🌉

Θεώρημα Ενδιάμεσων Τιμών & Σύνολο Τιμών

Θ.Ε.Τ., εικόνα συνεχούς f, σύνολο τιμών με μονοτονία + όρια

Γιατί με νοιάζει;

Ένα μωρό γεννήθηκε $50$ cm και στα $18$ του έφτασε το $1{,}70$ m. Κάποια μέρα είχε ύψος ακριβώς $1{,}23$ m, αλλά και ακριβώς $\frac{\pi}{2} \approx 1{,}571$ m. Το ύψος αλλάζει συνεχώς, άρα περνά από κάθε ενδιάμεση τιμή: αυτό είναι το Θεώρημα Ενδιάμεσων Τιμών.

Μαζί με τη μονοτονία σού δίνει το πιο χρήσιμο εργαλείο του Θέματος Γ: το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης, άρα και το πόσες ρίζες έχει μια εξίσωση.

Θεώρημα Ενδιάμεσων Τιμών (Θ.Ε.Τ.)

Έστω $f$ συνεχής στο $[\alpha, \beta]$ με $f(\alpha) \neq f(\beta)$ . Τότε, για κάθε αριθμό $\eta$ μεταξύ των $f(\alpha)$ και $f(\beta)$ υπάρχει ένα τουλάχιστον $x_0 \in (\alpha, \beta)$ τέτοιο ώστε $f(x_0) = \eta$ .

Με άλλα λόγια: μια συνεχής συνάρτηση, για να πάει από την τιμή $f(\alpha)$ στην τιμή $f(\beta)$ , περνά υποχρεωτικά από όλες τις ενδιάμεσες τιμές — δεν μπορεί να «πηδήξει» καμία.

Η απόδειξη στηρίζεται στο θεώρημα Bolzano για τη βοηθητική $g(x) = f(x) - \eta$ : ισχύει $g(\alpha) \cdot g(\beta) < 0$ , άρα η $g$ έχει ρίζα στο $(\alpha, \beta)$ . Αντίστροφα, το Bolzano είναι η ειδική περίπτωση του Θ.Ε.Τ. για $\eta = 0$ .

Απόδειξη θεωρίας: Θεώρημα Ενδιάμεσων Τιμών

Απόδειξη. Υποθέτουμε ότι $f(\alpha) < f(\beta)$ (η περίπτωση $f(\alpha) > f(\beta)$ είναι ανάλογη), οπότε $f(\alpha) < \eta < f(\beta)$ . Θεωρούμε τη συνάρτηση

$g(x) = f(x) - \eta, \quad x \in [\alpha, \beta]$

Η $g$ είναι συνεχής στο $[\alpha, \beta]$ ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων.
$g(\alpha) = f(\alpha) - \eta < 0$ και $g(\beta) = f(\beta) - \eta > 0$ , άρα $g(\alpha) \cdot g(\beta) < 0$ .

Από το θεώρημα Bolzano υπάρχει $x_0 \in (\alpha, \beta)$ τέτοιο ώστε $g(x_0) = 0$ , δηλαδή $f(x_0) = \eta$ . ∎

Παρατήρησε το «άλμα» ασυνέχειας: η οριζόντια ευθεία y = η περνά ανάμεσα από τα δύο κομμάτια χωρίς να συναντά την καμπύλη — οι ενδιάμεσες τιμές χάνονται. Μόλις η f γίνει συνεχής, κάθε ενδιάμεση τιμή «πιάνεται» από κάποιο x₀.

$\eta \;\text{μεταξύ}\; f(\alpha), f(\beta) \;\Rightarrow\; \exists\, x_0 \in (\alpha, \beta): \; f(x_0) = \eta$

Ήξερες ότι;

Αν δεχτούμε ότι η θερμοκρασία μεταβάλλεται συνεχώς, τότε σε κάθε στιγμή υπάρχουν στον Ισημερινό δύο αντιδιαμετρικά σημεία με ακριβώς την ίδια θερμοκρασία. Η απόδειξη χωράει σε μια γραμμή: αν $T(\theta)$ η θερμοκρασία στη γωνία $\theta$ , η $g(\theta) = T(\theta) - T(\theta + \pi)$ είναι συνεχής με $g(\theta + \pi) = -g(\theta)$ . Άρα παίρνει και μη αρνητική και μη θετική τιμή, οπότε μηδενίζεται κάπου.

