📉

Παράγωγος & Εφαπτομένη

Ορισμός, γεωμετρική ερμηνεία, κανόνες

Γιατί με νοιάζει;

Όταν στριφογυρίζεις μια πέτρα με σφεντόνα και την αφήνεις, δεν φεύγει «ευθεία προς τα έξω». Φεύγει κατά την εφαπτομένη της τροχιάς της. Για να βρεις αυτή την ευθεία χρειάζεσαι την κλίση της καμπύλης σε ένα σημείο: την παράγωγο.

Ό,τι έμαθες για τα όρια γίνεται τώρα εργαλείο: εφαπτομένες, ρυθμοί μεταβολής, μονοτονία, ακρότατα. Είναι η ραχοκοκαλιά των Θεμάτων Β και Γ.

Ο ορισμός της παραγώγου

Η παράγωγος της $f$ στο $x_0$ είναι το όριο (αν υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός):

$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$

Γεωμετρική ερμηνεία

Το πηλίκο $\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ είναι η κλίση της τέμνουσας. Καθώς $h \to 0$ , η τέμνουσα γίνεται εφαπτομένη — και η $f'(x_0)$ είναι η κλίση της.

Ισοδύναμη μορφή του ορισμού: $f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ . Γενικότερα, η παράγωγος εκφράζει ρυθμό μεταβολής (π.χ. στιγμιαία ταχύτητα).

Ήξερες ότι;

Οι συμβολισμοί της παραγώγου κουβαλούν ιστορία. Το $\frac{dy}{dx}$ είναι του Leibniz, ενώ ο Νεύτωνας σημείωνε μια τελεία πάνω από το γράμμα. Οι δυο τους ανακάλυψαν τον Απειροστικό Λογισμό ανεξάρτητα και ακολούθησε σφοδρή διαμάχη για την προτεραιότητα. Το $f'(x)$ με τον «τόνο» το καθιέρωσε αργότερα ο Lagrange, στα τέλη του 18ου αιώνα.

Απόδειξη θεωρίας: παραγωγίσιμη ⇒ συνεχής

Θεώρημα. Αν μια συνάρτηση $f$ είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο $x_0$ , τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.

Απόδειξη. Για $x \neq x_0$ γράφουμε

$f(x) - f(x_0) = \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \cdot (x - x_0)$

Επειδή η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $x_0$ , το κλάσμα έχει όριο τον πραγματικό αριθμό $f'(x_0)$ , ενώ $\lim_{x \to x_0} (x - x_0) = 0$ . Επομένως

$\lim_{x \to x_0} [f(x) - f(x_0)] = f'(x_0) \cdot 0 = 0$

δηλαδή $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$ , οπότε η $f$ είναι συνεχής στο $x_0$ . ∎

Το αντίστροφο δεν ισχύει. Η $f(x) = |x|$ είναι συνεχής στο $0$ , όμως

$\lim_{x \to 0^-} \frac{|x| - 0}{x - 0} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-x}{x} = -1, \qquad \lim_{x \to 0^+} \frac{|x| - 0}{x - 0} = 1$

οπότε το όριο του λόγου μεταβολής δεν υπάρχει και η $f$ δεν είναι παραγωγίσιμη στο $0$ .

Ισοδύναμη μορφή (πολύ χρήσιμη): αν η $f$ δεν είναι συνεχής στο $x_0$ , τότε δεν είναι παραγωγίσιμη στο $x_0$ .

Γρήγορος έλεγχος

Στην απόδειξη «παραγωγίσιμη ⇒ συνεχής» γράφουμε $f(x) - f(x_0) = \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \cdot (x - x_0)$ . Γιατί το όριο του δεξιού μέλους είναι $0$ ;

\lambda = \frac{f(1+h)-f(1)}{h} = 3.40

h = 1.40

Σύρε το h προς το 0: η τέμνουσα πλησιάζει την εφαπτομένη.

Σύρε το h προς το 0 και δες την τέμνουσα να γίνεται εφαπτομένη.

$\text{Εφαπτομένη στο } A(x_0, f(x_0)): \quad y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$

Βασικοί κανόνες παραγώγισης

$(x^\nu)' = \nu x^{\nu - 1}$ , $(c)' = 0$
$(\eta\mu x)' = \sigma\upsilon\nu x$ , $(\sigma\upsilon\nu x)' = -\eta\mu x$
$(e^x)' = e^x$ , $(\ln x)' = \frac{1}{x}$
$(f \cdot g)' = f'g + fg'$ , $\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$
Σύνθεση (κανόνας αλυσίδας): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

$(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \qquad (\varepsilon\varphi x)' = \frac{1}{\sigma\upsilon\nu^2 x} \qquad (\alpha^x)' = \alpha^x \ln\alpha \qquad (x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha - 1} \qquad (\ln|x|)' = \frac{1}{x}$

Κόλπο μνήμης

Πηλίκο: «παράγωγος του πάνω επί τον κάτω, μείον ο πάνω επί την παράγωγο του κάτω, όλα διά τον κάτω στο τετράγωνο»: $\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$ . Το μείον κάνει τη σειρά να μετράει: ξεκινάς πάντα από την $f'$ .
Αλυσίδα: «από έξω προς τα μέσα». Παραγώγισε την εξωτερική αφήνοντας το «εσωτερικό» ίδιο, και πολλαπλασίασε με την παράγωγο του εσωτερικού.

