📈

Η Συνάρτηση F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt

Ορισμός, (∫ₐˣ f(t)dt)′ = f(x), μεταβλητά άκρα, μονοτονία & ακρότατα της F

Μια συνάρτηση χωρίς «τύπο»;

Η $F(x) = \int_0^x e^{-t^2}\,dt$ είναι απολύτως καλά ορισμένη, όμως αποδεικνύεται ότι δεν γράφεται με πεπερασμένο συνδυασμό των γνωστών συναρτήσεων (πολυώνυμα, ρίζες, $e^x$ , $\ln x$ , τριγωνομετρικές). Κι όμως, μπορείς να βρεις τη μονοτονία της, την κυρτότητά της και να λύσεις εξισώσεις με αυτήν.

Το μυστικό: ξέρεις την παράγωγό της. Αυτό κάνει λύσιμα τα Θέματα Δ με ολοκληρώματα.

Ένα εμβαδόν που «τρέχει»

Φαντάσου το κοντέρ χιλιομέτρων ενός αυτοκινήτου: η ταχύτητα κάθε στιγμή είναι η $f(t)$ , και το κοντέρ δείχνει τη συνολική απόσταση που έχει μαζευτεί μέχρι τη στιγμή $x$ . Αυτό ακριβώς είναι η συνάρτηση:

$F(x) = \int_{\alpha}^{x} f(t) \, dt$

Αν η $f$ είναι συνεχής σε διάστημα $\Delta$ και $\alpha \in \Delta$ , τότε για κάθε $x \in \Delta$ η $F(x)$ είναι ένας συγκεκριμένος αριθμός — το «συσσωρευμένο εμβαδόν» (με πρόσημο) από το σταθερό άκρο $\alpha$ μέχρι το κινούμενο άκρο $x$ . Καθώς το $x$ μετακινείται, η τιμή αλλάζει: η $F$ είναι συνάρτηση του $x$ .

Πρόσεξε τους ρόλους: το $t$ είναι η «βουβή» μεταβλητή ολοκλήρωσης (ζει μόνο μέσα στο ολοκλήρωμα), ενώ το $x$ είναι η πραγματική μεταβλητή της $F$ . Και μια τιμή «δώρο»: $F(\alpha) = \int_{\alpha}^{\alpha} f(t) \, dt = 0$ .

Πεδίο ορισμού της $F(x) = \int_\alpha^x f(t)\,dt$

Η $F$ ορίζεται για όσα $x$ η $f$ είναι συνεχής σε όλο το διάστημα με άκρα $\alpha$ και $x$ . Πρακτικά: βρίσκεις το διάστημα $\Delta$ του πεδίου ορισμού της $f$ που περιέχει το $\alpha$ — αυτό είναι το πεδίο ορισμού της $F$ .

$F(x) = \int_1^x \frac{1}{t}\,dt$ : η $\frac{1}{t}$ είναι συνεχής στο $(0, +\infty)$ , που περιέχει το $1$ , άρα $A_F = (0, +\infty)$ . Το $\int_1^{-2} \frac{1}{t}\,dt$ δεν έχει νόημα, γιατί το διάστημα $[-2, 1]$ περνά από το $0$ .
Για $G(x) = \int_\alpha^{g(x)} f(t)\,dt$ απαιτείς επιπλέον $x \in A_g$ και $g(x) \in \Delta$ .

Γρήγορος έλεγχος

Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της $F(x) = \displaystyle\int_2^x \frac{1}{t - 1}\,dt$ ;

Σύρε το δεξί άκρο x και δες το σκιασμένο εμβαδόν να μεγαλώνει ή να μικραίνει: θα ανακαλύψεις ότι το F(x) ανεβαίνει όσο η f είναι πάνω από τον άξονα και πέφτει όταν η f βουτήξει κάτω από αυτόν — η μονοτονία της F διαβάζεται από το πρόσημο της f!

