🔄

Συναρτήσεις: 1-1 & Αντίστροφη

Ορισμός 1-1, κριτήρια, αντίστροφη συνάρτηση

Γιατί με νοιάζει;

Μια εφαρμογή καιρού μετατρέπει βαθμούς Κελσίου σε Φαρενάιτ με $F = 1{,}8C + 32$ . Για τον αντίστροφο δρόμο λύνεις ως προς $C$ : $C = \frac{F - 32}{1{,}8}$ . Αυτή είναι η αντίστροφη συνάρτηση.

Δεν αντιστρέφεται όμως κάθε «μηχανή». Αν ξέρεις μόνο ότι $x^2 = 9$ , δεν ξέρεις αν ξεκίνησες από το $3$ ή από το $-3$ . Αυτό το κεφάλαιο απαντά πότε μπορείς να γυρίσεις πίσω και πώς.

Συνάρτηση 1-1

Μια συνάρτηση $f: A \to \mathbb{R}$ λέγεται 1-1 (ένα προς ένα) όταν σε διαφορετικά στοιχεία του πεδίου ορισμού αντιστοιχούν διαφορετικές τιμές: για κάθε $x_1, x_2 \in A$ , αν $x_1 \neq x_2$ τότε $f(x_1) \neq f(x_2)$ .

Στην πράξη χρησιμοποιούμε την ισοδύναμη μορφή: κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση μιας 1-1 συνάρτησης το πολύ σε ένα σημείο.

$f \text{ είναι } 1\text{-}1 \iff \big( f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2 \big), \quad \forall x_1, x_2 \in A$

Κριτήρια για 1-1

Ορισμός: υποθέτουμε $f(x_1) = f(x_2)$ και καταλήγουμε $x_1 = x_2$ .
Μονοτονία: αν η $f$ είναι γνησίως μονότονη στο $A$ , τότε είναι 1-1.

Προσοχή: το αντίστροφο δεν ισχύει! Η $f(x) = \frac{1}{x}$ , $x \neq 0$ , είναι 1-1 αλλά όχι γνησίως μονότονη σε όλο το πεδίο ορισμού της.

Αντίστροφη συνάρτηση

Αν η $f: A \to \mathbb{R}$ είναι 1-1, ορίζεται η αντίστροφη $f^{-1}: f(A) \to A$ με τον κανόνα: $f^{-1}(y) = x \iff f(x) = y$ . Το πεδίο ορισμού της $f^{-1}$ είναι το σύνολο τιμών της $f$ .

Γρήγορος έλεγχος

Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι ΣΩΣΤΗ;

Ιδιότητες που χρησιμοποιούμε συνεχώς

Ίδια μονοτονία: αν η $f$ είναι γνησίως αύξουσα, τότε και η $f^{-1}$ είναι γνησίως αύξουσα (ανάλογα για φθίνουσα). Με άτοπο: αν για $y_1 < y_2$ στο $f(A)$ ίσχυε $f^{-1}(y_1) \ge f^{-1}(y_2)$ , εφαρμόζοντας την αύξουσα $f$ θα παίρναμε $y_1 \ge y_2$ — άτοπο.
Εξισώσεις: αν η $f$ είναι 1-1, τότε $f(\alpha) = f(\beta) \iff \alpha = \beta$ . Άρα η $f(x) = k$ έχει το πολύ μία λύση — αν τη «μαντέψεις», είναι η μοναδική.
Ανισώσεις: αν η $f$ είναι γνησίως αύξουσα, $f(\alpha) < f(\beta) \iff \alpha < \beta$ · αν είναι γνησίως φθίνουσα, η φορά αλλάζει.
Τιμές της $f^{-1}$ : για το $f^{-1}(k)$ δεν χρειάζεσαι τύπο — λύσε την $f(x) = k$ .

