♾️

Όρια Συναρτήσεων

Έννοια ορίου, πλευρικά όρια, ιδιότητες

Γιατί με νοιάζει;

Πόση είναι η ταχύτητα ενός αυτοκινήτου ακριβώς τη στιγμή που περνά από το ραντάρ; Σε μηδενικό χρόνο διανύει μηδενική απόσταση, και το $\frac{0}{0}$ δεν λέει τίποτα.

Η απάντηση είναι ένα όριο: μετράς τη μέση ταχύτητα σε όλο και μικρότερα χρονικά διαστήματα και βλέπεις πού «καταλήγει». Αυτή η ιδέα είναι το θεμέλιο όλης της Ανάλυσης: παράγωγοι, συνέχεια και ολοκληρώματα ορίζονται με όρια.

Η έννοια του ορίου

Γράφουμε $\lim_{x \to x_0} f(x) = \ell$ όταν, καθώς το $x$ πλησιάζει το $x_0$ (από οπουδήποτε), οι τιμές $f(x)$ πλησιάζουν όσο θέλουμε τον αριθμό $\ell$ .

Προσοχή: το όριο εξαρτάται μόνο από τη συμπεριφορά της $f$ κοντά στο $x_0$ — όχι από την τιμή $f(x_0)$ , που μπορεί και να μην ορίζεται! Αρκεί η $f$ να ορίζεται «κοντά» στο $x_0$ .

Σύρε το slider — τα σημεία πλησιάζουν το x₀ από αριστερά και δεξιά.

Πλευρικά όρια

Το $\lim_{x \to x_0^-}$ εξετάζει μόνο τιμές $x < x_0$ και το $\lim_{x \to x_0^+}$ μόνο $x > x_0$ . Το όριο υπάρχει αν και μόνο αν τα δύο πλευρικά όρια υπάρχουν και είναι ίσα — γι' αυτό σε κλαδικές συναρτήσεις δουλεύουμε πάντα με πλευρικά:

$\lim_{x \to x_0} f(x) = \ell \iff \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = \ell$

Κόλπο μνήμης

Το όριο κοιτάζει τους «γείτονες», όχι το «σπίτι». Το $\lim_{x \to x_0} f(x)$ δεν νοιάζεται τι γίνεται στο $x_0$ (η $f(x_0)$ μπορεί να είναι οτιδήποτε ή να μην ορίζεται). Νοιάζεται μόνο για τις τιμές γύρω από αυτό, και από τις δύο μεριές.

Παράδειγμα (κλαδική συνάρτηση): Δίνεται $f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x, & x < 1 \\ \alpha x + 1, & x > 1 \end{cases}$ . Για ποια τιμή του $\alpha$ υπάρχει το $\lim_{x \to 1} f(x)$ ;

Λύση: Ο τύπος αλλάζει στο $1$ , άρα δουλεύουμε με πλευρικά όρια:

$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x^2 + 2x) = 3, \qquad \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (\alpha x + 1) = \alpha + 1$

Το όριο υπάρχει αν και μόνο αν τα πλευρικά είναι ίσα: $\alpha + 1 = 3 \iff \alpha = 2$ . Τότε $\lim_{x \to 1} f(x) = 3$ — παρόλο που η $f$ δεν ορίζεται καν στο $1$ .

Γρήγορος έλεγχος

Δίνεται $f(x) = x^2 + \alpha$ για $x < 2$ και $f(x) = 3x - 1$ για $x > 2$ . Για ποια τιμή του $\alpha$ υπάρχει το $\lim_{x \to 2} f(x)$ ;

Βασικές ιδιότητες

Αν τα όρια των $f, g$ υπάρχουν στο $x_0$ :

$\lim (f \pm g) = \lim f \pm \lim g$
$\lim (f \cdot g) = \lim f \cdot \lim g$
$\lim \frac{f}{g} = \frac{\lim f}{\lim g}$ , εφόσον $\lim g \neq 0$

Άμεση συνέπεια: για πολυωνυμική $P$ ισχύει $\lim_{x \to x_0} P(x) = P(x_0)$ — απλή αντικατάσταση. Το ίδιο και για ρητές, όταν ο παρονομαστής δεν μηδενίζεται. Απροσδιοριστία έχουμε όταν η αντικατάσταση δίνει $\frac{0}{0}$ .

