⚙️

Πράξεις & Σύνθεση Συναρτήσεων

Πεδίο ορισμού, ισότητα, πράξεις και η σύνθεση g∘f βήμα-βήμα

Γιατί με νοιάζει;

Ένα e-shop κάνει έκπτωση $20\%$ και χρεώνει $5$ € μεταφορικά. Έχει σημασία η σειρά; Για προϊόν $100$ €:

πρώτα έκπτωση, μετά μεταφορικά: $0{,}8 \cdot 100 + 5 = 85$ €
πρώτα μεταφορικά, μετά έκπτωση: $0{,}8 \cdot (100 + 5) = 84$ €

Δύο «μηχανές» στη σειρά είναι μια σύνθεση, και η σειρά μετράει. Θα τη χρειαστείς παντού στη Γ΄ Λυκείου: στον κανόνα της αλυσίδας, στην αντίστροφη συνάρτηση, στα όρια με αλλαγή μεταβλητής.

Η συνάρτηση ως «μηχανή»

Σκέψου τη συνάρτηση $f$ σαν μια μηχανή: ρίχνεις μέσα έναν αριθμό $x$ , η μηχανή τον επεξεργάζεται και βγάζει ακριβώς έναν αριθμό $f(x)$ . Το πεδίο ορισμού $A$ είναι η λίστα με τα «επιτρεπτά υλικά» — οι τιμές του $x$ που η μηχανή δέχεται χωρίς να «μπλοκάρει».

Για να βρεις το ΠΟ από τον τύπο, εντοπίζεις τι θα χαλούσε τη μηχανή:

Ρητές $\frac{P(x)}{Q(x)}$ : απαιτείς $Q(x) \neq 0$ (διαίρεση με το μηδέν απαγορεύεται)
Ριζικές $\sqrt{g(x)}$ : απαιτείς $g(x) \geq 0$
Λογαριθμικές $\ln g(x)$ : απαιτείς $g(x) > 0$ (αυστηρά!)

Αν ο τύπος συνδυάζει περισσότερα από ένα «ευαίσθητα σημεία», παίρνεις την τομή όλων των περιορισμών — πρέπει να ικανοποιούνται ταυτόχρονα.

$\frac{1}{Q(x)}: \; Q(x) \neq 0 \qquad \sqrt{g(x)}: \; g(x) \geq 0 \qquad \ln g(x): \; g(x) > 0$

Γρήγορος έλεγχος

Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της $f(x) = \dfrac{\sqrt{x - 2}}{x - 3}$ ;

Γραφικές παραστάσεις από γνωστές

Από τη $C_f$ παίρνουμε χωρίς υπολογισμούς:

$C_{-f}$ : συμμετρική της $C_f$ ως προς τον άξονα $x'x$
$C_{|f|}$ : τα τμήματα της $C_f$ πάνω από τον $x'x$ μένουν ίδια, ενώ τα τμήματα κάτω από τον $x'x$ «καθρεφτίζονται» προς τα πάνω
$C_{f(x) + c}$ με $c > 0$ : μετατόπιση κατά $c$ προς τα πάνω· $C_{f(x - c)}$ : μετατόπιση κατά $c$ προς τα δεξιά
$C_{f(-x)}$ : συμμετρική της $C_f$ ως προς τον άξονα $y'y$

Αν η $f$ είναι άρτια ( $f(-x) = f(x)$ ) η $C_f$ είναι συμμετρική ως προς τον $y'y$ , ενώ αν είναι περιττή ( $f(-x) = -f(x)$ ) είναι συμμετρική ως προς την αρχή $O$ .

Ισότητα και πράξεις συναρτήσεων

Δύο συναρτήσεις $f, g$ λέγονται ίσες όταν έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού $A$ και $f(x) = g(x)$ για κάθε $x \in A$ . Ο ίδιος τύπος ΔΕΝ αρκεί: οι $f(x) = x$ με ΠΟ το $\mathbb{R}$ και $g(x) = \frac{x^2}{x}$ με ΠΟ το $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ δεν είναι ίσες, γιατί ζουν σε διαφορετικά «σπίτια».