Η εικόνα συνεχούς συνάρτησης σε διάστημα

Η εικόνα $f(\Delta)$ ενός διαστήματος $\Delta$ μέσω συνεχούς και μη σταθερής $f$ είναι διάστημα
Θεώρημα Μέγιστης–Ελάχιστης Τιμής: αν η $f$ είναι συνεχής στο κλειστό $[\alpha, \beta]$ , τότε παίρνει μέγιστη τιμή $M$ και ελάχιστη τιμή $m$ , και μάλιστα $f([\alpha, \beta]) = [m, M]$

Προσοχή: σε ανοικτό ή μη φραγμένο διάστημα η συνεχής $f$ μπορεί να μην έχει μέγιστο ή ελάχιστο — π.χ. η $f(x) = \frac{1}{x}$ στο $(0, 1)$ έχει σύνολο τιμών το $(1, +\infty)$ .

Θέμα τύπου Πανελλαδικών (Θέμα Β): Η $f$ είναι συνεχής στο $[1, 3]$ . Να δείξετε ότι υπάρχει $\xi \in [1, 3]$ τέτοιο ώστε

$f(\xi) = \frac{f(1) + f(2) + f(3)}{3}$

Λύση: Από το Θ. Μέγιστης–Ελάχιστης Τιμής η $f$ έχει στο $[1, 3]$ ελάχιστη τιμή $m$ και μέγιστη $M$ , δηλαδή $m \le f(x) \le M$ για κάθε $x \in [1, 3]$ . Ειδικά

$m \le f(1) \le M, \quad m \le f(2) \le M, \quad m \le f(3) \le M$

Προσθέτοντας κατά μέλη και διαιρώντας με $3$ : $m \le \mu \le M$ , όπου $\mu = \frac{f(1) + f(2) + f(3)}{3}$ .

Αν $m = M$ , η $f$ είναι σταθερή και οποιοδήποτε $\xi$ κάνει.
Αλλιώς $f([1, 3]) = [m, M]$ και αφού $\mu \in [m, M]$ , υπάρχει $\xi \in [1, 3]$ με $f(\xi) = \mu$ .

Σύνολο τιμών με μονοτονία + όρια

Αν η $f$ είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο $(\alpha, \beta)$ , τότε:

$f((\alpha, \beta)) = \left( \lim_{x \to \alpha^+} f(x), \; \lim_{x \to \beta^-} f(x) \right)$

Αν είναι γνησίως φθίνουσα, τα άκρα αντιστρέφονται. Σε κλειστό άκρο, το όριο αντικαθίσταται από την τιμή $f(\alpha)$ και η αντίστοιχη αγκύλη κλείνει.

Μεθοδολογία

Σπάσε το πεδίο ορισμού στα διαστήματα μονοτονίας (από τον πίνακα της $f'$ )
Σε κάθε διάστημα βρες τιμές ή όρια στα άκρα και γράψε την εικόνα του
Το σύνολο τιμών είναι η ένωση των εικόνων

Κόλπο μνήμης

Σύνολο τιμών γνησίως μονότονης συνεχούς: «πάρε τα άκρα, κράτα τις αγκύλες». Αύξουσα → ίδια σειρά, φθίνουσα → αναποδογύρισε. Κλειστό άκρο → βάζεις την τιμή $f$ , ανοικτό άκρο → βάζεις το όριο.