Αποδείξεις θεωρίας: βασικές παράγωγοι από τον ορισμό

1. $(c)' = 0$ και $(x)' = 1$ . Για $f(x) = c$ : $\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \frac{c - c}{x - x_0} = 0 \to 0$ . Για $f(x) = x$ : $\frac{x - x_0}{x - x_0} = 1 \to 1$ .

2. $(x^\nu)' = \nu x^{\nu - 1}$ , $\nu \in \mathbb{N}$ , $\nu \ge 2$ . Για $x \neq x_0$ , από την ταυτότητα $x^\nu - x_0^\nu = (x - x_0)(x^{\nu - 1} + x^{\nu - 2} x_0 + \dots + x_0^{\nu - 1})$ :

$\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = x^{\nu - 1} + x^{\nu - 2} x_0 + \dots + x_0^{\nu - 1}$

Το δεξί μέλος έχει $\nu$ όρους και καθένας τείνει στο $x_0^{\nu - 1}$ όταν $x \to x_0$ . Άρα $f'(x_0) = \nu x_0^{\nu - 1}$ .

3. $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ , $x > 0$ . Για $x_0 > 0$ και $x \ge 0$ , $x \neq x_0$ :

$\frac{\sqrt{x} - \sqrt{x_0}}{x - x_0} = \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{x_0})(\sqrt{x} + \sqrt{x_0})}{(x - x_0)(\sqrt{x} + \sqrt{x_0})} = \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x_0}} \to \frac{1}{2\sqrt{x_0}}$

Στο $x_0 = 0$ όμως $\frac{\sqrt{x} - 0}{x - 0} = \frac{1}{\sqrt{x}} \to +\infty$ για $x \to 0^+$ , άρα η $\sqrt{x}$ δεν είναι παραγωγίσιμη στο $0$ .

Αποδείξεις θεωρίας: παράγωγοι μέσω κανόνων

4. $(f + g)' = f' + g'$ . Για $x \neq x_0$ : $\frac{(f + g)(x) - (f + g)(x_0)}{x - x_0} = \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} + \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} \to f'(x_0) + g'(x_0)$ .

5. $(x^{-\nu})' = -\nu x^{-\nu - 1}$ , $x \neq 0$ . Με τον κανόνα του πηλίκου: $\left(\frac{1}{x^\nu}\right)' = \frac{0 \cdot x^\nu - 1 \cdot \nu x^{\nu - 1}}{x^{2\nu}} = -\frac{\nu x^{\nu - 1}}{x^{2\nu}} = -\nu x^{-\nu - 1}$ .

6. $(\varepsilon\varphi x)' = \frac{1}{\sigma\upsilon\nu^2 x}$ , όπου $\sigma\upsilon\nu x \neq 0$ .

$\left(\frac{\eta\mu x}{\sigma\upsilon\nu x}\right)' = \frac{\sigma\upsilon\nu x \cdot \sigma\upsilon\nu x - \eta\mu x \cdot (-\eta\mu x)}{\sigma\upsilon\nu^2 x} = \frac{\sigma\upsilon\nu^2 x + \eta\mu^2 x}{\sigma\upsilon\nu^2 x} = \frac{1}{\sigma\upsilon\nu^2 x}$

7. $(x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha - 1}$ , $x > 0$ , $\alpha \in \mathbb{R}$ . Γράφουμε $x^\alpha = e^{\alpha \ln x}$ και με κανόνα αλυσίδας: $(e^{\alpha \ln x})' = e^{\alpha \ln x} \cdot \frac{\alpha}{x} = x^\alpha \cdot \frac{\alpha}{x} = \alpha x^{\alpha - 1}$ .

8. $(\alpha^x)' = \alpha^x \ln\alpha$ , $\alpha > 0$ . Είναι $\alpha^x = e^{x \ln\alpha}$ , άρα $(\alpha^x)' = e^{x \ln\alpha} \cdot \ln\alpha = \alpha^x \ln\alpha$ .

9. $(\ln|x|)' = \frac{1}{x}$ , $x \neq 0$ . Για $x > 0$ είναι $(\ln x)' = \frac{1}{x}$ . Για $x < 0$ είναι $\ln|x| = \ln(-x)$ και $(\ln(-x))' = \frac{1}{-x} \cdot (-1) = \frac{1}{x}$ .