Αν οι $f, g$ έχουν πεδία ορισμού $A, B$ με $A \cap B \neq \varnothing$ , ορίζονται:

$(f + g)(x) = f(x) + g(x)$ και $(f \cdot g)(x) = f(x) g(x)$ , με ΠΟ το $A \cap B$
$\left( \dfrac{f}{g} \right)(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}$ , με ΠΟ το $A \cap B$ αφαιρώντας τα $x$ με $g(x) = 0$

Π.χ. για $f(x) = \sqrt{x}$ (ΠΟ $[0, +\infty)$ ) και $g(x) = \sqrt{1 - x}$ (ΠΟ $(-\infty, 1]$ ): η $f + g$ ορίζεται στο $[0, 1]$ , ενώ η $\frac{f}{g}$ στο $[0, 1)$ , αφού $g(1) = 0$ .

Γρήγορος έλεγχος

Οι συναρτήσεις $f(x) = \ln(x^2)$ και $g(x) = 2 \ln x$ είναι ίσες;

Ήξερες ότι;

Τον όρο «συνάρτηση» (λατινικά functio) τον έφερε στα μαθηματικά ο Leibniz στα τέλη του 17ου αιώνα. Ο συμβολισμός $f(x)$ που γράφεις κάθε μέρα οφείλεται στον Leonhard Euler (1734). Πριν από αυτόν, οι μαθηματικοί περιέγραφαν τις εξαρτήσεις με λόγια ή με σχήματα.

Σύνθεση: δύο μηχανές στη σειρά

Η σύνθεση $g \circ f$ είναι δύο μηχανές κολλημένες σε αλυσίδα παραγωγής: ό,τι βγάζει η $f$ μπαίνει αμέσως στην $g$ :

$(g \circ f)(x) = g(f(x))$

Διαβάζεται «από μέσα προς τα έξω»: πρώτα δρα η $f$ (η εσωτερική), μετά η $g$ (η εξωτερική).

Πεδίο ορισμού της $g \circ f$ : το $x$ πρέπει (α) να γίνεται δεκτό από την πρώτη μηχανή, δηλαδή $x \in A_f$ , και (β) το προϊόν $f(x)$ να γίνεται δεκτό από τη δεύτερη, δηλαδή $f(x) \in A_g$ :

$A_{g \circ f} = \{ x \in A_f : f(x) \in A_g \}$

Η σύνθεση ορίζεται μόνο αν αυτό το σύνολο είναι μη κενό. Και προσοχή: γενικά $g \circ f \neq f \circ g$ — η σειρά των μηχανών μετράει.

Κόλπο μνήμης

Το $g \circ f$ διαβάζεται από δεξιά προς τα αριστερά: «πρώτα $f$ , μετά $g$ ». Κοίτα το $g(f(x))$ : η $f$ «ακουμπά» το $x$ , άρα δουλεύει πρώτη. Γι' αυτό και το ΠΟ ξεκινά από τη $D_f$ .

Σύρε το x και παρακολούθησε την αλυσίδα: το x περνά πρώτα από την εσωτερική συνάρτηση και η έξοδός της τροφοδοτεί τη δεύτερη. Θα ανακαλύψεις ότι η τελική τιμή αλλάζει «σε δύο σκαλοπάτια» — και ότι αν αντιστρέψεις τη σειρά, το αποτέλεσμα είναι εντελώς διαφορετικό.

Μέθοδος: πεδίο ορισμού και τύπος της $g \circ f$

Βρες τα πεδία ορισμού $A_f$ και $A_g$ .
Γράψε τους περιορισμούς: $x \in A_f$ και $f(x) \in A_g$ , και λύσε το σύστημα.
Αν το σύνολο που βρήκες είναι κενό, η $g \circ f$ δεν ορίζεται.
Τύπος: στη θέση του $x$ της $g$ βάλε ολόκληρη την $f(x)$ : $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ .
Γράψε τον τύπο μαζί με το πεδίο ορισμού — χωρίς αυτό η απάντηση είναι ελλιπής.

Παράδειγμα (τύπου εξετάσεων): Δίνονται $f(x) = \sqrt{x}$ και $g(x) = x - 1$ . Να οριστούν οι $f \circ g$ και $g \circ f$ .

