🧭

Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Οξείας Γωνίας

εφθ, ημθ, συνθ ως λόγοι πλευρών σε ορθογώνιο τρίγωνο

Τι σημαίνει η πινακίδα «κλίση 10%»;

Στους ορεινούς δρόμους βλέπεις πινακίδες με ένα φορτηγό σε ανηφόρα και την ένδειξη $10\%$ . Σημαίνει: για κάθε $100$ m που προχωράς οριζόντια, ανεβαίνεις $10$ m. Αυτός ο λόγος $\frac{10}{100}$ λέγεται εφαπτομένη της γωνίας του δρόμου. Με τρεις τέτοιους λόγους μετράς το ύψος ενός δέντρου χωρίς να ανέβεις, ή την απόσταση ενός πλοίου χωρίς να κολυμπήσεις ως εκεί.

Η μεγάλη ιδέα: σταθεροί λόγοι

Όλα τα ορθογώνια τρίγωνα που έχουν την ίδια οξεία γωνία $\theta$ είναι «μεγεθύνσεις» το ένα του άλλου. Γι' αυτό οι λόγοι των πλευρών τους δεν αλλάζουν — εξαρτώνται μόνο από τη γωνία $\theta$ , όχι από το μέγεθος του τριγώνου!

Ως προς τη γωνία $\theta$ ονομάζουμε: απέναντι κάθετη πλευρά αυτή που βρίσκεται απέναντι από τη $\theta$ , προσκείμενη κάθετη πλευρά αυτή που «ακουμπά» στη $\theta$ , και φυσικά υποτείνουσα την πλευρά απέναντι από την ορθή γωνία.

Οι τρεις τριγωνομετρικοί αριθμοί

Η εφαπτομένη $\varepsilon\varphi\theta$ είναι ο λόγος της απέναντι προς την προσκείμενη κάθετη πλευρά. Εκφράζει την κλίση: ένας δρόμος με κλίση $10\%$ ανεβαίνει $10 \text{ m}$ για κάθε $100 \text{ m}$ οριζόντια, δηλαδή $\varepsilon\varphi\theta = 0{,}10$ .
Το ημίτονο $\eta\mu\theta$ είναι ο λόγος της απέναντι κάθετης πλευράς προς την υποτείνουσα.
Το συνημίτονο $\sigma\upsilon\nu\theta$ είναι ο λόγος της προσκείμενης κάθετης πλευράς προς την υποτείνουσα.

$\eta\mu\theta = \frac{\text{απέναντι}}{\text{υποτείνουσα}} \qquad \sigma\upsilon\nu\theta = \frac{\text{προσκείμενη}}{\text{υποτείνουσα}} \qquad \varepsilon\varphi\theta = \frac{\text{απέναντι}}{\text{προσκείμενη}}$

Σε κύκλο ακτίνας 1 η υποτείνουσα είναι 1 — έτσι το ημθ γίνεται το «ύψος» του σημείου και το συνθ η οριζόντια απόστασή του. Σύρε τη γωνία και δες τους λόγους ζωντανά.

Ήξερες ότι;

Ο Ίππαρχος από τη Νίκαια (2ος αι. π.Χ.), από τους μεγαλύτερους αστρονόμους της αρχαιότητας, έφτιαξε τον πρώτο γνωστό τριγωνομετρικό πίνακα — έναν «πίνακα χορδών», πρόγονο των σημερινών τιμών του $\eta\mu\theta$ . Τον χρειαζόταν για να υπολογίζει τις θέσεις του Ήλιου και της Σελήνης. Η λέξη «τριγωνομετρία» σημαίνει απλώς μέτρηση τριγώνων.

Παράδειγμα (από τις πλευρές στους αριθμούς): Ορθογώνιο τρίγωνο $AB\Gamma$ έχει $\hat{A} = 90°$ , $AB = 8$ , $A\Gamma = 6$ και $B\Gamma = 10$ . Να βρεθούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών $\hat{B}$ και $\hat{\Gamma}$ .

Γωνία $\hat{B}$ : απέναντι κάθετη η $A\Gamma = 6$ , προσκείμενη η $AB = 8$ , υποτείνουσα $10$ :

$\eta\mu B = \frac{6}{10} = 0{,}6 \qquad \sigma\upsilon\nu B = \frac{8}{10} = 0{,}8 \qquad \varepsilon\varphi B = \frac{6}{8} = 0{,}75$

Γωνία $\hat{\Gamma}$ : τώρα οι ρόλοι αλλάζουν — απέναντι η $AB = 8$ , προσκείμενη η $A\Gamma = 6$ :

$\eta\mu\Gamma = 0{,}8 \qquad \sigma\upsilon\nu\Gamma = 0{,}6 \qquad \varepsilon\varphi\Gamma = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

Παρατήρησε: $\eta\mu B = \sigma\upsilon\nu\Gamma$ — οι γωνίες $\hat{B}$ , $\hat{\Gamma}$ είναι συμπληρωματικές.