Γρήγορος έλεγχος

Η $f$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $\mathbb{R}$ . Τι ισχύει για την $f^{-1}$ ;

Ήξερες ότι;

Ο John Napier δημοσίευσε τους λογαρίθμους το 1614, πριν καν υπάρξει η έννοια της εκθετικής συνάρτησης. Το ότι ο λογάριθμος είναι η αντίστροφη της εκθετικής ξεκαθαρίστηκε αργότερα, κυρίως από τον Euler τον 18ο αιώνα. Γι' αυτό οι $C_{\ln}$ και $C_{e^x}$ είναι συμμετρικές ως προς την $y = x$ .

$f^{-1}(f(x)) = x, \; \forall x \in A \qquad f(f^{-1}(y)) = y, \; \forall y \in f(A)$

Γραφικές παραστάσεις & εύρεση τύπου

Οι γραφικές παραστάσεις $C_f$ και $C_{f^{-1}}$ είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία $y = x$ , γιατί το σημείο $(\alpha, \beta)$ ανήκει στην $C_f$ αν και μόνο αν το $(\beta, \alpha)$ ανήκει στην $C_{f^{-1}}$ .

Αν η $f$ είναι γνησίως αύξουσα, τα κοινά σημεία των $C_f$ και $C_{f^{-1}}$ βρίσκονται πάνω στην $y = x$ , οπότε τα βρίσκουμε λύνοντας την $f(x) = x$ .

Για τον τύπο της $f^{-1}$ :

Θέτουμε $y = f(x)$ και λύνουμε ως προς $x$ .
Ελέγχουμε τον περιορισμό $x \in A$ — αυτός δίνει το σύνολο τιμών.
Εναλλάσσουμε τα γράμματα: $f^{-1}(x) = \ldots$

Κόλπο μνήμης

Αντίστροφη = «ανταλλαγή ρόλων». Το ΠΟ της $f$ γίνεται σύνολο τιμών της $f^{-1}$ και αντίστροφα. Το σημείο $(\alpha, \beta)$ της $C_f$ γίνεται $(\beta, \alpha)$ στη $C_{f^{-1}}$ . Όλα «καθρεφτίζονται» στην ευθεία $y = x$ .

Μέθοδος: εύρεση της $f^{-1}$

Δείξε ότι η $f$ είναι 1-1 (ορισμός ή γνήσια μονοτονία).
Θέσε $y = f(x)$ , $x \in A$ , και λύσε ως προς $x$ . Σημείωσε για ποια $y$ η λύση υπάρχει και ανήκει στο $A$ — αυτό είναι το σύνολο τιμών $f(A)$ .
Γράψε $f^{-1}(y) = \ldots$ , $y \in f(A)$ , και άλλαξε το γράμμα: $f^{-1}(x) = \ldots$ , $x \in f(A)$ .
Επαλήθευσε με μια τιμή: $f(f^{-1}(k)) = k$ .

Παράδειγμα: $f(x) = x^3 + 1$ . Είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$ (άθροισμα αυξουσών), άρα 1-1. Λύνουμε: $y = x^3 + 1 \iff x^3 = y - 1$ . Επειδή στο σχολικό βιβλίο η $\sqrt[3]{\;}$ ορίζεται μόνο για μη αρνητικούς αριθμούς, διακρίνουμε: για $y \ge 1$ είναι $x = \sqrt[3]{y - 1}$ , ενώ για $y < 1$ είναι $x = -\sqrt[3]{1 - y}$ . Άρα

$f^{-1}(x) = \begin{cases} \sqrt[3]{x - 1}, & x \ge 1 \\ -\sqrt[3]{1 - x}, & x < 1 \end{cases}$

Επαλήθευση: $f(f^{-1}(9)) = (\sqrt[3]{8})^3 + 1 = 8 + 1 = 9$ ✓

Παράδειγμα (λογαριθμική): Να βρεθεί η αντίστροφη της $f(x) = \ln(x - 1) + 2$ , $x > 1$ .

