⛰️

Μονοτονία & Ακρότατα

Πρόσημο f′, τοπικά ακρότατα, κυρτότητα

Γιατί με νοιάζει;

Ποια τιμή εισιτηρίου φέρνει στο θέατρο τα περισσότερα έσοδα; Πότε ένα κινητό φτάνει στο πιο μακρινό του σημείο πριν γυρίσει πίσω; Με πόσο λιγότερο υλικό φτιάχνεται ένα κουτί δεδομένου όγκου;

Κάθε ερώτηση «μέγιστο ή ελάχιστο» λύνεται με το ίδιο εργαλείο: τον πίνακα προσήμων της $f'$ . Και με την $f''$ βλέπεις πώς «λυγίζει» η καμπύλη.

Μονοτονία από το πρόσημο της f′

Σε διάστημα $\Delta$ όπου η $f$ είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του:

Αν $f'(x) > 0$ στο εσωτερικό → η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\Delta$
Αν $f'(x) < 0$ → γνησίως φθίνουσα

Λεπτό σημείο: αν $f'(x) \ge 0$ και το $=$ ισχύει μόνο σε μεμονωμένα σημεία, η $f$ παραμένει γνησίως αύξουσα — π.χ. η $f(x) = x^3$ με $f'(0) = 0$ .

Μέθοδος: μονοτονία και ακρότατα

Βρες το πεδίο ορισμού και δικαιολόγησε συνέχεια και παραγωγισιμότητα.
Υπολόγισε την $f'$ , γράψε την ως γινόμενο και λύσε $f'(x) = 0$ .
Φτιάξε πίνακα προσήμων της $f'$ στα διαστήματα που ορίζουν οι ρίζες της (και τα σημεία όπου δεν ορίζεται).
Γράψε τη μονοτονία με κλειστά άκρα όπου η $f$ είναι συνεχής, π.χ. «γνησίως αύξουσα στο $(-\infty, 1]$ ».
Όπου η $f'$ αλλάζει πρόσημο έχεις τοπικό ακρότατο· υπολόγισε την τιμή του. Για ολικά ακρότατα σύγκρινε και με τα όρια ή τις τιμές στα άκρα.

Τοπικά ακρότατα — Θεώρημα Fermat

Αν η $f$ έχει τοπικό ακρότατο σε εσωτερικό σημείο $x_0$ και είναι παραγωγίσιμη εκεί, τότε $f'(x_0) = 0$ . Το αντίστροφο ΔΕΝ ισχύει: $f'(x_0) = 0$ δεν αρκεί.

Τα «ύποπτα» σημεία για ακρότατα: ρίζες της $f'$ , σημεία όπου η $f$ δεν παραγωγίζεται, και τα άκρα του διαστήματος.

Απόδειξη θεωρίας: Θεώρημα Fermat

Θεώρημα. Έστω μια συνάρτηση $f$ ορισμένη σε ένα διάστημα $\Delta$ και $x_0$ ένα εσωτερικό σημείο του $\Delta$ . Αν η $f$ παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο $x_0$ και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε $f'(x_0) = 0$ .

Απόδειξη (για τοπικό μέγιστο· για ελάχιστο ανάλογα). Επειδή το $x_0$ είναι εσωτερικό σημείο του $\Delta$ και η $f$ παρουσιάζει σε αυτό τοπικό μέγιστο, υπάρχει $\delta > 0$ τέτοιο ώστε $(x_0 - \delta, x_0 + \delta) \subseteq \Delta$ και

$f(x) \le f(x_0) \quad \text{για κάθε } x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta)$

Επειδή η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $x_0$ :

$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0^-} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0^+} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$

Για $x \in (x_0 - \delta, x_0)$ : αριθμητής $\le 0$ και παρονομαστής $< 0$ , άρα το κλάσμα είναι $\ge 0$ και επομένως $f'(x_0) \ge 0$ .
Για $x \in (x_0, x_0 + \delta)$ : αριθμητής $\le 0$ και παρονομαστής $> 0$ , άρα το κλάσμα είναι $\le 0$ και επομένως $f'(x_0) \le 0$ .

Άρα $f'(x_0) = 0$ . ∎

Στα άκρα του διαστήματος το Fermat δεν εφαρμόζεται: η $f(x) = x$ στο $[0, 1]$ έχει ελάχιστο στο $0$ , αλλά $f'(0) = 1$ .