Το Θεμελιώδες Θεώρημα: F′ = f

Το μεγάλο αποτέλεσμα του Ολοκληρωτικού Λογισμού: αν η $f$ είναι συνεχής στο $\Delta$ και $\alpha \in \Delta$ , τότε η $F(x) = \int_{\alpha}^{x} f(t) \, dt$ είναι μία παράγουσα της $f$ στο $\Delta$ , δηλαδή είναι παραγωγίσιμη με:

$F'(x) = \left( \int_{\alpha}^{x} f(t) \, dt \right)' = f(x)$

Διαισθητικά: μετακινώντας το $x$ κατά ένα μικροσκοπικό $h$ , το εμβαδόν αυξάνεται κατά μια «λωρίδα» πλάτους $h$ και ύψους περίπου $f(x)$ — άρα ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού είναι το ύψος $f(x)$ . Στο παράδειγμα του αυτοκινήτου: ο ρυθμός που γράφει το κοντέρ είναι... η ταχύτητα.

Αυτό το θεώρημα εξασφαλίζει ότι κάθε συνεχής συνάρτηση έχει παράγουσα, και είναι η γέφυρα που οδηγεί στον τύπο Newton–Leibniz $\int_{\alpha}^{\beta} f(t)\,dt = G(\beta) - G(\alpha)$ .

$\left( \int_{\alpha}^{x} f(t) \, dt \right)' = f(x) \qquad \left( \int_{\alpha}^{g(x)} f(t) \, dt \right)' = f(g(x)) \cdot g'(x)$

Ήξερες ότι;

Ο Νεύτωνας και ο Leibniz ανακάλυψαν ανεξάρτητα ότι παραγώγιση και ολοκλήρωση είναι αντίστροφες πράξεις. Μια γεωμετρική μορφή του θεωρήματος όμως είχε ήδη δημοσιεύσει το 1670 ο Isaac Barrow, ο προκάτοχος του Νεύτωνα στην έδρα Lucasian των Μαθηματικών στο Cambridge. Ο Barrow παραιτήθηκε από την έδρα το 1669 και τη διαδέχτηκε ο νεαρός Νεύτωνας.

Γρήγορος έλεγχος

Αν $F(x) = \displaystyle\int_{1}^{x} e^{t^2} \, dt$ , $x \in \mathbb{R}$ , τότε $F'(x) = \;$ ;

Γρήγορος έλεγχος

Αν $G(x) = \displaystyle\int_x^1 t^2\,dt$ , $x \in \mathbb{R}$ , τότε $G'(x) = \;$ ;

Σύρε το σημείο πάνω στη γραφική παράσταση της F: θα ανακαλύψεις ότι η κλίση της εφαπτομένης σε κάθε x ισούται ακριβώς με το ύψος f(x) — η F «κουβαλάει» μέσα στην παράγωγό της ολόκληρη την f.

Μεταβλητά άκρα — ο κανόνας αλυσίδας σε δράση

Όταν το πάνω άκρο είναι συνάρτηση $g(x)$ , η $\int_{\alpha}^{g(x)} f(t)\,dt$ είναι η σύνθεση $F(g(x))$ , οπότε από τον κανόνα αλυσίδας:

$\left( \int_{\alpha}^{g(x)} f(t) \, dt \right)' = f(g(x)) \cdot g'(x)$

Αν και τα δύο άκρα μεταβάλλονται, σπας το ολοκλήρωμα μέσω σταθερού $\alpha$ :

$\int_{g(x)}^{h(x)} f(t) \, dt = \int_{\alpha}^{h(x)} f(t) \, dt - \int_{\alpha}^{g(x)} f(t) \, dt$

και παραγωγίζοντας: $f(h(x)) \cdot h'(x) - f(g(x)) \cdot g'(x)$ .