Λύση: $f'(x) = \frac{1}{x - 1} > 0$ , άρα η $f$ είναι γνησίως αύξουσα, επομένως 1-1. Για $y \in \mathbb{R}$ :

$y = \ln(x - 1) + 2 \iff \ln(x - 1) = y - 2 \iff x - 1 = e^{y - 2} \iff x = e^{y - 2} + 1$

και πάντα $x = e^{y - 2} + 1 > 1$ , άρα κάθε $y \in \mathbb{R}$ είναι τιμή: $f(A) = \mathbb{R}$ . Επομένως $f^{-1}(x) = e^{x - 2} + 1$ , $x \in \mathbb{R}$ .

Επαλήθευση: $f^{-1}(2) = e^0 + 1 = 2$ και $f(2) = \ln 1 + 2 = 2$ ✓

Γρήγορος έλεγχος

Η $f(x) = e^x + 1$ , $x \in \mathbb{R}$ , είναι 1-1. Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της $f^{-1}$ ;

Γρήγορος έλεγχος

Η $f(x) = x^3 + x$ είναι 1-1 στο $\mathbb{R}$ . Πόσο είναι το $f^{-1}(2)$ ;

Θέμα τύπου Πανελλαδικών (Θέμα Β): Δίνεται $f(x) = e^x + x^3 - 1$ , $x \in \mathbb{R}$ .

(α) Να δειχθεί ότι η $f$ αντιστρέφεται.

(β) Να λυθεί η εξίσωση $f(x) = 0$ .

(γ) Να λυθεί η εξίσωση $e^{x^2} + x^6 = e^{3x - 2} + (3x - 2)^3$ .

(δ) Να λυθεί η ανίσωση $f(x) > 0$ .

Λύση (α): $f'(x) = e^x + 3x^2 > 0$ για κάθε $x$ , άρα η $f$ είναι γνησίως αύξουσα, επομένως 1-1 και αντιστρέφεται.

Λύση (β): $f(0) = 1 + 0 - 1 = 0$ . Αφού η $f$ είναι 1-1, το $x = 0$ είναι η μοναδική λύση.

Λύση (γ): Αφαιρώντας $1$ και από τα δύο μέλη, η εξίσωση γράφεται $e^{x^2} + (x^2)^3 - 1 = e^{3x - 2} + (3x - 2)^3 - 1$ , δηλαδή $f(x^2) = f(3x - 2)$ . Λόγω 1-1: $x^2 = 3x - 2 \iff x^2 - 3x + 2 = 0 \iff x = 1$ ή $x = 2$ .

Λύση (δ): $f(x) > 0 \iff f(x) > f(0) \iff x > 0$ , αφού η $f$ είναι γνησίως αύξουσα.

Γρήγορος έλεγχος

Η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$ . Ποιες είναι οι λύσεις της εξίσωσης $f(x^2) = f(4)$ ;

Στις Πανελλήνιες, ο πιο γρήγορος δρόμος για το 1-1 είναι η μονοτονία: δείξε $f'(x) > 0$ (ή $< 0$ ) στο διάστημα. Και θυμήσου: αφού δείξεις 1-1, «λύνεις» εξισώσεις με τον κανόνα $f(g(x)) = f(h(x)) \Rightarrow g(x) = h(x)$ .

Πρόκληση

Δίνεται $f(x) = x^3 + x - 1$ , $x \in \mathbb{R}$ , με σύνολο τιμών το $\mathbb{R}$ .

(α) Να δείξετε ότι η $f$ αντιστρέφεται.

(β) Να λύσετε την εξίσωση $f(x) = f^{-1}(x)$ , χωρίς να βρείτε τον τύπο της $f^{-1}$ (δεν «βγαίνει» εύκολα).

(γ) Να λύσετε την ανίσωση $f^{-1}(x) > 1$ .

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

(α) Για $x_1 < x_2$ είναι $x_1^3 < x_2^3$ , άρα $x_1^3 + x_1 - 1 < x_2^3 + x_2 - 1$ . Η $f$ είναι γνησίως αύξουσα, άρα 1-1, και αντιστρέφεται με $f^{-1}: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , επίσης γνησίως αύξουσα.

(β) Έστω $x$ λύση και $y = f(x) = f^{-1}(x)$ . Τότε $f(x) = y$ και $f(y) = x$ .