$f'(x_0) = 0 \text{ και η } f' \text{ αλλάζει πρόσημο στο } x_0 \Rightarrow \text{τοπικό ακρότατο}$

Κόλπο μνήμης

Διάβασε τον πίνακα προσήμων της $f'$ σαν πεζοπορία. Από $+$ σε $-$ : ανεβαίνεις και κατεβαίνεις, άρα κορυφή (τοπικό μέγιστο). Από $-$ σε $+$ : κοιλάδα (τοπικό ελάχιστο). Ίδιο πρόσημο και από τις δύο μεριές: απλώς ένα «ίσιωμα», όχι ακρότατο (όπως η $x^3$ στο $0$ ).

Γρήγορος έλεγχος

Η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ και ισχύει $f'(2) = 0$ . Τι συμπεραίνεις με βεβαιότητα;

Γρήγορος έλεγχος

Η $f(x) = |x|$ έχει ελάχιστο στο $x_0 = 0$ , όμως δεν ισχύει $f'(0) = 0$ . Γιατί αυτό δεν αντιβαίνει στο θεώρημα Fermat;

Ολικά ακρότατα σε κλειστό διάστημα

Αν η $f$ είναι συνεχής στο $[\alpha, \beta]$ , από το Θεώρημα Μέγιστης–Ελάχιστης Τιμής έχει ολικό μέγιστο και ολικό ελάχιστο. Τα βρίσκουμε συγκρίνοντας τις τιμές της $f$ :

στα κρίσιμα σημεία του $(\alpha, \beta)$ : ρίζες της $f'$ και σημεία όπου η $f$ δεν παραγωγίζεται
στα άκρα $\alpha$ και $\beta$

Η μεγαλύτερη από αυτές τις τιμές είναι το ολικό μέγιστο και η μικρότερη το ολικό ελάχιστο.

Ήξερες ότι;

Ένα κλειστό κυλινδρικό κουτί με δεδομένο όγκο $V$ χρειάζεται το λιγότερο υλικό όταν το ύψος του ισούται με τη διάμετρο ( $h = 2r$ ). Η επιφάνεια $S(r) = 2\pi r^2 + \frac{2V}{r}$ ελαχιστοποιείται όταν $S'(r) = 4\pi r - \frac{2V}{r^2} = 0$ , δηλαδή $V = 2\pi r^3$ . Τα κουτάκια αναψυκτικού όμως είναι πολύ πιο ψηλά (περίπου $11{,}5$ cm ύψος για $6{,}6$ cm διάμετρο), γιατί στον σχεδιασμό τους μετράνε κι άλλα πράγματα πέρα από το υλικό.

Κυρτότητα & σημεία καμπής

$f''(x) > 0$ → κυρτή (χαμογελάει 🙂)
$f''(x) < 0$ → κοίλη (☹️)
Στα σημεία καμπής η $f''$ αλλάζει πρόσημο και η γραφική παράσταση «διαπερνά» την εφαπτομένη της.

Κυρτότητα: ορισμός και εφαπτομένη

Σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο, η $f$ (συνεχής σε διάστημα $\Delta$ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του) λέγεται κυρτή στο $\Delta$ αν η $f'$ είναι γνησίως αύξουσα στο εσωτερικό του $\Delta$ , και κοίλη αν η $f'$ είναι γνησίως φθίνουσα. Το κριτήριο $f'' > 0$ απλώς εξασφαλίζει ότι η $f'$ είναι γνησίως αύξουσα. Το αντίστροφο δεν ισχύει: η $x^4$ είναι κυρτή, αν και $f''(0) = 0$ .

Γεωμετρικά: αν η $f$ είναι κυρτή, η εφαπτομένη σε κάθε σημείο της $C_f$ βρίσκεται κάτω από τη $C_f$ (με εξαίρεση το σημείο επαφής)· αν είναι κοίλη, πάνω. Έτσι προκύπτουν γρήγορα ανισότητες: η $e^x$ είναι κυρτή και η εφαπτομένη της στο $(0, 1)$ είναι η $y = x + 1$ , άρα $e^x \ge x + 1$ .

Σημείο καμπής: σημείο $A(x_0, f(x_0))$ όπου η $f$ αλλάζει κυρτότητα και η $C_f$ έχει εφαπτομένη. Αν η $f$ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και το $A$ είναι σημείο καμπής, τότε $f''(x_0) = 0$ . Πιθανές θέσεις: ρίζες της $f''$ και εσωτερικά σημεία όπου δεν υπάρχει η $f''$ .