Π.χ. $\left( \int_{0}^{x^2} e^{t} \, dt \right)' = e^{x^2} \cdot 2x$ και $\left( \int_{x}^{x^2} e^{t} \, dt \right)' = 2x e^{x^2} - e^{x}$ .

Κόλπο μνήμης

Για την παράγωγο ολοκληρώματος με μεταβλητό άκρο: «βάλε το άκρο μέσα, επί την παράγωγο του άκρου»:

$\left(\int_\alpha^{g(x)} f(t)\,dt\right)' = f(g(x))\, g'(x)$

Αν το $x$ είναι στο κάτω άκρο, αντέστρεψε πρώτα τα άκρα, οπότε μπαίνει ένα μείον μπροστά.

Μέθοδος: μελέτη συνάρτησης που ορίζεται με ολοκλήρωμα

Βρες το πεδίο ορισμού: το διάστημα συνέχειας της $f$ που περιέχει το σταθερό άκρο.
Δικαιολόγησε: «η $f$ είναι συνεχής, άρα η $F$ είναι παραγωγίσιμη με $F'(x) = f(x)$ » — ή με κανόνα αλυσίδας για μεταβλητό άκρο $g(x)$ .
Αν το $x$ εμφανίζεται και μέσα στο ολοκλήρωμα, βγάλε το έξω πριν παραγωγίσεις.
Πρόσημο της $F'$ → μονοτονία και ακρότατα· αξιοποίησε τη «δωρεάν» τιμή $F(\alpha) = 0$ .
Για όρια μορφής $\frac{0}{0}$ με ολοκλήρωμα, εφάρμοσε De L'Hospital — η παράγωγος του ολοκληρώματος είναι γνωστή.

Παράδειγμα (τύπου εξετάσεων): Δίνεται $F(x) = \displaystyle\int_{1}^{x} \ln t \, dt$ , $x > 0$ . Να μελετηθεί η $F$ ως προς μονοτονία και ακρότατα και να δειχθεί ότι $F(x) \geq 0$ για κάθε $x > 0$ .

Η $f(t) = \ln t$ είναι συνεχής στο $(0, +\infty)$ , άρα η $F$ είναι παραγωγίσιμη με $F'(x) = \ln x$ .

Πρόσημο της $F'$ : $\ln x < 0$ για $x \in (0, 1)$ και $\ln x > 0$ για $x \in (1, +\infty)$ .

Άρα η $F$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $(0, 1]$ και γνησίως αύξουσα στο $[1, +\infty)$ , οπότε στο $x = 1$ παρουσιάζει ολικό ελάχιστο με τιμή:

$F(1) = \int_{1}^{1} \ln t \, dt = 0$

Επομένως $F(x) \geq F(1) = 0$ για κάθε $x > 0$ , με ισότητα μόνο για $x = 1$ . Παρατήρησε πόσο δουλειά έκανε «τζάμπα» η ιδιότητα $F(\alpha) = 0$ — δεν χρειάστηκε να υπολογίσουμε κανένα ολοκλήρωμα!

Γρήγορος έλεγχος

Έστω $F(x) = \displaystyle\int_{0}^{x} (t^2 - 4) \, dt$ , $x \in \mathbb{R}$ . Σε ποιο σημείο η $F$ παρουσιάζει τοπικό μέγιστο;

Παράδειγμα (όρια με ολοκλήρωμα):

(α) $\lim_{x \to 0} \dfrac{\int_0^x e^{t^2}\,dt}{x}$ . Η $F(x) = \int_0^x e^{t^2}\,dt$ είναι παραγωγίσιμη, άρα συνεχής, με $F(0) = 0$ : μορφή $\frac{0}{0}$ . Με De L'Hospital: $\lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2}}{1} = 1$ .

(β) $\lim_{x \to 1} \dfrac{\int_1^x \ln t\,dt}{(x - 1)^2}$ . Μορφή $\frac{0}{0}$ . Πρώτη εφαρμογή: $\lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{2(x - 1)}$ , πάλι $\frac{0}{0}$ . Δεύτερη: $\lim_{x \to 1} \frac{1/x}{2} = \frac{1}{2}$ .

