⬡

Κανονικά Πολύγωνα

Κεντρική γωνία ω = 360°/ν, γωνία φ = 180° − ω, εγγραφή σε κύκλο

Γιατί οι μέλισσες φτιάχνουν εξάγωνα;

Οι κυψέλες είναι γεμάτες κανονικά εξάγωνα — όχι κύκλους, όχι πεντάγωνα. Οι κύκλοι αφήνουν κενά ανάμεσά τους. Τα πεντάγωνα δεν «κουμπώνουν» μεταξύ τους. Τα εξάγωνα όμως καλύπτουν τον χώρο χωρίς κενά και με λίγο κερί. Γιατί ακριβώς μόνο λίγα κανονικά πολύγωνα «κουμπώνουν»; Στο τέλος του κεφαλαίου θα το αποδείξεις μόνος σου, με μία μόνο γωνία.

Τα πιο «δίκαια» σχήματα

Κοίτα μια κυψέλη μέλισσας, ένα σήμα STOP, ένα κομμάτι σκάκι σε παλιά πλακάκια: παντού σχήματα όπου τίποτα δεν ξεχωρίζει — κάθε πλευρά ίδια με τις άλλες, κάθε γωνία ίδια με τις άλλες. Ένα πολύγωνο που έχει όλες τις πλευρές ίσες ΚΑΙ όλες τις γωνίες ίσες λέγεται κανονικό πολύγωνο.

Το «ΚΑΙ» είναι κρίσιμο, γιατί το ένα δεν συνεπάγεται το άλλο:

Ο ρόμβος έχει ίσες πλευρές αλλά όχι ίσες γωνίες — δεν είναι κανονικό.
Το ορθογώνιο έχει ίσες γωνίες αλλά όχι ίσες πλευρές — ούτε αυτό.

Τα πρώτα μέλη της οικογένειας: το ισόπλευρο τρίγωνο ( $\nu = 3$ ), το τετράγωνο ( $\nu = 4$ ), το κανονικό πεντάγωνο, το κανονικό εξάγωνο της κυψέλης, το κανονικό οκτάγωνο του STOP.

Η πίτσα των ν κομματιών

Κάθε κανονικό πολύγωνο κρύβει μέσα του έναν κύκλο — ή μάλλον, κατοικεί μέσα σε έναν: όλες οι κορυφές του βρίσκονται πάνω στον ίδιο κύκλο, λέμε ότι το πολύγωνο εγγράφεται στον κύκλο. Αυτό μας δίνει και τη συνταγή κατασκευής: χώρισε τον κύκλο σε $\nu$ ίσα τόξα και ένωσε τα διαδοχικά σημεία — έτοιμο το κανονικό $\nu$ -γωνο.

Αν ενώσεις το κέντρο $O$ με δύο διαδοχικές κορυφές, σχηματίζεται η κεντρική γωνία $\omega$ του πολυγώνου. Είναι σαν να κόβεις μια πίτσα σε $\nu$ ολόιδια κομμάτια: οι $\nu$ κεντρικές γωνίες μοιράζονται εξίσου τις $360°$ του κύκλου.

$\omega = \frac{360°}{\nu}$

Γρήγορος έλεγχος

Πόση είναι η κεντρική γωνία $\omega$ ενός κανονικού δεκαγώνου ( $\nu = 10$ );

Γρήγορος έλεγχος

Ένα κανονικό πολύγωνο έχει κεντρική γωνία $\omega = 24°$ . Πόσες πλευρές έχει;

Η γωνία του πολυγώνου — και το κόλπο του 180°

Η γωνία $\varphi$ που βλέπεις σε κάθε κορυφή του πολυγώνου συνδέεται με την $\omega$ με μια πανέμορφη σχέση. Κάθε «κομμάτι πίτσας» $OAB$ είναι ισοσκελές τρίγωνο (οι δύο πλευρές του είναι ακτίνες!), οπότε οι γωνίες στη βάση του είναι ίσες, καθεμιά $\frac{180° - \omega}{2}$ . Η γωνία $\varphi$ του πολυγώνου σχηματίζεται από δύο τέτοιες γωνίες βάσης, μία από κάθε γειτονικό τρίγωνο:

$\varphi = 2 \cdot \frac{180° - \omega}{2} = 180° - \omega$

Δηλαδή κεντρική γωνία και γωνία του πολυγώνου είναι παραπληρωματικές: $\varphi + \omega = 180°$ , πάντα, για κάθε κανονικό πολύγωνο. Ξέρεις τη μία; Ξέρεις και την άλλη.

$\varphi = 180° - \omega = 180° - \frac{360°}{\nu} \qquad \varphi + \omega = 180°$

Μεγάλωσε το πλήθος των πλευρών ν και παρακολούθησε τις δύο γωνίες — θα ανακαλύψεις ότι η ω μικραίνει, η φ μεγαλώνει πλησιάζοντας τις 180°, αλλά το άθροισμά τους μένει καρφωμένο στις 180°.