Για την $f \circ g$ : $A_g = \mathbb{R}$ , $A_f = [0, +\infty)$ . Απαιτούμε $x \in \mathbb{R}$ και $g(x) \in [0, +\infty)$ , δηλαδή $x - 1 \geq 0 \iff x \geq 1$ .

$(f \circ g)(x) = f(x - 1) = \sqrt{x - 1}, \quad x \in [1, +\infty)$

Για την $g \circ f$ : Απαιτούμε $x \in [0, +\infty)$ και $f(x) = \sqrt{x} \in \mathbb{R}$ , που ισχύει πάντα.

$(g \circ f)(x) = g(\sqrt{x}) = \sqrt{x} - 1, \quad x \in [0, +\infty)$

Διαφορετικοί τύποι ΚΑΙ διαφορετικά πεδία ορισμού — η σύνθεση δεν είναι αντιμεταθετική.

Θέμα τύπου Πανελλαδικών (Θέμα Β): Δίνονται $f(x) = \sqrt{x}$ και $g(x) = \ln(2 - x)$ . Να οριστούν οι $g \circ f$ και $f \circ g$ .

Λύση: $A_f = [0, +\infty)$ και $A_g = (-\infty, 2)$ .

Για την $g \circ f$ : $x \ge 0$ και $f(x) \in A_g \iff \sqrt{x} < 2 \iff x < 4$ . Άρα $A_{g \circ f} = [0, 4)$ και

$(g \circ f)(x) = \ln\left(2 - \sqrt{x}\right), \quad x \in [0, 4)$

Για την $f \circ g$ : $x < 2$ και $g(x) \in A_f \iff \ln(2 - x) \ge 0 \iff 2 - x \ge 1 \iff x \le 1$ . Άρα $A_{f \circ g} = (-\infty, 1]$ και

$(f \circ g)(x) = \sqrt{\ln(2 - x)}, \quad x \in (-\infty, 1]$

Έλεγχος: $(f \circ g)(1) = \sqrt{\ln 1} = 0$ ✓

Παράδειγμα (βρίσκω την $f$ από την $f(g(x))$ ):

(α) $f(2x + 1) = x^2$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ . Θέτουμε $u = 2x + 1 \iff x = \frac{u - 1}{2}$ · καθώς το $x$ διατρέχει το $\mathbb{R}$ , το ίδιο κάνει και το $u$ . Άρα $f(u) = \frac{(u - 1)^2}{4}$ , δηλαδή $f(x) = \frac{(x - 1)^2}{4}$ , $x \in \mathbb{R}$ .

(β) $f(e^x) = x + 1$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ . Θέτουμε $u = e^x > 0 \iff x = \ln u$ . Άρα $f(u) = \ln u + 1$ , δηλαδή $f(x) = \ln x + 1$ με πεδίο ορισμού το $(0, +\infty)$ — όσες τιμές παίρνει το $e^x$ .

Επαλήθευση (β): $f(e^0) = f(1) = \ln 1 + 1 = 1 = 0 + 1$ ✓

Γρήγορος έλεγχος

Αν $f(x) = \ln x$ και $g(x) = x^2 + 1$ , ποιο είναι το πεδίο ορισμού της $f \circ g$ ;

Γρήγορος έλεγχος

Η $h(x) = \sqrt{e^x + 1}$ γράφεται ως $h = g \circ f$ με:

Γρήγορος έλεγχος

Αν $f(x + 1) = x^2 + 2x$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ , ποια είναι η $f$ ;

Στις Πανελλήνιες το ΠΟ της σύνθεσης βρίσκεται ΠΡΙΝ γράψεις τον τελικό τύπο — αν απλοποιήσεις πρώτα, μπορεί να «χαθούν» περιορισμοί (π.χ. το $\sqrt{x^2} = |x|$ κρύβει ότι ξεκίνησες από ρίζα). Δούλεψε πάντα με τη σχέση $x \in A_f$ ΚΑΙ $f(x) \in A_g$ . Η αναγνώριση σύνθεσης είναι και το κλειδί για τον κανόνα αλυσίδας στο Κεφ. 2: στην $h(x) = e^{x^2}$ δες αμέσως εξωτερική $e^u$ και εσωτερική $u = x^2$ . Τέλος, σε ασκήσεις «βρείτε την $f$ ώστε $f(g(x)) = \ldots$ », θέσε $u = g(x)$ , λύσε ως προς $x$ και αντικατάστησε.