Θέμα τύπου Πανελλαδικών (Θέμα Γ): Η $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ είναι συνεχής και ισχύει

$f(x) = 1 + \int_0^x f(t)\,dt \quad \text{για κάθε } x \in \mathbb{R}$

(α) Να δείξετε ότι η $f$ είναι παραγωγίσιμη με $f'(x) = f(x)$ . (β) Να βρείτε το $f(0)$ . (γ) Να βρείτε τον τύπο της $f$ .

Λύση (α): Η $f$ είναι συνεχής, άρα η $\int_0^x f(t)\,dt$ είναι παραγωγίσιμη με παράγωγο $f(x)$ . Επομένως και το δεξί μέλος — άρα και η $f$ — είναι παραγωγίσιμη, με $f'(x) = 0 + f(x) = f(x)$ .

Λύση (β): Για $x = 0$ : $f(0) = 1 + \int_0^0 f(t)\,dt = 1 + 0 = 1$ .

Λύση (γ): $\left(e^{-x} f(x)\right)' = e^{-x}\left(f'(x) - f(x)\right) = 0$ στο $\mathbb{R}$ , άρα $e^{-x} f(x) = c$ . Για $x = 0$ : $c = f(0) = 1$ . Άρα $f(x) = e^x$ .

Επαλήθευση: $1 + \int_0^x e^t\,dt = 1 + (e^x - 1) = e^x$ ✓

Τρία «κλειδιά» για τα θέματα Γ/Δ με $F(x) = \int_{\alpha}^{x} f(t)\,dt$ : (1) $F(\alpha) = 0$ — δωρεάν τιμή για Bolzano ή Rolle στην $F$ · συνδύασέ τη με μία ακόμη τιμή ή με τη μονοτονία. (2) Αν μέσα στο ολοκλήρωμα εμφανίζεται το $x$ (π.χ. $\int_{\alpha}^{x} x f(t)\,dt$ ), το $x$ είναι σταθερό ως προς το $t$ : βγάλε το ΕΞΩ — $x \int_{\alpha}^{x} f(t)\,dt$ — και μετά παραγώγισε ως γινόμενο. Αν το $x$ είναι «δεμένο» με το $t$ (π.χ. $f(x - t)$ ), κάνε πρώτα αλλαγή που το ξεμπλέκει. (3) Πριν παραγωγίσεις, βεβαιώσου και γράψε ότι η $f$ είναι συνεχής — είναι η προϋπόθεση του Θεμελιώδους Θεωρήματος και βαθμολογείται.

Πρόκληση

Δίνεται

$F(x) = \int_0^x e^{-t^2}\,dt, \quad x \in \mathbb{R}$

μια συνάρτηση της οποίας τον τύπο δεν μπορείς να γράψεις με γνωστές συναρτήσεις.

(α) Να δείξετε ότι η $F$ είναι γνησίως αύξουσα.

(β) Να λύσετε την εξίσωση $F(x^2) = F(2x - 1)$ .

(γ) Να λύσετε την ανίσωση $F(x^2 + 1) > F(2x)$ .

(δ) Να δείξετε ότι $F(x) \le x$ για κάθε $x \ge 0$ .

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

(α) Η $e^{-t^2}$ είναι συνεχής στο $\mathbb{R}$ , άρα η $F$ είναι παραγωγίσιμη με $F'(x) = e^{-x^2} > 0$ . Επομένως η $F$ είναι γνησίως αύξουσα, άρα και 1-1.

(β) Η $F$ είναι 1-1: $F(x^2) = F(2x - 1) \iff x^2 = 2x - 1 \iff (x - 1)^2 = 0 \iff x = 1$ .