Πώς μεταβάλλονται

Για οξεία γωνία $\theta$ (δηλαδή $0° < \theta < 90°$ ):

$0 < \eta\mu\theta < 1$ και $0 < \sigma\upsilon\nu\theta < 1$ — οι κάθετες πλευρές είναι πάντα μικρότερες από την υποτείνουσα
Η $\varepsilon\varphi\theta$ μπορεί να πάρει οποιαδήποτε θετική τιμή, και μεγαλύτερη του 1
Όταν η $\theta$ μεγαλώνει: το $\eta\mu\theta$ και η $\varepsilon\varphi\theta$ αυξάνονται, ενώ το $\sigma\upsilon\nu\theta$ μειώνεται

Οι «χρυσές» γωνίες 30°, 45°, 60°

Αυτές τις τιμές τις χρησιμοποιείς ξανά και ξανά:

$\eta\mu 30° = \frac{1}{2}$ , $\sigma\upsilon\nu 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , $\varepsilon\varphi 30° = \frac{\sqrt{3}}{3}$
$\eta\mu 45° = \sigma\upsilon\nu 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$ , $\varepsilon\varphi 45° = 1$
$\eta\mu 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , $\sigma\upsilon\nu 60° = \frac{1}{2}$ , $\varepsilon\varphi 60° = \sqrt{3}$

Παρατήρησε τη συμμετρία: $\eta\mu 30° = \sigma\upsilon\nu 60°$ και $\eta\mu 60° = \sigma\upsilon\nu 30°$ — οι γωνίες $30°$ και $60°$ είναι συμπληρωματικές.

Κόλπο μνήμης

Το συνημίτονο παίρνει την πλευρά που είναι «συν» — μαζί — με τη γωνία, δηλαδή την προσκείμενη. Η εφαπτομένη είναι ο μόνος λόγος χωρίς υποτείνουσα. Για τις «χρυσές» γωνίες $30°, 45°, 60°$ , το $\eta\mu$ ακολουθεί τη σκάλα $\frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}$ και το $\sigma\upsilon\nu$ την ίδια σκάλα ανάποδα.

Γρήγορος έλεγχος

Σε ορθογώνιο τρίγωνο μια οξεία γωνία $\theta$ έχει $\varepsilon\varphi\theta = 1$ . Τι συμπεραίνουμε;

Μέθοδος: λύνω ορθογώνιο τρίγωνο με τριγωνομετρία

Σημάδεψε τη γωνία $\theta$ που δίνεται (ή ζητείται).
Ονόμασε τις πλευρές ως προς αυτήν: απέναντι, προσκείμενη, υποτείνουσα.
Κοίτα ποια πλευρά ξέρεις και ποια ζητάς και διάλεξε τον αριθμό που τις συνδέει: απέναντι–υποτείνουσα $\to \eta\mu$ , προσκείμενη–υποτείνουσα $\to \sigma\upsilon\nu$ , απέναντι–προσκείμενη $\to \varepsilon\varphi$ .
Γράψε την ισότητα και λύσε ως προς το άγνωστο μήκος.
Λογικός έλεγχος: κάθε κάθετη πλευρά είναι μικρότερη από την υποτείνουσα.

Άσκηση: Από σημείο του εδάφους που απέχει $12 \text{ m}$ από τη βάση ενός δέντρου, βλέπουμε την κορυφή του υπό γωνία $30°$ . Πόσο είναι το ύψος του δέντρου; (Δίνεται $\sqrt{3} \approx 1{,}73$ .)

Λύση: Σχηματίζεται ορθογώνιο τρίγωνο με προσκείμενη στη γωνία $30°$ την απόσταση $12 \text{ m}$ και απέναντι το ζητούμενο ύψος $h$ . Ο λόγος που συνδέει απέναντι και προσκείμενη είναι η εφαπτομένη:

$\varepsilon\varphi 30° = \frac{h}{12} \Rightarrow h = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \approx 4 \cdot 1{,}73 \approx 6{,}9 \text{ m}$

Λογικός έλεγχος: γωνία $30° < 45°$ σημαίνει ύψος μικρότερο από την απόσταση $12 \text{ m}$ . ✓

Παράδειγμα 3 (σκάλα): Σκάλα μήκους $4$ m ακουμπά σε τοίχο και σχηματίζει με το έδαφος γωνία $60°$ . (α) Σε ποιο ύψος φτάνει; (β) Πόσο απέχει η βάση της από τον τοίχο; (Δίνεται $\sqrt{3} \approx 1{,}73$ .)

Η σκάλα είναι η υποτείνουσα. Ως προς τη γωνία $60°$ , το ύψος $h$ είναι απέναντι και η απόσταση $d$ προσκείμενη.