Αν $x < y$ , τότε $f(x) < f(y)$ , δηλαδή $y < x$ : άτοπο.
Αν $y < x$ , όμοια καταλήγουμε σε άτοπο.

Άρα $y = x$ , δηλαδή $f(x) = x \iff x^3 - 1 = 0 \iff x = 1$ . Επαλήθευση: $f(1) = 1$ , άρα και $f^{-1}(1) = 1$ ✓.

(γ) Η $f^{-1}$ είναι γνησίως αύξουσα και $f^{-1}(1) = 1$ . Άρα $f^{-1}(x) > f^{-1}(1) \iff x > 1$ .

Η «στροφή»: για γνησίως αύξουσα $f$ , οι λύσεις της $f(x) = f^{-1}(x)$ είναι ακριβώς οι λύσεις της $f(x) = x$ : τα κοινά σημεία των $C_f$ , $C_{f^{-1}}$ βρίσκονται πάνω στην $y = x$ . Για φθίνουσα αυτό δεν ισχύει γενικά: η $f(x) = -x$ έχει $f^{-1} = f$ σε κάθε σημείο.

Συνηθισμένα λάθη

Γράφεις πεδίο ορισμού της $f^{-1}$ το $A$ — σωστό: το σύνολο τιμών $f(A)$ .
Ταυτίζεις $f^{-1}(x)$ με $\frac{1}{f(x)}$ : η αντίστροφη συνάρτηση δεν είναι ο αντίστροφος αριθμός.
Ψάχνεις κοινά σημεία $C_f$ και $C_{f^{-1}}$ μόνο με την $f(x) = x$ όταν η $f$ είναι φθίνουσα — τότε μπορεί να υπάρχουν κοινά σημεία και εκτός της $y = x$ (π.χ. η $f(x) = -x$ ταυτίζεται με την αντίστροφή της).
«Σβήνεις» την $f$ σε μια εξίσωση $f(\alpha) = f(\beta)$ χωρίς να έχεις δείξει ότι είναι 1-1.

Σύνοψη — τι κρατάμε

$f$ 1-1 ⇔ ( $f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2$ )· γνησίως μονότονη ⇒ 1-1, όχι αντίστροφα.
$f^{-1}: f(A) \to A$ με $f^{-1}(y) = x \iff f(x) = y$ · $f^{-1}(f(x)) = x$ και $f(f^{-1}(y)) = y$ .
Οι $C_f$ , $C_{f^{-1}}$ είναι συμμετρικές ως προς την $y = x$ · η $f^{-1}$ έχει την ίδια μονοτονία με την $f$ .
Τύπος: $y = f(x)$ , λύση ως προς $x$ με τους περιορισμούς, αλλαγή γραμμάτων.
Η 1-1 «λύνει» εξισώσεις: $f(g(x)) = f(h(x)) \iff g(x) = h(x)$ .

Συνάρτηση 1-1

Μια συνάρτηση

f: A \to \mathbb{R}

λέγεται 1-1 (ένα προς ένα) όταν σε διαφορετικά στοιχεία του πεδίου ορισμού αντιστοιχούν διαφορετικές τιμές: για κάθε

x_1, x_2 \in A

, αν

x_1 \neq x_2

τότε

f(x_1) \neq f(x_2)

Συναρτήσεις: 1-1 & Αντίστροφη

Συνάρτηση 1-1

Κριτήρια για 1-1

Αντίστροφη συνάρτηση

Ιδιότητες που χρησιμοποιούμε συνεχώς

Γραφικές παραστάσεις & εύρεση τύπου

Μέθοδος: εύρεση της f−1f^{-1}f−1

Συναρτήσεις: 1-1 & Αντίστροφη

Συνάρτηση 1-1

Κριτήρια για 1-1

Αντίστροφη συνάρτηση

Ιδιότητες που χρησιμοποιούμε συνεχώς

Γραφικές παραστάσεις & εύρεση τύπου

Μέθοδος: εύρεση της f−1f^{-1}f−1

Μέθοδος: εύρεση της $f^{-1}$

Μέθοδος: εύρεση της $f^{-1}$