Μέθοδος: πλήθος ριζών της εξίσωσης $f(x) = k$

Μελέτησε τη μονοτονία και χώρισε το πεδίο ορισμού σε διαστήματα $\Delta_1, \Delta_2, \dots$ όπου η $f$ είναι γνησίως μονότονη.
Βρες την εικόνα $f(\Delta_i)$ κάθε διαστήματος (τιμές ή όρια στα άκρα).
Σε κάθε $\Delta_i$ η εξίσωση έχει ακριβώς μία ρίζα αν $k \in f(\Delta_i)$ (ύπαρξη από το σύνολο τιμών, μοναδικότητα από τη μονοτονία), και καμία αλλιώς.
Το πλήθος των ριζών είναι το πλήθος των διαστημάτων με $k \in f(\Delta_i)$ .

Παράδειγμα (τύπου εξετάσεων): Δίνεται $f(x) = \ln x + x$ , $x > 0$ . Να βρεθεί το σύνολο τιμών και να δειχθεί ότι η εξίσωση $\ln x = -x$ έχει ακριβώς μία ρίζα.

Η $f$ είναι συνεχής και παραγωγίσιμη με $f'(x) = \frac{1}{x} + 1 > 0$ , άρα γνησίως αύξουσα στο $(0, +\infty)$ .

Όρια στα άκρα: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty$ και $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ .

Άρα $f((0, +\infty)) = (-\infty, +\infty) = \mathbb{R}$ .

Επειδή $0 \in f(\Delta)$ , υπάρχει $x_0 > 0$ με $f(x_0) = 0 \iff \ln x_0 = -x_0$ (ύπαρξη), και επειδή η $f$ είναι γνησίως μονότονη, το $x_0$ είναι μοναδικό.

Παράδειγμα (δύο διαστήματα μονοτονίας): Δίνεται $f(x) = x^2 - 2\ln x$ , $x > 0$ . Να βρεθεί το σύνολο τιμών και το πλήθος των ριζών της $f(x) = k$ για κάθε $k \in \mathbb{R}$ .

Λύση: $f'(x) = 2x - \frac{2}{x} = \frac{2(x^2 - 1)}{x}$ . Στο $(0, 1)$ είναι $f' < 0$ και στο $(1, +\infty)$ είναι $f' > 0$ : γνησίως φθίνουσα στο $\Delta_1 = (0, 1]$ , γνησίως αύξουσα στο $\Delta_2 = [1, +\infty)$ , με $f(1) = 1$ .

Όρια: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$ (αφού $x^2 \to 0$ και $-2\ln x \to +\infty$ ) και $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} x^2 \left(1 - \frac{2\ln x}{x^2}\right) = +\infty$ , αφού $\frac{\ln x}{x^2} \to 0$ .

Άρα $f(\Delta_1) = [1, +\infty)$ , $f(\Delta_2) = [1, +\infty)$ και $f\left((0, +\infty)\right) = [1, +\infty)$ .

Πλήθος ριζών: για $k < 1$ καμία, για $k = 1$ μία (η $x = 1$ ), για $k > 1$ δύο — μία στο $(0, 1)$ και μία στο $(1, +\infty)$ .

Γρήγορος έλεγχος

Η $f$ είναι συνεχής στο $[1, 3]$ με $f(1) = 2$ και $f(3) = 8$ . Τι εξασφαλίζεται με βεβαιότητα;

Γρήγορος έλεγχος

Ποιο είναι το σύνολο τιμών της $f(x) = \ln x + x$ στο $[1, e]$ ;

Γρήγορος έλεγχος

Πόσες ρίζες έχει η εξίσωση $x^2 - 2\ln x = 3$ , $x > 0$ ;

Όταν ζητείται «δείξτε ότι η εξίσωση έχει ρίζα» και το Bolzano δεν «βγαίνει» με βολικά άκρα, σκέψου το δίδυμο σύνολο τιμών + μονοτονία: αν $\eta \in f(\Delta)$ έχεις ύπαρξη, αν επιπλέον η $f$ είναι γνησίως μονότονη έχεις και μοναδικότητα. Στις Πανελλήνιες το πλήθος ριζών της $f(x) = \eta$ διαβάζεται από τον πίνακα μεταβολών: μέτρησε σε πόσα διαστήματα μονοτονίας η εικόνα περιέχει το $\eta$ . Και πρόσεχε τα άκρα: τιμή ⇒ κλειστή αγκύλη, όριο ⇒ ανοικτή.