Πρόκληση

Δίνεται $f(x) = \dfrac{x + 1}{x - 1}$ , $x \neq 1$ .

(α) Να βρείτε τη $f \circ f$ (πεδίο ορισμού και τύπο).

(β) Εφαρμόζουμε την $f$ στο $3$ , μετά στο αποτέλεσμα, και ούτω καθεξής, συνολικά $2025$ φορές. Ποιος αριθμός προκύπτει;

(γ) Να λύσετε την εξίσωση $f(f(x)) = x^2$ .

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

(α) Πρέπει $x \neq 1$ και $f(x) \neq 1$ . Όμως $f(x) = 1 \iff x + 1 = x - 1 \iff 1 = -1$ , αδύνατο. Άρα $D_{f \circ f} = \mathbb{R} \setminus \{1\}$ και

$f(f(x)) = \frac{\frac{x + 1}{x - 1} + 1}{\frac{x + 1}{x - 1} - 1} = \frac{\frac{2x}{x - 1}}{\frac{2}{x - 1}} = x$

Η $f$ «ακυρώνει» τον εαυτό της: είναι αντίστροφη του εαυτού της, $f^{-1} = f$ .

(β) Κάθε δύο εφαρμογές αλληλοεξουδετερώνονται. Αφού $2025 = 2 \cdot 1012 + 1$ , μένει μία εφαρμογή: $f(3) = \frac{4}{2} = 2$ . (Οι τιμές εναλλάσσονται $3 \to 2 \to 3 \to \dots$ , ποτέ $1$ , άρα όλα ορίζονται.)

(γ) Για $x \neq 1$ : $x = x^2 \iff x(x - 1) = 0 \iff x = 0$ ή $x = 1$ . Το $x = 1$ απορρίπτεται, γιατί δεν ανήκει στο ΠΟ. Μοναδική λύση $x = 0$ .

Η «στροφή»: ο απλοποιημένος τύπος $f(f(x)) = x$ «ξεχνά» τον περιορισμό $x \neq 1$ . Αν δεν είχες βρει πρώτα το ΠΟ, θα κρατούσες λάθος λύση.

Συνηθισμένα λάθη

Απλοποιείς τον τύπο πριν βρεις το ΠΟ: η $(\sqrt{x})^2$ «γίνεται» $x$ , αλλά ορίζεται μόνο για $x \ge 0$ — αν γράψεις ΠΟ το $\mathbb{R}$ , χάνεις τον περιορισμό.
Αντιστρέφεις τη σειρά: $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ , άρα πρώτα δρα η $f$ .
Συγχέεις $(f \cdot g)(x) = f(x) g(x)$ με $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ .
Κρίνεις ισότητα συναρτήσεων μόνο από τους τύπους, χωρίς να συγκρίνεις πεδία ορισμού.

Σύνοψη — τι κρατάμε

ΠΟ από τον τύπο: παρονομαστής $\neq 0$ , υπόρριζο $\ge 0$ , όρισμα λογαρίθμου $> 0$ — τομή όλων.
Ίσες συναρτήσεις: ίδιο ΠΟ και ίδιες τιμές σε κάθε σημείο του.
$f \pm g$ , $f g$ : ΠΟ $A \cap B$ · $\frac{f}{g}$ : επιπλέον $g(x) \neq 0$ .
$A_{g \circ f} = \{x \in A_f : f(x) \in A_g\}$ · γενικά $g \circ f \neq f \circ g$ .
$C_{-f}$ : συμμετρική ως προς $x'x$ · $C_{|f|}$ : «αναδίπλωση» των τμημάτων κάτω από τον $x'x$ .