(γ) Η $F$ είναι γνησίως αύξουσα: $F(x^2 + 1) > F(2x) \iff x^2 + 1 > 2x \iff (x - 1)^2 > 0 \iff x \neq 1$ .

(δ) Θέτουμε $g(x) = x - F(x)$ , $x \ge 0$ . Είναι $g'(x) = 1 - e^{-x^2} > 0$ για $x > 0$ , άρα η $g$ είναι γνησίως αύξουσα στο $[0, +\infty)$ . Επομένως $g(x) \ge g(0) = 0 - F(0) = 0$ , δηλαδή $F(x) \le x$ .

Η «στροφή»: δεν χρειάζεσαι τον τύπο της $F$ . Η παράγωγός της σού δίνει μονοτονία, και η μονοτονία σού επιτρέπει να «διώξεις» την $F$ από εξισώσεις και ανισώσεις.

Συνηθισμένα λάθη

$\left(\int_\alpha^{g(x)} f(t)\,dt\right)' = f(g(x))$ : ξεχασμένος παράγοντας $g'(x)$ .
$\left(\int_\alpha^x f(t)\,dt\right)' = f(x) - f(\alpha)$ : σύγχυση με τον τύπο Newton–Leibniz. Η παράγωγος είναι σκέτο $f(x)$ .
Παραγωγίζεις την $\int_\alpha^x x f(t)\,dt$ χωρίς να βγάλεις πρώτα το $x$ έξω από το ολοκλήρωμα.
Δίνεις ως πεδίο ορισμού της $F$ όλο το ΠΟ της $f$ ακόμη κι όταν είναι ένωση διαστημάτων — η $F$ «ζει» μόνο στο διάστημα που περιέχει το $\alpha$ .

Σύνοψη — τι κρατάμε

$f$ συνεχής σε διάστημα $\Delta$ , $\alpha \in \Delta$ ⇒ η $F(x) = \int_\alpha^x f(t)\,dt$ είναι παραγωγίσιμη με $F' = f$ , και $F(\alpha) = 0$ .
$\left(\int_\alpha^{g(x)} f(t)\,dt\right)' = f(g(x))\,g'(x)$ · με δύο μεταβλητά άκρα σπάς μέσω σταθερού $\alpha$ .
Άρα κάθε συνεχής συνάρτηση σε διάστημα έχει παράγουσα.
$f(x) = c + \int_\alpha^x f(t)\,dt$ ⇒ $f' = f$ και $f(\alpha) = c$ ⇒ $f(x) = c\,e^{x - \alpha}$ .
Όρια $\frac{0}{0}$ με ολοκληρώματα: De L'Hospital, αφού η παράγωγος του ολοκληρώματος είναι γνωστή.

Ένα εμβαδόν που «τρέχει»

Φαντάσου το κοντέρ χιλιομέτρων ενός αυτοκινήτου: η ταχύτητα κάθε στιγμή είναι η

f(t)

, και το κοντέρ δείχνει τη συνολική απόσταση που έχει μαζευτεί μέχρι τη στιγμή

x

. Αυτό ακριβώς είναι η συνάρτηση:

F(x) = \int_{\alpha}^{x} f(t) \, dt

Αν η

f

είναι συνεχής σε διάστημα

\Delta

και

\alpha \in \Delta

, τότε για κάθε

x \in \Delta

F(x)

είναι ένας συγκεκριμένος αριθμός — το «συσσωρευμένο εμβαδόν» (με πρόσημο) από το σταθερό άκρο

\alpha

μέχρι το κινούμενο άκρο

x

. Καθώς το

x

μετακινείται, η τιμή αλλάζει: η

F

είναι συνάρτηση του $x$ .