(α) Απέναντι–υποτείνουσα $\to$ ημίτονο:

$\eta\mu 60° = \frac{h}{4} \Rightarrow h = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \approx 3{,}46 \text{ m}$

(β) Προσκείμενη–υποτείνουσα $\to$ συνημίτονο:

$\sigma\upsilon\nu 60° = \frac{d}{4} \Rightarrow d = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2 \text{ m}$

Έλεγχος με Πυθαγόρειο: $h^2 + d^2 = 12 + 4 = 16 = 4^2$ ✓

Γρήγορος έλεγχος

Σε ορθογώνιο τρίγωνο, η υποτείνουσα είναι $13$ και η απέναντι από τη γωνία $\theta$ κάθετη πλευρά είναι $5$ . Πόσο είναι το $\eta\mu\theta$ ;

Γρήγορος έλεγχος

Σε ορθογώνιο τρίγωνο η υποτείνουσα είναι $20$ και μια οξεία γωνία $30°$ . Πόση είναι η κάθετη πλευρά απέναντι από τη γωνία αυτή;

Πρόκληση

Για μια οξεία γωνία $\theta$ ξέρεις μόνο ότι $\eta\mu\theta = \frac{3}{5}$ . Χωρίς αριθμομηχανή, βρες το $\sigma\upsilon\nu\theta$ και την $\varepsilon\varphi\theta$ . Μετά υπολόγισε το $(\eta\mu\theta)^2 + (\sigma\upsilon\nu\theta)^2$ — τι παρατηρείς;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Οι λόγοι εξαρτώνται μόνο από τη γωνία, άρα διαλέγουμε ένα βολικό ορθογώνιο τρίγωνο: απέναντι πλευρά $3$ , υποτείνουσα $5$ .

Προσκείμενη (Πυθαγόρειο): $\sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ .

Άρα $\sigma\upsilon\nu\theta = \frac{4}{5} = 0{,}8$ και $\varepsilon\varphi\theta = \frac{3}{4} = 0{,}75$ .

Παρατήρηση: $\left(\frac{3}{5}\right)^2 + \left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = \frac{25}{25} = 1$ . Δεν είναι σύμπτωση: είναι το Πυθαγόρειο «μεταμφιεσμένο», και ισχύει για κάθε γωνία — θα το συναντήσεις ξανά στην επόμενη τάξη.

Πριν γράψεις λόγο, σημάδεψε τη γωνία $\theta$ στο σχήμα και ονόμασε τις πλευρές ως προς αυτήν — το πιο συχνό λάθος είναι να πάρεις «απέναντι» και «προσκείμενη» ως προς τη λάθος γωνία. Και πάντα ο έλεγχος-ασπίδα: αν σου βγει $\eta\mu\theta$ ή $\sigma\upsilon\nu\theta$ μεγαλύτερο από $1$ , έχεις αντιστρέψει τον λόγο.

Συνηθισμένα λάθη

Αριθμομηχανή σε λάθος μονάδα: πριν πατήσεις $\sin$ , έλεγξε ότι η οθόνη γράφει DEG (μοίρες). Σε RAD το $\eta\mu 30°$ βγαίνει $-0{,}988$ — αδύνατο για οξεία γωνία.
Εφαπτομένη όταν μπαίνει η υποτείνουσα: η $\varepsilon\varphi$ συνδέει μόνο τις δύο κάθετες· αν στο πρόβλημα υπάρχει υποτείνουσα, θέλεις $\eta\mu$ ή $\sigma\upsilon\nu$ .
Άγνωστος στον παρονομαστή: από $\sigma\upsilon\nu\theta = \frac{8}{x}$ βγαίνει $x = \frac{8}{\sigma\upsilon\nu\theta}$ — διαιρείς, δεν πολλαπλασιάζεις.

Σύνοψη — τι κρατάμε

$\eta\mu\theta = \frac{\text{απέναντι}}{\text{υποτείνουσα}}$ , $\sigma\upsilon\nu\theta = \frac{\text{προσκείμενη}}{\text{υποτείνουσα}}$ , $\varepsilon\varphi\theta = \frac{\text{απέναντι}}{\text{προσκείμενη}}$ .
Εξαρτώνται μόνο από τη γωνία, όχι από το μέγεθος του τριγώνου.
Για οξεία γωνία: $0 < \eta\mu\theta < 1$ , $0 < \sigma\upsilon\nu\theta < 1$ , $\varepsilon\varphi\theta > 0$ .
$30°$ : $\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{3}$ · $45°$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, 1$ · $60°$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, \sqrt{3}$ (ημ, συν, εφ).
Συμπληρωματικές γωνίες: το ημίτονο της μίας είναι το συνημίτονο της άλλης.

Η μεγάλη ιδέα: σταθεροί λόγοι

Όλα τα ορθογώνια τρίγωνα που έχουν την ίδια οξεία γωνία

\theta

είναι «μεγεθύνσεις» το ένα του άλλου. Γι' αυτό οι λόγοι των πλευρών τους δεν αλλάζουν — εξαρτώνται μόνο από τη γωνία

\theta

, όχι από το μέγεθος του τριγώνου!

Ως προς τη γωνία

\theta

ονομάζουμε: απέναντι κάθετη πλευρά αυτή που βρίσκεται απέναντι από τη

\theta

, προσκείμενη κάθετη πλευρά αυτή που «ακουμπά» στη

\theta

, και φυσικά υποτείνουσα την πλευρά απέναντι από την ορθή γωνία.