🧩

Πολυώνυμα & Πολυωνυμικές Εξισώσεις

Διαίρεση πολυωνύμων, σχήμα Horner, παράγοντας x−ρ

Γιατί με νοιάζει;

Κάθε φορά που ένας υπολογιστής σχεδιάζει μια καμπύλη — ένα γράμμα στην οθόνη, μια πίστα σε βιντεοπαιχνίδι — υπολογίζει τιμές πολυωνύμων, εκατομμύρια φορές. Ο πιο οικονομικός τρόπος είναι το σχήμα Horner αυτού του κεφαλαίου: για πολυώνυμο 3ου βαθμού θέλει $3$ πολλαπλασιασμούς αντί για $6$ . Και το ίδιο σχήμα σού λύνει στο χέρι εξισώσεις 3ου βαθμού και πάνω.

Τι είναι πολυώνυμο

Ένα πολυώνυμο του $x$ είναι παράσταση της μορφής $P(x) = \alpha_\nu x^\nu + \alpha_{\nu-1} x^{\nu-1} + \dots + \alpha_1 x + \alpha_0$ . Αν $\alpha_\nu \neq 0$ , ο βαθμός του είναι $\nu$ : ο μεγαλύτερος εκθέτης που «επιζεί». Τα σταθερά πολυώνυμα $P(x) = c \neq 0$ έχουν βαθμό $0$ . Το μηδενικό πολυώνυμο δεν έχει βαθμό.

Η αριθμητική τιμή $P(\rho)$ προκύπτει με αντικατάσταση, και το $\rho$ λέγεται ρίζα του $P(x)$ όταν $P(\rho) = 0$ . Οι ρίζες είναι το κλειδί για όλο το κεφάλαιο.

Ίσα πολυώνυμα και βαθμός

Δύο πολυώνυμα είναι ίσα όταν έχουν ίσους τους συντελεστές των ομοβάθμιων όρων τους. Π.χ. αν $(\alpha - 1)x^2 + \beta x + 3 = 2x^2 - x + \gamma$ για κάθε $x$ , τότε $\alpha - 1 = 2$ , $\beta = -1$ και $\gamma = 3$ . Ένα πολυώνυμο είναι το μηδενικό όταν όλοι οι συντελεστές του είναι μηδέν.

Στις πράξεις, ο βαθμός του γινομένου δύο μη μηδενικών πολυωνύμων είναι το άθροισμα των βαθμών τους, ενώ ο βαθμός του αθροίσματος δεν ξεπερνά τον μεγαλύτερο από τους δύο βαθμούς.

Όταν οι συντελεστές περιέχουν παράμετρο, ο βαθμός εξαρτάται από αυτήν. Για το $P(x) = (\lambda^2 - 1)x^2 + (\lambda + 1)x + 3$ :

$\lambda \neq \pm 1$ : βαθμός $2$
$\lambda = 1$ : $P(x) = 2x + 3$ , βαθμός $1$
$\lambda = -1$ : $P(x) = 3$ , βαθμός $0$

Ήξερες ότι;

Για τις εξισώσεις 3ου και 4ου βαθμού υπάρχουν τύποι λύσης με ριζικά, όπως η διακρίνουσα για τον 2ο βαθμό — δημοσιεύτηκαν στο «Ars Magna» του Cardano το $1545$ . Για τον 5ο βαθμό και πάνω, όμως, ο Νορβηγός Niels Henrik Abel απέδειξε το $1824$ ότι τέτοιος γενικός τύπος δεν υπάρχει. Γι' αυτό ψάχνουμε ρίζες έξυπνα: διαιρέτες του σταθερού όρου και Horner.

Γρήγορος έλεγχος

Αν το $P(x)$ έχει βαθμό $3$ και το $Q(x)$ βαθμό $2$ , ποιος είναι ο βαθμός του γινομένου $P(x) \cdot Q(x)$ ;

Η ταυτότητα της διαίρεσης

Θυμήσου τη διαίρεση ακεραίων: $17 = 5 \cdot 3 + 2$ , με υπόλοιπο μικρότερο του διαιρέτη. Ακριβώς η ίδια ιδέα δουλεύει και στα πολυώνυμα. Όταν διαιρείς το $\Delta(x)$ με το $\delta(x) \neq 0$ , υπάρχουν μοναδικά πολυώνυμα $\pi(x)$ (πηλίκο) και $\upsilon(x)$ (υπόλοιπο). Ο βαθμός του υπολοίπου είναι μικρότερος από τον βαθμό του διαιρέτη. Αν $\upsilon(x) = 0$ , η διαίρεση είναι τέλεια και ο $\delta(x)$ είναι παράγοντας του $\Delta(x)$ .

Δ = δ·π + υ με το υπόλοιπο «να μην χωράει» άλλη φορά — η ευκλείδεια ιδέα περνάει αυτούσια στα πολυώνυμα.

