαστής $\to +\infty$ . Άρα $y = -x$ πλάγια ασύμπτωτη στο $-\infty$ — διαφορετική από αυτήν στο $+\infty$ !

Γρήγορος έλεγχος

Ποια είναι η οριζόντια ασύμπτωτη της $C_f$ για $f(x) = e^x$ ;

Θέμα τύπου Πανελλαδικών (Θέμα Γ): Δίνεται $f(x) = x + 2 + e^{-x}$ , $x \in \mathbb{R}$ .

(α) Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της $C_f$ .

(β) Να βρεθεί η σχετική θέση της $C_f$ και της ασύμπτωτης στο $+\infty$ .

Λύση (α): Η $f$ είναι συνεχής στο $\mathbb{R}$ , άρα δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες.

Στο $+\infty$ : $\lambda = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{2}{x} + \frac{e^{-x}}{x}\right) = 1$ και $\beta = \lim_{x \to +\infty} (f(x) - x) = \lim_{x \to +\infty} (2 + e^{-x}) = 2$ . Άρα $y = x + 2$ πλάγια ασύμπτωτη στο $+\infty$ .

Στο $-\infty$ : θέτουμε $u = -x \to +\infty$ : $\frac{e^{-x}}{x} = -\frac{e^u}{u} \to -\infty$ (η εκθετική «νικά» κάθε δύναμη). Άρα $\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = -\infty$ : δεν υπάρχει πλάγια. Επιπλέον $f(x) = x \cdot \frac{f(x)}{x}$ με $x \to -\infty$ και $\frac{f(x)}{x} \to -\infty$ , οπότε $\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$ : ούτε οριζόντια. Στο $-\infty$ καμία ασύμπτωτη.

Λύση (β): $f(x) - (x + 2) = e^{-x} > 0$ για κάθε $x$ , άρα η $C_f$ βρίσκεται πάνω από την ασύμπτωτη $y = x + 2$ .

Γρήγορος έλεγχος

Ποια πρόταση για τις ασύμπτωτες είναι σωστή;

Σε ρητές σύγκρινε βαθμούς: μικρότερος αριθμητής → $y = 0$ , ίσοι → οριζόντια $y = \frac{\alpha}{\beta}$ , αριθμητής κατά 1 μεγαλύτερος → πλάγια (βρες την και με διαίρεση πολυωνύμων). Στις Πανελλήνιες γράψε ΠΑΝΤΑ τα όρια που τεκμηριώνουν κάθε ασύμπτωτη — όχι μόνο την εξίσωσή της. Θυμήσου: στο ίδιο άπειρο δεν συνυπάρχουν οριζόντια και πλάγια.

Πρόκληση

Δίνεται $f(x) = \alpha x + \sqrt{x^2 + 4x}$ .

(α) Να βρείτε το $\alpha$ ώστε η $C_f$ να έχει στο $+\infty$ πλάγια ασύμπτωτη με κλίση $3$ .

(β) Για αυτό το $\alpha$ , να βρείτε όλες τις ασύμπτωτες της $C_f$ .

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

ΠΟ: $x^2 + 4x \ge 0 \iff x \le -4$ ή $x \ge 0$ , άρα $A = (-\infty, -4] \cup [0, +\infty)$ .

(α) Για $x > 0$ είναι $\sqrt{x^2} = x$ , οπότε

$\frac{f(x)}{x} = \alpha + \sqrt{1 + \frac{4}{x}} \to \alpha + 1$

Άρα $\alpha + 1 = 3$ , δηλαδή $\alpha = 2$ .

(β) Στο $+\infty$ : με συζυγή παράσταση,

$f(x) - 3x = \sqrt{x^2 + 4x} - x = \frac{4x}{\sqrt{x^2 + 4x} + x} = \frac{4}{\sqrt{1 + \frac{4}{x}} + 1} \to 2$

Ασύμπτωτη: $y = 3x + 2$ .

Στο $-\infty$ : εδώ $\sqrt{x^2} = |x| = -x$ , οπότε $\frac{f(x)}{x} = 2 - \sqrt{1 + \frac{4}{x}} \to 1$ και

$f(x) - x = x + \sqrt{x^2 + 4x} = \frac{4x}{\sqrt{x^2 + 4x} - x} = \frac{4x}{-x\left(\sqrt{1 + \frac{4}{x}} + 1\right)} \to -2$

Ασύμπτωτη: $y = x - 2$ .

Κατακόρυφες: η $f$ είναι συνεχής στο $A$ και τα άκρα $-4$ , $0$ ανήκουν στο $A$ , άρα δεν έχει.