Κόλπο μνήμης

Φαντάσου ότι περπατάς γύρω από το πολύγωνο. Σε κάθε κορυφή στρίβεις κατά $\omega$ . Μετά από $\nu$ στροφές έχεις κάνει έναν πλήρη γύρο, άρα $\nu \cdot \omega = 360°$ , δηλαδή $\omega = \frac{360°}{\nu}$ . Και η γωνία $\varphi$ του πολυγώνου είναι ό,τι «μένει» από την ευθεία όταν στρίβεις: $\varphi = 180° - \omega$ .

Γρήγορος έλεγχος

Πόση είναι η γωνία $\varphi$ του κανονικού εξαγώνου ( $\nu = 6$ );

Μέθοδος: κατασκευή κανονικού ν-γώνου

Σχεδίασε κύκλο με κέντρο $O$ και ακτίνα όση θέλεις.
Υπολόγισε την κεντρική γωνία $\omega = \frac{360°}{\nu}$ .
Με το μοιρογνωμόνιο, σχημάτισε γύρω από το $O$ διαδοχικές επίκεντρες γωνίες $\omega$ · οι πλευρές τους τέμνουν τον κύκλο στις κορυφές.
Ένωσε διαδοχικά τις κορυφές. Για το εξάγωνο υπάρχει κι ένα κόλπο: η πλευρά του ισούται με την ακτίνα, οπότε αρκεί ο διαβήτης.

Ήξερες ότι;

Το $1796$ ο $18$ χρονος Καρλ Φρίντριχ Γκάους απέδειξε ότι το κανονικό $17$ -γωνο κατασκευάζεται μόνο με κανόνα και διαβήτη — κάτι που κανείς δεν είχε βρει για πάνω από $2000$ χρόνια, από την εποχή του Ευκλείδη. Αντίθετα, το κανονικό επτάγωνο δεν κατασκευάζεται ποτέ ακριβώς με κανόνα και διαβήτη· γι' αυτό η μέθοδος με το μοιρογνωμόνιο, που μαθαίνεις εδώ, είναι τόσο χρήσιμη.

Παράδειγμα 2 (κανονικό εξάγωνο): Κανονικό εξάγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας $\rho = 6$ cm. Να βρεθούν η πλευρά και η περίμετρός του.

Η κεντρική γωνία είναι $\omega = \frac{360°}{6} = 60°$ . Στο τρίγωνο $OAB$ είναι $OA = OB = 6$ (ακτίνες), άρα είναι ισοσκελές, με γωνίες βάσης $\frac{180° - 60°}{2} = 60°$ . Όλες οι γωνίες του είναι $60°$ : το $OAB$ είναι ισόπλευρο!

Επομένως η πλευρά του εξαγώνου ισούται με την ακτίνα: $AB = 6$ cm, και η περίμετρος είναι $6 \cdot 6 = 36$ cm.

Λογικός έλεγχος: το μήκος του κύκλου είναι $2 \cdot 3{,}14 \cdot 6 = 37{,}68$ cm, λίγο μεγαλύτερο από την περίμετρο του εξαγώνου — όπως πρέπει, αφού το εξάγωνο είναι «μέσα» στον κύκλο. ✓

Άσκηση: Η γωνία ενός κανονικού πολυγώνου είναι $\varphi = 135°$ . (α) Πόσες πλευρές έχει το πολύγωνο; (β) Σε πόσα ίσα τόξα χωρίζουν οι κορυφές του τον περιγεγραμμένο κύκλο και πόσων μοιρών είναι το καθένα;

Λύση: (α) Αφού $\varphi + \omega = 180°$ :

$\omega = 180° - 135° = 45°$

Και από τον τύπο $\omega = \frac{360°}{\nu}$ :

$\nu = \frac{360°}{\omega} = \frac{360°}{45°} = 8$

Είναι κανονικό οκτάγωνο — το σχήμα του σήματος STOP.

(β) Οι $8$ κορυφές χωρίζουν τον κύκλο σε $8$ ίσα τόξα, το καθένα ίσο με την κεντρική γωνία: $45°$ .

Έλεγχος: $8 \cdot 45° = 360°$ ✓ και $\varphi = 180° - 45° = 135°$ ✓.

Παράδειγμα 3 (κανονικό πεντάγωνο): Να βρεθούν η κεντρική γωνία, η γωνία και οι γωνίες βάσης του τριγώνου $OAB$ ενός κανονικού πενταγώνου $AB\Gamma\Delta E$ με κέντρο $O$ .

Κεντρική γωνία: $\omega = \frac{360°}{5} = 72°$
Γωνία πολυγώνου: $\varphi = 180° - 72° = 108°$
Το $OAB$ είναι ισοσκελές ( $OA = OB$ ), με γωνίες βάσης $\frac{180° - 72°}{2} = 54°$ — δηλαδή ακριβώς $\frac{\varphi}{2}$ .