Γρήγορος έλεγχος

Η $f$ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ με $f''(x) = (x - 1)^2 (x - 3)$ . Πόσα σημεία καμπής έχει η $C_f$ ;

Παράδειγμα: $f(x) = x^3 - 3x$ : $f'(x) = 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x = \pm 1$ . Πίνακας προσήμων: $f' > 0$ για $|x| > 1$ , $f' < 0$ για $|x| < 1$ . Άρα τοπικό μέγιστο $f(-1) = 2$ στο $x = -1$ και τοπικό ελάχιστο $f(1) = -2$ στο $x = 1$ .

Παράδειγμα (ολικά ακρότατα σε κλειστό): Να βρεθούν η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της $f(x) = x^3 - 3x$ στο $[0, 2]$ .

Λύση: Η $f$ είναι συνεχής στο $[0, 2]$ , άρα έχει μέγιστο και ελάχιστο. $f'(x) = 3x^2 - 3 = 0 \iff x = \pm 1$ · στο $(0, 2)$ ανήκει μόνο το $1$ . Συγκρίνουμε:

$f(0) = 0, \qquad f(1) = 1 - 3 = -2, \qquad f(2) = 8 - 6 = 2$

Άρα ολικό μέγιστο $2$ (στο $x = 2$ , άκρο του διαστήματος) και ολικό ελάχιστο $-2$ (στο $x = 1$ ). Χωρίς έλεγχο των άκρων θα έχανες το μέγιστο!

Γρήγορος έλεγχος

Η $f(x) = x + \frac{1}{x}$ έχει τοπικό μέγιστο στο $x = -1$ και τοπικό ελάχιστο στο $x = 1$ . Ποια πρόταση είναι σωστή;

Γρήγορος έλεγχος

Ποια είναι η ελάχιστη τιμή της $f(x) = x^3 - 3x$ στο $[-3, 0]$ ;

Άσκηση: Να δείξετε ότι $\ln x \le x - 1$ για κάθε $x > 0$ .

Λύση: Θεωρούμε $g(x) = x - 1 - \ln x$ , $x > 0$ , με $g'(x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x}$ . Για $0 < x < 1$ είναι $g'(x) < 0$ (γνησίως φθίνουσα) και για $x > 1$ είναι $g'(x) > 0$ (γνησίως αύξουσα). Άρα η $g$ έχει ολικό ελάχιστο το $g(1) = 1 - 1 - \ln 1 = 0$ , οπότε $g(x) \ge 0$ για κάθε $x > 0$ , δηλαδή $\ln x \le x - 1$ .

Θέμα τύπου Πανελλαδικών (Θέμα Γ): Δίνεται $f(x) = x e^{-x}$ , $x \in \mathbb{R}$ .

(α) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

(β) Να μελετηθεί ως προς την κυρτότητα και να βρεθεί το σημείο καμπής.

(γ) Να βρεθεί η εφαπτομένη στο σημείο καμπής.

(δ) Να δειχθεί ότι $e x \le e^x$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

Λύση (α): $f'(x) = e^{-x} - x e^{-x} = (1 - x) e^{-x}$ . Επειδή $e^{-x} > 0$ , το πρόσημο είναι του $1 - x$ : $f' > 0$ για $x < 1$ , $f' < 0$ για $x > 1$ . Άρα γνησίως αύξουσα στο $(-\infty, 1]$ , γνησίως φθίνουσα στο $[1, +\infty)$ , με ολικό μέγιστο $f(1) = \frac{1}{e}$ .

Λύση (β): $f''(x) = -e^{-x} - (1 - x) e^{-x} = (x - 2) e^{-x}$ . Κοίλη στο $(-\infty, 2]$ , κυρτή στο $[2, +\infty)$ · η $f''$ αλλάζει πρόσημο στο $2$ , άρα σημείο καμπής $A\left(2, \frac{2}{e^2}\right)$ .

Λύση (γ): $f'(2) = (1 - 2) e^{-2} = -\frac{1}{e^2}$ , άρα

$y - \frac{2}{e^2} = -\frac{1}{e^2}(x - 2) \iff y = \frac{4 - x}{e^2}$

Λύση (δ): Από (α), $x e^{-x} \le \frac{1}{e}$ για κάθε $x$ . Πολλαπλασιάζοντας με $e \cdot e^{x} > 0$ : $e x \le e^x$ , με ισότητα μόνο για $x = 1$ .