Ακόμη ιδιότητες των ορίων

Αν $\lim_{x \to x_0} f(x) = \ell$ , τότε:

$\lim_{x \to x_0} [k f(x)] = k \ell$ και $\lim_{x \to x_0} [f(x)]^\nu = \ell^\nu$
$\lim_{x \to x_0} \sqrt[\kappa]{f(x)} = \sqrt[\kappa]{\ell}$ , εφόσον $f(x) \ge 0$ κοντά στο $x_0$
$\lim_{x \to x_0} |f(x)| = |\ell|$

Διατήρηση προσήμου: αν $\ell > 0$ , τότε $f(x) > 0$ κοντά στο $x_0$ · αν $\ell < 0$ , τότε $f(x) < 0$ κοντά στο $x_0$ .

Όρια και διάταξη: αν $f(x) \le g(x)$ κοντά στο $x_0$ και υπάρχουν τα όρια, τότε $\lim_{x \to x_0} f(x) \le \lim_{x \to x_0} g(x)$ . Προσοχή: από $f(x) < g(x)$ δεν έπεται αυστηρή ανισότητα ορίων — π.χ. $x^2 < 2x^2$ για $x \ne 0$ , αλλά και τα δύο όρια στο $0$ είναι $0$ .

Γρήγορος έλεγχος

Αν $\lim_{x \to x_0} f(x) = -2$ , τι ισχύει με βεβαιότητα;

Ήξερες ότι;

Ο Νεύτωνας και ο Leibniz έφτιαξαν τον Απειροστικό Λογισμό τον 17ο αιώνα χωρίς αυστηρό ορισμό του ορίου. Ο φιλόσοφος George Berkeley (1734) κορόιδευε τα «απειροστά» τους ως «φαντάσματα ποσοτήτων που χάθηκαν». Ο σύγχρονος, αυστηρός ορισμός του ορίου διαμορφώθηκε μόλις τον 19ο αιώνα, με τον Cauchy και τον Weierstrass.

Μέθοδος: υπολογισμός του $\lim_{x \to x_0} f(x)$

Κάνε αντικατάσταση $x = x_0$ στον τύπο.
Αν προκύψει πραγματικός αριθμός (και ο τύπος ισχύει γύρω από το $x_0$ ), αυτό είναι το όριο.
Αν προκύψει $\frac{0}{0}$ : παραγοντοποίησε (σχήμα Horner με ρίζα το $x_0$ ) ή πολλαπλασίασε με τη συζυγή παράσταση, απλοποίησε τον παράγοντα $x - x_0$ και ξανακάνε αντικατάσταση.
Αν προκύψει $\frac{\alpha}{0}$ με $\alpha \neq 0$ : το όριο είναι $\pm\infty$ ή δεν υπάρχει — μέθοδος προσήμου (μη πεπερασμένα όρια).
Αν ο τύπος αλλάζει στο $x_0$ ή υπάρχει απόλυτο που μηδενίζεται στο $x_0$ : υπολόγισε χωριστά τα πλευρικά όρια.

Παράδειγμα (απροσδιοριστία 0/0): $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x+1) = 2$

Παράδειγμα (Horner): Να υπολογιστεί το $\lim_{x \to 2} \dfrac{x^3 - 8}{x^2 - 3x + 2}$ .