Πρόκληση

Η $f$ είναι συνεχής στο $[1, 3]$ . Να δείξετε ότι υπάρχει $\xi \in [1, 3]$ τέτοιο ώστε

$6 f(\xi) = f(1) + 2 f(2) + 3 f(3)$

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Εδώ το Bolzano δεν βοηθά, αφού δεν ξέρουμε κανένα πρόσημο. Το εργαλείο είναι το Θεώρημα Μέγιστης και Ελάχιστης Τιμής μαζί με το Θ.Ε.Τ.

Η $f$ είναι συνεχής στο κλειστό $[1, 3]$ , άρα έχει ελάχιστη τιμή $m$ και μέγιστη $M$ , και το σύνολο τιμών της είναι $f([1, 3]) = [m, M]$ . Επομένως:

$m \le f(1) \le M, \qquad 2m \le 2 f(2) \le 2M, \qquad 3m \le 3 f(3) \le 3M$

Προσθέτοντας: $6m \le f(1) + 2 f(2) + 3 f(3) \le 6M$ , δηλαδή

$\eta = \frac{f(1) + 2 f(2) + 3 f(3)}{6} \in [m, M] = f([1, 3])$

Άρα υπάρχει $\xi \in [1, 3]$ με $f(\xi) = \eta$ , που είναι το ζητούμενο.

Η «στροφή»: κάθε σταθμισμένος μέσος όρος τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης σε κλειστό διάστημα είναι κι αυτός τιμή της. Με άλλα βάρη η μέθοδος μένει ίδια: διαιρείς με το άθροισμα των βαρών.

Συνηθισμένα λάθη

Σε γνησίως φθίνουσα γράφεις $f([\alpha, \beta]) = [f(\alpha), f(\beta)]$ — σωστό: $[f(\beta), f(\alpha)]$ .
Βρίσκεις την εικόνα μη μονότονης συνάρτησης από τις τιμές στα άκρα: η $x^2$ στο $[-1, 2]$ έχει εικόνα $[0, 4]$ , όχι $[1, 4]$ .
Κλειστή αγκύλη σε άκρο όπου υπολόγισες όριο — όριο σημαίνει ανοικτή αγκύλη.
Παίρνεις την τομή των εικόνων αντί για την ένωση τους.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Θ.Ε.Τ.: $f$ συνεχής στο $[\alpha, \beta]$ , $f(\alpha) \neq f(\beta)$ ⇒ κάθε $\eta$ μεταξύ τους είναι τιμή της $f$ (απόδειξη: Bolzano στη $g = f - \eta$ ).
Συνεχής και μη σταθερή: η εικόνα διαστήματος είναι διάστημα· στο κλειστό $[\alpha, \beta]$ ισχύει $f([\alpha, \beta]) = [m, M]$ .
Συνεχής γνησίως αύξουσα στο $(\alpha, \beta)$ : $f((\alpha, \beta)) = \left(\lim_{x \to \alpha^+} f, \lim_{x \to \beta^-} f\right)$ · φθίνουσα: τα άκρα αντιστρέφονται.
Τιμή ⇒ κλειστή αγκύλη, όριο ⇒ ανοικτή· σύνολο τιμών = ένωση των εικόνων.
Πλήθος ριζών της $f(x) = k$ : σε πόσα διαστήματα μονοτονίας ισχύει $k \in f(\Delta_i)$ .

Θεώρημα Ενδιάμεσων Τιμών (Θ.Ε.Τ.)