Η συνάρτηση ως «μηχανή»

Σκέψου τη συνάρτηση

f

σαν μια μηχανή: ρίχνεις μέσα έναν αριθμό

x

, η μηχανή τον επεξεργάζεται και βγάζει ακριβώς έναν αριθμό

f(x)

. Το πεδίο ορισμού

A

είναι η λίστα με τα «επιτρεπτά υλικά» — οι τιμές του

x

που η μηχανή δέχεται χωρίς να «μπλοκάρει».

Για να βρεις το ΠΟ από τον τύπο, εντοπίζεις τι θα χαλούσε τη μηχανή:

Ρητές

\frac{P(x)}{Q(x)}

: απαιτείς

Q(x) \neq 0

(διαίρεση με το μηδέν απαγορεύεται)

Ριζικές

\sqrt{g(x)}

: απαιτείς

g(x) \geq 0

Λογαριθμικές

\ln g(x)

: απαιτείς

g(x) > 0

(αυστηρά!)

Ισότητα και πράξεις συναρτήσεων

Δύο συναρτήσεις

f, g

λέγονται ίσες όταν έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού

A

και

f(x) = g(x)

για κάθε

x \in A

. Ο ίδιος τύπος ΔΕΝ αρκεί: οι

f(x) = x

με ΠΟ το

\mathbb{R}

και

g(x) = \frac{x^2}{x}

με ΠΟ το

\mathbb{R} \setminus \{0\}

δεν είναι ίσες, γιατί ζουν σε διαφορετικά «σπίτια».

Αν οι

f, g

έχουν πεδία ορισμού

A, B

με

A \cap B \neq \varnothing

, ορίζονται:

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

και

(f \cdot g)(x) = f(x) g(x)

, με ΠΟ το

A \cap B

\left( \dfrac{f}{g} \right)(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}

, με ΠΟ το

A \cap B

αφαιρώντας τα

x

με

g(x) = 0

Π.χ. για

f(x) = \sqrt{x}

(ΠΟ

[0, +\infty)

) και

g(x) = \sqrt{1 - x}

(ΠΟ

(-\infty, 1]

): η

f + g

ορίζεται στο

[0, 1]

, ενώ η

\frac{f}{g}

στο

[0, 1)

, αφού

g(1) = 0

Σύνθεση: δύο μηχανές στη σειρά

Η σύνθεση

g \circ f

είναι δύο μηχανές κολλημένες σε αλυσίδα παραγωγής: ό,τι βγάζει η

f

μπαίνει αμέσως στην

g

(g \circ f)(x) = g(f(x))

Διαβάζεται «από μέσα προς τα έξω»: πρώτα δρα η

f

(η εσωτερική), μετά η

g

(η εξωτερική).

Πεδίο ορισμού της $g \circ f$ : το

x

πρέπει (α) να γίνεται δεκτό από την πρώτη μηχανή, δηλαδή

x \in A_f

, και (β) το προϊόν

f(x)

να γίνεται δεκτό από τη δεύτερη, δηλαδή

f(x) \in A_g

A_{g \circ f} = \{ x \in A_f : f(x) \in A_g \}

Η σύνθεση ορίζεται μόνο αν αυτό το σύνολο είναι μη κενό. Και προσοχή: γενικά

g \circ f \neq f \circ g

— η σειρά των μηχανών μετράει.

Πράξεις & Σύνθεση Συναρτήσεων

Η συνάρτηση ως «μηχανή»

Γραφικές παραστάσεις από γνωστές

Ισότητα και πράξεις συναρτήσεων

Σύνθεση: δύο μηχανές στη σειρά

Μέθοδος: πεδίο ορισμού και τύπος της g∘fg \circ fg∘f

Πράξεις & Σύνθεση Συναρτήσεων

Η συνάρτηση ως «μηχανή»

Γραφικές παραστάσεις από γνωστές

Ισότητα και πράξεις συναρτήσεων

Σύνθεση: δύο μηχανές στη σειρά

Μέθοδος: πεδίο ορισμού και τύπος της g∘fg \circ fg∘f

Μέθοδος: πεδίο ορισμού και τύπος της $g \circ f$

Μέθοδος: πεδίο ορισμού και τύπος της $g \circ f$