Γρήγορος έλεγχος

Ποια είναι η παράγωγος της $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ ;

Γρήγορος έλεγχος

Ποια είναι η παράγωγος της $f(x) = 2^x$ ;

Μέθοδος: εξίσωση εφαπτομένης

Η εφαπτομένη στο $A(x_0, f(x_0))$ είναι $y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$ — άρα χρειάζεσαι πάντα το σημείο επαφής $x_0$ . Τρεις περιπτώσεις:

Δίνεται το $x_0$ : υπολόγισε $f(x_0)$ , $f'(x_0)$ και αντικατάστησε.
Δίνεται η κλίση $\lambda$ (π.χ. παράλληλη στην $y = \lambda x + \beta$ , ή κάθετη σε ευθεία κλίσης $\mu \ne 0$ , οπότε $\lambda = -\frac{1}{\mu}$ ): λύσε την εξίσωση $f'(x_0) = \lambda$ .
Δίνεται σημείο $M(\alpha, \beta)$ εκτός της $C_f$ από το οποίο διέρχεται: γράψε την εφαπτομένη στο άγνωστο $x_0$ και απαίτησε να την επαληθεύουν οι συντεταγμένες του $M$ — προκύπτει εξίσωση με άγνωστο το $x_0$ .

Παράδειγμα: Για $f(x) = x^2$ στο $x_0 = 1$ : $f'(x) = 2x$ , άρα $f'(1) = 2$ . Εφαπτομένη: $y - 1 = 2(x - 1) \Rightarrow y = 2x - 1$ .

Γρήγορος έλεγχος

Ποια είναι η εφαπτομένη της $C_f$ της $f(x) = \ln x$ στο σημείο $A(1, 0)$ ;

Άσκηση: Να βρεθούν οι εφαπτομένες της $f(x) = x^3 - 3x$ που είναι παράλληλες στην ευθεία $y = 9x + 1$ .

Λύση: Παράλληλες ευθείες έχουν ίσες κλίσεις, άρα ζητάμε $f'(x_0) = 9$ . Είναι $f'(x) = 3x^2 - 3$ , οπότε $3x_0^2 - 3 = 9 \Rightarrow x_0^2 = 4 \Rightarrow x_0 = \pm 2$ . Για $x_0 = 2$ : $f(2) = 2$ και εφαπτομένη $y - 2 = 9(x - 2) \Rightarrow y = 9x - 16$ . Για $x_0 = -2$ : $f(-2) = -2$ και εφαπτομένη $y + 2 = 9(x + 2) \Rightarrow y = 9x + 16$ .

Παράδειγμα (εφαπτομένη από εξωτερικό σημείο): Να βρεθούν οι εφαπτομένες της $C_f$ της $f(x) = x^2$ που διέρχονται από το $M(1, -3)$ .

Λύση: Το $M$ δεν ανήκει στη $C_f$ ( $1^2 \neq -3$ ), άρα δεν είναι σημείο επαφής. Εφαπτομένη σε άγνωστο $x_0$ :

$y - x_0^2 = 2x_0 (x - x_0) \iff y = 2x_0 x - x_0^2$

Διέρχεται από το $M(1, -3)$ : $-3 = 2x_0 - x_0^2 \iff x_0^2 - 2x_0 - 3 = 0 \iff (x_0 - 3)(x_0 + 1) = 0$ .

$x_0 = 3$ : $y = 6x - 9$
$x_0 = -1$ : $y = -2x - 1$

Έλεγχος στο $M$ : $6 - 9 = -3$ ✓ και $-2 - 1 = -3$ ✓

Θέμα τύπου Πανελλαδικών (Θέμα Β): Δίνεται $f(x) = \begin{cases} x^2 + \alpha x, & x \le 1 \\ \beta \ln x + 3, & x > 1 \end{cases}$ . Να βρεθούν τα $\alpha, \beta$ ώστε η $f$ να είναι παραγωγίσιμη στο $x_0 = 1$ .

Λύση: Παραγωγίσιμη ⇒ συνεχής, άρα πρώτα συνέχεια στο $1$ : $f(1) = 1 + \alpha = \lim_{x \to 1^-} f(x)$ και $\lim_{x \to 1^+} (\beta \ln x + 3) = 3$ . Άρα $1 + \alpha = 3 \iff \alpha = 2$ και $f(1) = 3$ .