Έλεγχος: οι $5$ γωνίες του πενταγώνου αθροίζουν $5 \cdot 108° = 540°$ , όσο και το γνωστό άθροισμα γωνιών κάθε πενταγώνου. ✓

Γρήγορος έλεγχος

Υπάρχει κανονικό πολύγωνο με γωνία $\varphi = 100°$ ;

Γρήγορος έλεγχος

Κανονικό εξάγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας $5$ cm. Πόση είναι η πλευρά του;

Γρήγορος έλεγχος

Πόση είναι η γωνία $\varphi$ ενός κανονικού δωδεκαγώνου ( $\nu = 12$ );

Πρόκληση

Ποια κανονικά πολύγωνα (όλα ίδια μεταξύ τους) μπορούν να στρώσουν ένα πάτωμα χωρίς κενά και χωρίς επικαλύψεις;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Γύρω από κάθε κορυφή του πλακόστρωτου συναντιούνται $k$ πλακάκια και οι γωνίες τους πρέπει να γεμίζουν ακριβώς $360°$ : $k \cdot \varphi = 360°$ . Άρα το $\frac{360°}{\varphi}$ πρέπει να είναι ακέραιος.

Τρίγωνο: $\varphi = 60°$ , $\frac{360}{60} = 6$ ✓
Τετράγωνο: $\varphi = 90°$ , $\frac{360}{90} = 4$ ✓
Πεντάγωνο: $\varphi = 108°$ , $\frac{360}{108} \approx 3{,}33$ ✗
Εξάγωνο: $\varphi = 120°$ , $\frac{360}{120} = 3$ ✓
Για $\nu \geq 7$ : $\varphi > 120°$ και $\varphi < 180°$ , άρα $\frac{360°}{\varphi}$ είναι ανάμεσα στο $2$ και στο $3$ — ποτέ ακέραιος ✗

Απάντηση: μόνο ισόπλευρα τρίγωνα, τετράγωνα και κανονικά εξάγωνα. Γι' αυτό τα πλακάκια με οκτάγωνα χρειάζονται και μικρά τετράγωνα: $135° + 135° + 90° = 360°$ .

Όλες οι ασκήσεις των κανονικών πολυγώνων λύνονται με το ίδιο τρίγωνο εργαλείων: $\omega = \frac{360°}{\nu}$ και $\varphi + \omega = 180°$ . Στα αντίστροφα προβλήματα («δίνεται η γωνία, βρες τις πλευρές») πήγαινε πάντα μέσω της $\omega$ : από τη $\varphi$ βρες $\omega = 180° - \varphi$ , μετά $\nu = \frac{360°}{\omega}$ — και έλεγξε ότι το $\nu$ βγήκε ακέραιος, αλλιώς τέτοιο πολύγωνο δεν υπάρχει. Χρήσιμες τιμές για γρήγορο έλεγχο: τρίγωνο $60°$ , τετράγωνο $90°$ , πεντάγωνο $108°$ , εξάγωνο $120°$ , οκτάγωνο $135°$ .

Συνηθισμένα λάθη

Ρόμβος ή ορθογώνιο ως κανονικό: χρειάζονται και ίσες πλευρές και ίσες γωνίες — από τα τετράπλευρα μόνο το τετράγωνο είναι κανονικό.
Σύγχυση $\omega$ και $\varphi$ : η $\omega$ είναι στο κέντρο, η $\varphi$ στην κορυφή του πολυγώνου.
$\nu = \frac{360°}{\varphi}$ : λάθος τύπος. Το $360°$ μοιράζεται στις κεντρικές γωνίες: $\nu = \frac{360°}{\omega}$ .
$\omega = \frac{180°}{\nu}$ : ολόκληρος ο κύκλος είναι $360°$ , όχι $180°$ .

Σύνοψη — τι κρατάμε

Κανονικό πολύγωνο: όλες οι πλευρές ίσες και όλες οι γωνίες ίσες · εγγράφεται σε κύκλο.
Κεντρική γωνία: $\omega = \frac{360°}{\nu}$ .
Γωνία πολυγώνου: $\varphi = 180° - \omega$ , δηλαδή $\varphi + \omega = 180°$ .
Αντίστροφα: $\omega = 180° - \varphi$ και $\nu = \frac{360°}{\omega}$ — πρέπει να βγει φυσικός.
Κανονικό εξάγωνο: πλευρά $=$ ακτίνα.

Τα πιο «δίκαια» σχήματα

Το «ΚΑΙ» είναι κρίσιμο, γιατί το ένα δεν συνεπάγεται το άλλο:

Ο ρόμβος έχει ίσες πλευρές αλλά όχι ίσες γωνίες — δεν είναι κανονικό.

Το ορθογώνιο έχει ίσες γωνίες αλλά όχι ίσες πλευρές — ούτε αυτό.

Τα πρώτα μέλη της οικογένειας: το ισόπλευρο τρίγωνο (

\nu = 3

), το τετράγωνο (

\nu = 4

), το κανονικό πεντάγωνο, το κανονικό εξάγωνο της κυψέλης, το κανονικό οκτάγωνο του STOP.