Λύση: Η αντικατάσταση δίνει $\frac{8 - 8}{4 - 6 + 2} = \frac{0}{0}$ , άρα και οι δύο όροι έχουν παράγοντα $x - 2$ . Με Horner (ή ταυτότητα): $x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$ και $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$ . Για $x \neq 2$ :

$\frac{x^3 - 8}{x^2 - 3x + 2} = \frac{x^2 + 2x + 4}{x - 1} \quad\Rightarrow\quad \lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x^2 - 3x + 2} = \frac{4 + 4 + 4}{2 - 1} = 12$

Άσκηση: Να υπολογίσετε το $\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$ .

Λύση: Η αντικατάσταση δίνει $\frac{0}{0}$ . Πολλαπλασιάζουμε με τη συζυγή παράσταση $\sqrt{x} + 2$ :

$\frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4} = \frac{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)}{(x - 4)(\sqrt{x} + 2)} = \frac{x - 4}{(x - 4)(\sqrt{x} + 2)} = \frac{1}{\sqrt{x} + 2}$

Άρα το όριο είναι $\frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{4}$ .

Γρήγορος έλεγχος

Πόσο είναι το $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ ;

Γρήγορος έλεγχος

Πόσο είναι το $\lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{x + 3} - 2}{x - 1}$ ;

Θέμα τύπου Πανελλαδικών (Θέμα Β): Δίνεται $f(x) = \dfrac{x^2 + \alpha x + \beta}{x - 2}$ , $x \neq 2$ , με $\lim_{x \to 2} f(x) = 5$ . Να βρεθούν τα $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ .

Λύση: Θέτουμε $g(x) = x^2 + \alpha x + \beta$ . Για $x \neq 2$ είναι $g(x) = f(x) \cdot (x - 2)$ , άρα

$\lim_{x \to 2} g(x) = \lim_{x \to 2} f(x) \cdot \lim_{x \to 2} (x - 2) = 5 \cdot 0 = 0$

Όμως η $g$ είναι πολυωνυμική, οπότε $\lim_{x \to 2} g(x) = g(2) = 4 + 2\alpha + \beta$ . Άρα $4 + 2\alpha + \beta = 0$ , δηλαδή $\beta = -4 - 2\alpha$ .

Τότε $x^2 + \alpha x - 4 - 2\alpha = (x - 2)(x + 2 + \alpha)$ (επαλήθευση με επιμεριστική), οπότε για $x \neq 2$ :

$f(x) = x + 2 + \alpha \quad\Rightarrow\quad \lim_{x \to 2} f(x) = 4 + \alpha$

Από $4 + \alpha = 5$ παίρνουμε $\alpha = 1$ και $\beta = -4 - 2 = -6$ .

Απάντηση: $\alpha = 1$ , $\beta = -6$ . Έλεγχος: $\frac{x^2 + x - 6}{x - 2} = \frac{(x - 2)(x + 3)}{x - 2} = x + 3 \to 5$ ✓

Σε μορφή $\frac{0}{0}$ : με πολυώνυμα παραγοντοποίησε (σχήμα Horner με ρίζα το $x_0$ ), με ριζικά πολλαπλασίασε με τη συζυγή παράσταση. Στόχος πάντα: να απλοποιηθεί ο παράγοντας $(x - x_0)$ .

Πρόκληση

Για μια συνάρτηση $f$ , ορισμένη κοντά στο $2$ , ισχύει

$\lim_{x \to 2} \frac{f(x) - 3}{x - 2} = 5$

Να βρείτε: (α) το $\lim_{x \to 2} f(x)$ , (β) το $\lim_{x \to 2} \dfrac{f^2(x) - 9}{x^2 - 4}$ .

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Το «κόλπο» του Θέματος Δ: δώσε όνομα στο κλάσμα. Θέτουμε

$g(x) = \frac{f(x) - 3}{x - 2}, \quad x \neq 2, \qquad \text{με } \lim_{x \to 2} g(x) = 5$

και λύνουμε ως προς $f$ : $f(x) = 3 + (x - 2)\, g(x)$ .

(α) $\lim_{x \to 2} f(x) = 3 + 0 \cdot 5 = 3$ .