Παραγωγισιμότητα (με τον ορισμό, γιατί ο τύπος αλλάζει στο $1$ ):

$\lim_{x \to 1^-} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^-} \frac{x^2 + 2x - 3}{x - 1} = \lim_{x \to 1^-} \frac{(x - 1)(x + 3)}{x - 1} = 4$

$\lim_{x \to 1^+} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{\beta \ln x}{x - 1} = \beta \cdot 1 = \beta$

αφού $\lim_{x \to 1} \frac{\ln x - \ln 1}{x - 1} = (\ln x)'\big|_{x = 1} = 1$ . Τα πλευρικά όρια πρέπει να είναι ίσα: $\beta = 4$ .

Απάντηση: $\alpha = 2$ , $\beta = 4$ και τότε $f'(1) = 4$ .

Κλασικό Σωστό/Λάθος: παραγωγισιμότητα ⇒ συνέχεια, αλλά ΟΧΙ αντίστροφα — κράτα έτοιμο το αντιπαράδειγμα $f(x) = |x|$ , συνεχή στο 0 αλλά μη παραγωγίσιμη εκεί. Και σε εφαπτομένες: «παράλληλη σε ευθεία» σημαίνει εξίσωση $f'(x_0) = \lambda$ .

Γρήγορος έλεγχος

Ποια πρόταση για μια συνάρτηση $f$ και ένα σημείο $x_0$ του πεδίου ορισμού της είναι ΣΩΣΤΗ;

Πρόκληση

Η $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ικανοποιεί

$f(x + y) = f(x) + f(y) + 2xy \quad \text{για κάθε } x, y \in \mathbb{R}$

και είναι παραγωγίσιμη στο $0$ με $f'(0) = 3$ .

(α) Να βρείτε το $f(0)$ .

(β) Να δείξετε ότι η $f$ είναι παραγωγίσιμη σε κάθε $x \in \mathbb{R}$ και να βρείτε την $f'(x)$ .

(γ) Να βρείτε την εφαπτομένη της $C_f$ στο $O(0, 0)$ και το σημείο στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη στην $y = 7x$ .

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

(α) Για $x = y = 0$ : $f(0) = 2 f(0)$ , άρα $f(0) = 0$ .

(β) Σταθεροποιούμε $x$ και βάζουμε $y = h \neq 0$ :

$\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \frac{f(h) + 2xh}{h} = \frac{f(h) - f(0)}{h} + 2x$

(χρησιμοποιήσαμε $f(0) = 0$ ). Όταν $h \to 0$ , το κλάσμα τείνει στο $f'(0) = 3$ . Άρα η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $x$ με $f'(x) = 2x + 3$ .

(γ) Στο $O$ : $f(0) = 0$ και $f'(0) = 3$ , άρα $y = 3x$ . Για παραλληλία με την $y = 7x$ : $f'(x) = 7 \iff 2x + 3 = 7 \iff x = 2$ .

Η «στροφή»: παραγωγισιμότητα σε ένα σημείο συν μια συναρτησιακή σχέση «μεταφέρει» την παραγωγισιμότητα παντού. (Στις Συνέπειες του Θ.Μ.Τ. θα δεις ότι τότε αναγκαστικά $f(x) = x^2 + 3x$ .)

Συνηθισμένα λάθη

$(e^{g(x)})' = e^{g(x)}$ ή $(\ln g(x))' = \frac{1}{g(x)}$ : ξεχασμένος παράγοντας $g'(x)$ του κανόνα αλυσίδας.
Σε κλαδική, παραγωγίζεις τους κλάδους και εξισώνεις τις παραγώγους στο σημείο αλλαγής χωρίς έλεγχο συνέχειας. Στο σημείο αλλαγής δουλεύεις με τον ορισμό (πλευρικά όρια του λόγου μεταβολής), αφού πρώτα εξασφαλίσεις συνέχεια.
Εφαπτομένη από εξωτερικό σημείο $M(\alpha, \beta)$ : βάζεις $x_0 = \alpha$ . Το $M$ δεν είναι σημείο επαφής.
$(fg)' = f'g'$ ή $\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'}{g'}$ : λάθος — γράψε πάντα τον πλήρη κανόνα.

Σύνοψη — τι κρατάμε

$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ = κλίση της εφαπτομένης στο $A(x_0, f(x_0))$ .
Εφαπτομένη: $y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$ · παράλληλη σε ευθεία κλίσης $\lambda$ ⇔ $f'(x_0) = \lambda$ .
Παραγωγίσιμη ⇒ συνεχής (απόδειξη με $\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \cdot (x - x_0)$ )· όχι αντίστροφα: $|x|$ στο $0$ .
$(x^\nu)' = \nu x^{\nu - 1}$ , $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ , $(\alpha^x)' = \alpha^x \ln\alpha$ , $(\ln|x|)' = \frac{1}{x}$ , $(\varepsilon\varphi x)' = \frac{1}{\sigma\upsilon\nu^2 x}$ .
$(fg)' = f'g + fg'$ , $\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$ , $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \, g'(x)$ .