Πρόσεξε τους ρόλους: το

t

είναι η «βουβή» μεταβλητή ολοκλήρωσης (ζει μόνο μέσα στο ολοκλήρωμα), ενώ το

x

είναι η πραγματική μεταβλητή της

F

. Και μια τιμή «δώρο»:

F(\alpha) = \int_{\alpha}^{\alpha} f(t) \, dt = 0

Το Θεμελιώδες Θεώρημα: F′ = f

Το μεγάλο αποτέλεσμα του Ολοκληρωτικού Λογισμού: αν η

f

είναι συνεχής στο

\Delta

και

\alpha \in \Delta

, τότε η

F(x) = \int_{\alpha}^{x} f(t) \, dt

είναι μία παράγουσα της $f$ στο $\Delta$ , δηλαδή είναι παραγωγίσιμη με:

F'(x) = \left( \int_{\alpha}^{x} f(t) \, dt \right)' = f(x)

Διαισθητικά: μετακινώντας το

x

κατά ένα μικροσκοπικό

h

, το εμβαδόν αυξάνεται κατά μια «λωρίδα» πλάτους

h

και ύψους περίπου

f(x)

— άρα ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού είναι το ύψος

f(x)

. Στο παράδειγμα του αυτοκινήτου: ο ρυθμός που γράφει το κοντέρ είναι... η ταχύτητα.

Αυτό το θεώρημα εξασφαλίζει ότι κάθε συνεχής συνάρτηση έχει παράγουσα, και είναι η γέφυρα που οδηγεί στον τύπο Newton–Leibniz

\int_{\alpha}^{\beta} f(t)\,dt = G(\beta) - G(\alpha)

Μεταβλητά άκρα — ο κανόνας αλυσίδας σε δράση

Όταν το πάνω άκρο είναι συνάρτηση

g(x)

, η

\int_{\alpha}^{g(x)} f(t)\,dt

είναι η σύνθεση

F(g(x))

, οπότε από τον κανόνα αλυσίδας:

\left( \int_{\alpha}^{g(x)} f(t) \, dt \right)' = f(g(x)) \cdot g'(x)

Αν και τα δύο άκρα μεταβάλλονται, σπας το ολοκλήρωμα μέσω σταθερού

\alpha

\int_{g(x)}^{h(x)} f(t) \, dt = \int_{\alpha}^{h(x)} f(t) \, dt - \int_{\alpha}^{g(x)} f(t) \, dt

και παραγωγίζοντας:

f(h(x)) \cdot h'(x) - f(g(x)) \cdot g'(x)

Π.χ.

\left( \int_{0}^{x^2} e^{t} \, dt \right)' = e^{x^2} \cdot 2x

και

\left( \int_{x}^{x^2} e^{t} \, dt \right)' = 2x e^{x^2} - e^{x}

Η Συνάρτηση F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt

Μια συνάρτηση χωρίς «τύπο»;

Ένα εμβαδόν που «τρέχει»

Πεδίο ορισμού της F(x)=∫αxf(t) dtF(x) = \int_\alpha^x f(t)\,dtF(x)=∫αx​f(t)dt

Το Θεμελιώδες Θεώρημα: F′ = f

Μεταβλητά άκρα — ο κανόνας αλυσίδας σε δράση

Μέθοδος: μελέτη συνάρτησης που ορίζεται με ολοκλήρωμα

Η Συνάρτηση F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt

Μια συνάρτηση χωρίς «τύπο»;

Ένα εμβαδόν που «τρέχει»

Πεδίο ορισμού της F(x)=∫αxf(t) dtF(x) = \int_\alpha^x f(t)\,dtF(x)=∫αx​f(t)dt

Το Θεμελιώδες Θεώρημα: F′ = f

Μεταβλητά άκρα — ο κανόνας αλυσίδας σε δράση

Μέθοδος: μελέτη συνάρτησης που ορίζεται με ολοκλήρωμα

Πεδίο ορισμού της $F(x) = \int_\alpha^x f(t)\,dt$

Πεδίο ορισμού της $F(x) = \int_\alpha^x f(t)\,dt$