(β) Παραγοντοποιούμε αριθμητή και παρονομαστή:

$\frac{f^2(x) - 9}{x^2 - 4} = \frac{\big(f(x) - 3\big)\big(f(x) + 3\big)}{(x - 2)(x + 2)} = g(x) \cdot \frac{f(x) + 3}{x + 2} \to 5 \cdot \frac{6}{4} = \frac{15}{2}$

Η «στροφή»: δεν ξέρεις τίποτα για τον τύπο της $f$ , κι όμως και τα δύο όρια βγαίνουν. Μη γράψεις « $\lim f(x) = 3$ γιατί ο αριθμητής πρέπει να μηδενίζεται» χωρίς αιτιολόγηση: η βοηθητική $g$ είναι η απόδειξη.

Συνηθισμένα λάθη

Γράφεις «το όριο είναι $\frac{0}{0}$ » σαν αποτέλεσμα. Το $\frac{0}{0}$ είναι σήμα για παραγοντοποίηση ή συζυγή — όχι απάντηση.
Συγχέεις το $\lim_{x \to x_0} f(x)$ με το $f(x_0)$ . Σε κλαδική ή όταν η $f$ δεν ορίζεται στο $x_0$ , η τιμή δεν σου λέει τίποτα — πάρε πλευρικά όρια.
Εφαρμόζεις $\lim \frac{f}{g} = \frac{\lim f}{\lim g}$ με $\lim g = 0$ . Απαγορεύεται· πρώτα άρε την απροσδιοριστία.
Στα όρια με παραμέτρους ξεχνάς το τέχνασμα: αν το κλάσμα έχει πεπερασμένο όριο και ο παρονομαστής $\to 0$ , τότε και ο αριθμητής $\to 0$ — αυτό δίνει την πρώτη εξίσωση.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Το $\lim_{x \to x_0} f(x)$ εξαρτάται μόνο από τις τιμές της $f$ κοντά στο $x_0$ , όχι από το $f(x_0)$ .
Το όριο υπάρχει $\iff$ τα πλευρικά όρια υπάρχουν και είναι ίσα — κλαδικές και απόλυτα θέλουν πλευρικά.
Πολυωνυμικές (και ρητές με μη μηδενικό παρονομαστή στο $x_0$ ): $\lim_{x \to x_0} P(x) = P(x_0)$ .
Μορφή $\frac{0}{0}$ : Horner/παραγοντοποίηση ή συζυγής, απλοποίηση του $x - x_0$ .
Διατήρηση προσήμου: $\lim f > 0 \Rightarrow f > 0$ κοντά στο $x_0$ .

Η έννοια του ορίου

Γράφουμε

\lim_{x \to x_0} f(x) = \ell

όταν, καθώς το

x

πλησιάζει το

x_0

(από οπουδήποτε), οι τιμές

f(x)

πλησιάζουν όσο θέλουμε τον αριθμό

\ell

Προσοχή: το όριο εξαρτάται μόνο από τη συμπεριφορά της

f

κοντά στο

x_0

— όχι από την τιμή

f(x_0)

, που μπορεί και να μην ορίζεται! Αρκεί η

f

να ορίζεται «κοντά» στο

x_0

Όρια Συναρτήσεων

Η έννοια του ορίου

Πλευρικά όρια

Βασικές ιδιότητες

Ακόμη ιδιότητες των ορίων

Μέθοδος: υπολογισμός του lim⁡x→x0f(x)\lim_{x \to x_0} f(x)limx→x0​​f(x)

Όρια Συναρτήσεων

Η έννοια του ορίου

Πλευρικά όρια

Βασικές ιδιότητες

Ακόμη ιδιότητες των ορίων

Μέθοδος: υπολογισμός του lim⁡x→x0f(x)\lim_{x \to x_0} f(x)limx→x0​​f(x)

Μέθοδος: υπολογισμός του $\lim_{x \to x_0} f(x)$

Μέθοδος: υπολογισμός του $\lim_{x \to x_0} f(x)$