Έστω

f

συνεχής στο $[\alpha, \beta]$ με

f(\alpha) \neq f(\beta)

. Τότε, για κάθε αριθμό

\eta

μεταξύ των

f(\alpha)

και

f(\beta)

υπάρχει ένα τουλάχιστον

x_0 \in (\alpha, \beta)

τέτοιο ώστε

f(x_0) = \eta

Με άλλα λόγια: μια συνεχής συνάρτηση, για να πάει από την τιμή

f(\alpha)

στην τιμή

f(\beta)

, περνά υποχρεωτικά από όλες τις ενδιάμεσες τιμές — δεν μπορεί να «πηδήξει» καμία.

Η απόδειξη στηρίζεται στο θεώρημα Bolzano για τη βοηθητική

g(x) = f(x) - \eta

: ισχύει

g(\alpha) \cdot g(\beta) < 0

, άρα η

g

έχει ρίζα στο

(\alpha, \beta)

. Αντίστροφα, το Bolzano είναι η ειδική περίπτωση του Θ.Ε.Τ. για

\eta = 0

Η εικόνα συνεχούς συνάρτησης σε διάστημα

Η εικόνα

f(\Delta)

ενός διαστήματος

\Delta

μέσω συνεχούς και μη σταθερής

f

είναι διάστημα

Θεώρημα Μέγιστης–Ελάχιστης Τιμής: αν η

f

είναι συνεχής στο κλειστό

[\alpha, \beta]

, τότε παίρνει μέγιστη τιμή

M

και ελάχιστη τιμή

m

, και μάλιστα

f([\alpha, \beta]) = [m, M]

Προσοχή: σε ανοικτό ή μη φραγμένο διάστημα η συνεχής

f

μπορεί να μην έχει μέγιστο ή ελάχιστο — π.χ. η

f(x) = \frac{1}{x}

στο

(0, 1)

έχει σύνολο τιμών το

(1, +\infty)

Σύνολο τιμών με μονοτονία + όρια

Αν η

f

είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο

(\alpha, \beta)

, τότε:

f((\alpha, \beta)) = \left( \lim_{x \to \alpha^+} f(x), \; \lim_{x \to \beta^-} f(x) \right)

Αν είναι γνησίως φθίνουσα, τα άκρα αντιστρέφονται. Σε κλειστό άκρο, το όριο αντικαθίσταται από την τιμή

f(\alpha)

και η αντίστοιχη αγκύλη κλείνει.

Μεθοδολογία

Σπάσε το πεδίο ορισμού στα διαστήματα μονοτονίας (από τον πίνακα της

f'

)

Σε κάθε διάστημα βρες τιμές ή όρια στα άκρα και γράψε την εικόνα του

Το σύνολο τιμών είναι η ένωση των εικόνων

Θεώρημα Ενδιάμεσων Τιμών & Σύνολο Τιμών

Θεώρημα Ενδιάμεσων Τιμών (Θ.Ε.Τ.)

Απόδειξη θεωρίας: Θεώρημα Ενδιάμεσων Τιμών

Η εικόνα συνεχούς συνάρτησης σε διάστημα

Σύνολο τιμών με μονοτονία + όρια

Μεθοδολογία

Μέθοδος: πλήθος ριζών της εξίσωσης f(x)=kf(x) = kf(x)=k

Θεώρημα Ενδιάμεσων Τιμών & Σύνολο Τιμών

Θεώρημα Ενδιάμεσων Τιμών (Θ.Ε.Τ.)

Απόδειξη θεωρίας: Θεώρημα Ενδιάμεσων Τιμών

Η εικόνα συνεχούς συνάρτησης σε διάστημα

Σύνολο τιμών με μονοτονία + όρια

Μεθοδολογία

Μέθοδος: πλήθος ριζών της εξίσωσης f(x)=kf(x) = kf(x)=k

Μέθοδος: πλήθος ριζών της εξίσωσης $f(x) = k$

Μέθοδος: πλήθος ριζών της εξίσωσης $f(x) = k$