Η «στροφή»: διαφορετική ασύμπτωτη σε κάθε άκρο, επειδή το $\sqrt{x^2}$ είναι $x$ στο $+\infty$ αλλά $-x$ στο $-\infty$ .

Συνηθισμένα λάθη

Γράφεις $\sqrt{x^2} = x$ στο $-\infty$ — σωστό: $-x$ . Αλλάζει το πρόσημο του $\lambda$ .
Δηλώνεις κατακόρυφη ασύμπτωτη σε κάθε ρίζα του παρονομαστή χωρίς έλεγχο ορίου: στην $\frac{x^2 - 1}{x - 1}$ το $x = 1$ δεν δίνει.
Βρίσκεις μόνο το $\lambda$ και σταματάς: για πλάγια ασύμπτωτη πρέπει και το $\beta$ να είναι πραγματικός αριθμός.
Εξετάζεις μόνο το $+\infty$ και «μεταφέρεις» το αποτέλεσμα στο $-\infty$ . Τα δύο άπειρα εξετάζονται πάντα χωριστά.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Κατακόρυφη $x = x_0$ : ένα τουλάχιστον πλευρικό όριο στο $x_0$ είναι $\pm\infty$ .
Οριζόντια $y = \ell$ στο $\pm\infty$ : $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \ell \in \mathbb{R}$ .
Πλάγια $y = \lambda x + \beta$ : $\lambda = \lim \frac{f(x)}{x} \in \mathbb{R}^*$ και $\beta = \lim [f(x) - \lambda x] \in \mathbb{R}$ .
Ρητές στο $\pm\infty$ : πηλίκο μεγιστοβάθμιων όρων· ρίζες στο $-\infty$ : $\sqrt{x^2} = -x$ .
Κάθε άπειρο εξετάζεται χωριστά· σε καθένα υπάρχει το πολύ μία οριζόντια ή πλάγια ασύμπτωτη.

Όρια στο ±∞

Όταν το

x

«τρέχει» προς το

+\infty

ή το

-\infty

, τη συμπεριφορά ενός πολυωνύμου την καθορίζει ο μεγιστοβάθμιος όρος:

\lim_{x \to \pm\infty} (\alpha_\nu x^\nu + \dots + \alpha_0) = \lim_{x \to \pm\infty} \alpha_\nu x^\nu

Για ρητή συνάρτηση, το όριο στο

\pm\infty

ισούται με το όριο του πηλίκου των μεγιστοβάθμιων όρων:

Βαθμός αριθμητή < βαθμός παρονομαστή → όριο

0

Ίσοι βαθμοί → όριο ο λόγος των μεγιστοβάθμιων συντελεστών

Βαθμός αριθμητή > βαθμός παρονομαστή → όριο

+\infty

-\infty

Κατακόρυφη & Οριζόντια ασύμπτωτη

Η ευθεία

x = x_0

λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της

C_f

αν ένα τουλάχιστον από τα πλευρικά όρια

\lim_{x \to x_0^-} f(x)

\lim_{x \to x_0^+} f(x)

είναι

+\infty

-\infty

. Τις αναζητούμε στα σημεία όπου η

f

δεν ορίζεται ή στα ανοικτά άκρα των διαστημάτων του πεδίου ορισμού.

Η ευθεία

y = \ell

λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της

C_f

στο

+\infty

(αντίστοιχα στο

-\infty

) αν

\lim_{x \to +\infty} f(x) = \ell

(αντίστοιχα

\lim_{x \to -\infty} f(x) = \ell

), με

\ell \in \mathbb{R}

Πλάγια ασύμπτωτη

Η ευθεία

y = \lambda x + \beta

με

\lambda \neq 0

λέγεται πλάγια ασύμπτωτη της

C_f

στο

+\infty

(αντίστοιχα στο

-\infty

) αν

\lim_{x \to +\infty} [f(x) - (\lambda x + \beta)] = 0

. Δηλαδή η καμπύλη «κολλάει» πάνω στην ευθεία όσο απομακρυνόμαστε.

Μεθοδολογία εύρεσης

Υπολογίζουμε με τη σειρά τα δύο όρια. Αν και τα δύο είναι πραγματικοί αριθμοί, η

y = \lambda x + \beta

είναι ασύμπτωτη: για

\lambda \neq 0

πλάγια, για

\lambda = 0

οριζόντια. Ελέγχουμε χωριστά στο

+\infty

και στο

-\infty