Ο πίνακας προσήμων της $f'$ είναι το κλειδί: από εκεί διαβάζεις μονοτονία, ακρότατα, σύνολο τιμών και πλήθος ριζών. Για ανισότητες $f(x) \ge g(x)$ , μελέτησε τη διαφορά και δείξε ότι το ολικό της ελάχιστο είναι $\ge 0$ .

Πρόκληση

Να βρείτε όλα τα $\alpha > 0$ για τα οποία ισχύει

$\alpha^x \ge x + 1 \quad \text{για κάθε } x \in \mathbb{R}$

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Θέτουμε $g(x) = \alpha^x - x - 1$ , $x \in \mathbb{R}$ , παραγωγίσιμη με $g'(x) = \alpha^x \ln\alpha - 1$ .

Η «στροφή»: παρατήρησε ότι $g(0) = 1 - 0 - 1 = 0$ . Η υπόθεση λέει $g(x) \ge 0 = g(0)$ για κάθε $x$ , δηλαδή η $g$ έχει ελάχιστο στο εσωτερικό σημείο $0$ . Από το Θεώρημα Fermat:

$g'(0) = 0 \iff \ln\alpha - 1 = 0 \iff \alpha = e$

Αντίστροφα, για $\alpha = e$ : $g'(x) = e^x - 1$ , αρνητική για $x < 0$ και θετική για $x > 0$ . Άρα η $g$ έχει ολικό ελάχιστο $g(0) = 0$ , δηλαδή $e^x \ge x + 1$ για κάθε $x$ ✓.

Απάντηση: μόνο για $\alpha = e$ .

Προσοχή: μια ανισότητα «για κάθε $x$ » που γίνεται ισότητα σε ένα σημείο κρύβει ένα ακρότατο, άρα Fermat. Όμως το Fermat δίνει μόνο αναγκαία συνθήκη: ο έλεγχος του αντιστρόφου είναι υποχρεωτικός και βαθμολογείται.

Συνηθισμένα λάθη

« $f'(x_0) = 0$ ⇒ ακρότατο»: λάθος, η $x^3$ έχει $f'(0) = 0$ χωρίς ακρότατο. Χρειάζεται αλλαγή προσήμου της $f'$ .
Μονοτονία σε ένωση διαστημάτων: η $\frac{1}{x}$ είναι γνησίως φθίνουσα σε καθένα από τα $(-\infty, 0)$ και $(0, +\infty)$ , όχι στην ένωσή τους.
Ολικά ακρότατα σε κλειστό διάστημα χωρίς τις τιμές στα άκρα.
Σημείο καμπής μόνο επειδή $f''(x_0) = 0$ — η $x^4$ έχει $f''(0) = 0$ χωρίς καμπή. Δικαιολόγησε πάντα με πίνακα προσήμων της $f''$ .

Σύνοψη — τι κρατάμε

$f' > 0$ (αντ. $< 0$ ) στο εσωτερικό διαστήματος ⇒ $f$ γνησίως αύξουσα (αντ. φθίνουσα) σε όλο το διάστημα.
Fermat: τοπικό ακρότατο σε εσωτερικό σημείο + παραγωγίσιμη ⇒ $f'(x_0) = 0$ · το αντίστροφο δεν ισχύει.
Ύποπτα σημεία για ακρότατα: ρίζες της $f'$ , σημεία μη παραγωγισιμότητας, άκρα του διαστήματος.
Κυρτή ⇔ $f'$ γνησίως αύξουσα ( $f'' > 0$ αρκεί)· εφαπτομένη κάτω από τη $C_f$ . Καμπή: αλλαγή προσήμου της $f''$ .
Ανισότητα $f \ge g$ : μελέτησε τη διαφορά $h = f - g$ και δείξε ότι το ολικό της ελάχιστο είναι $\ge 0$ .

Μονοτονία από το πρόσημο της f′

Σε διάστημα

\Delta

όπου η

f

είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του:

Αν

f'(x) > 0

στο εσωτερικό → η

f

είναι γνησίως αύξουσα στο

\Delta

Αν

f'(x) < 0

→ γνησίως φθίνουσα

Λεπτό σημείο: αν

f'(x) \ge 0

και το

=

ισχύει μόνο σε μεμονωμένα σημεία, η

f

παραμένει γνησίως αύξουσα — π.χ. η

f(x) = x^3

με

f'(0) = 0