$\Delta(x) = \delta(x) \cdot \pi(x) + \upsilon(x), \quad \deg\upsilon(x) < \deg\delta(x)$ $\text{Υπόλοιπο της } P(x) : (x - \rho) \text{ είναι το } P(\rho), \qquad (x - \rho) \text{ παράγοντας} \iff P(\rho) = 0$

Σχήμα Horner

Για διαιρέτη της μορφής $x - \rho$ δεν χρειάζεται η «μεγάλη» διαίρεση — το σχήμα Horner τα κάνει όλα με προσθέσεις και πολλαπλασιασμούς:

Γράφουμε στην πρώτη γραμμή όλους τους συντελεστές του $P(x)$ (και τα μηδενικά για όρους που λείπουν!) και δεξιά το $\rho$
Κατεβάζουμε τον πρώτο συντελεστή, τον πολλαπλασιάζουμε με $\rho$ , προσθέτουμε στον επόμενο — και επαναλαμβάνουμε
Ο τελευταίος αριθμός της κάτω γραμμής είναι το υπόλοιπο $P(\rho)$ και οι υπόλοιποι είναι οι συντελεστές του πηλίκου, που έχει βαθμό κατά $1$ μικρότερο

Αν βγει $0$ , κερδίσαμε διπλά: το $x - \rho$ είναι παράγοντας και έχουμε έτοιμη την παραγοντοποίηση.

Κόλπο μνήμης

«το υπόλοιπο είναι η τιμή εκεί που μηδενίζεται ο διαιρέτης». Διαιρείς με $x - 2$ ; Το υπόλοιπο είναι $P(2)$ . Διαιρείς με $x + 3$ ; Ο διαιρέτης μηδενίζεται στο $-3$ , άρα το υπόλοιπο είναι $P(-3)$ — όχι $P(3)$ .

Μέθοδος: επίλυση πολυωνυμικής εξίσωσης

Μετέφερε όλους τους όρους στο ένα μέλος: $P(x) = 0$ .
Δοκίμασε πρώτα κοινό παράγοντα ή ομαδοποίηση — αν πετύχει, γλιτώνεις το Horner.
Με ακέραιους συντελεστές, οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι οι διαιρέτες του σταθερού όρου. Βρες μία, $\rho$ , με δοκιμές: $P(\rho) = 0$ .
Με Horner διαίρεσε με $x - \rho$ και γράψε $P(x) = (x - \rho)\pi(x)$ .
Επανάλαβε στο πηλίκο μέχρι να φτάσεις σε τριώνυμο και λύσε το με τη διακρίνουσα.
Γράψε όλες τις ρίζες.

Παράδειγμα: Να γίνει η διαίρεση $(2x^3 - 3x^2 + 5) : (x + 1)$ με το σχήμα Horner.

Λύση: Ο διαιρέτης είναι $x + 1 = x - (-1)$ , άρα $\rho = -1$ . Ο όρος με $x$ λείπει, οπότε γράφουμε συντελεστή $0$ : οι συντελεστές είναι $2, -3, 0, 5$ .

Κατεβάζουμε το $2$ .
$2 \cdot (-1) = -2$ και $-3 + (-2) = -5$ .
$-5 \cdot (-1) = 5$ και $0 + 5 = 5$ .
$5 \cdot (-1) = -5$ και $5 + (-5) = 0$ .

Κάτω γραμμή: $2, -5, 5 \mid 0$ . Πηλίκο $\pi(x) = 2x^2 - 5x + 5$ και υπόλοιπο $0$ , άρα

$2x^3 - 3x^2 + 5 = (x + 1)(2x^2 - 5x + 5)$

Έλεγχος με το θεώρημα υπολοίπου: $P(-1) = -2 - 3 + 5 = 0$ ✓

Άσκηση: Να λυθεί η εξίσωση $x^3 - 4x^2 + x + 6 = 0$ .

Λύση: Οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι οι διαιρέτες του $6$ : $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ . Δοκιμάζουμε $\rho = -1$ : $P(-1) = -1 - 4 - 1 + 6 = 0$ ✓.

Σχήμα Horner με $\rho = -1$ στους συντελεστές $1, -4, 1, 6$ δίνει κάτω γραμμή $1, -5, 6, 0$ — υπόλοιπο $0$ και πηλίκο $x^2 - 5x + 6$ :

$x^3 - 4x^2 + x + 6 = (x + 1)(x^2 - 5x + 6) = (x + 1)(x - 2)(x - 3)$

Άρα οι λύσεις είναι $x = -1$ , $x = 2$ , $x = 3$ .

Μετά το Horner απομένει τριώνυμο — οι ρίζες του είναι τα σημεία όπου η παραβολή κόβει τον άξονα x'x.

Γρήγορος έλεγχος

Ποιο είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του $P(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 1$ με το $x - 2$ ;

Γρήγορος έλεγχος

Με τι ισούται το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου $P(x)$ με το $x + 2$ ;

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Δίνεται το πολυώνυμο $P(x) = x^3 + \alpha x^2 + \beta x - 6$ .

α) Να βρεθούν τα $\alpha, \beta$ , αν το $x - 1$ είναι παράγοντας του $P(x)$ και το υπόλοιπο της διαίρεσης του $P(x)$ με το $x + 1$ είναι $-8$ .

β) Για αυτές τις τιμές, να λυθεί η εξίσωση $P(x) = 0$ .

Λύση:

α) Το $x - 1$ είναι παράγοντας $\iff P(1) = 0 \iff 1 + \alpha + \beta - 6 = 0 \iff \alpha + \beta = 5$ .

Το υπόλοιπο με $x + 1$ είναι $P(-1) = -8 \iff -1 + \alpha - \beta - 6 = -8 \iff \alpha - \beta = -1$ .

Προσθέτοντας κατά μέλη: $2\alpha = 4 \iff \alpha = 2$ , οπότε $\beta = 3$ . Άρα $P(x) = x^3 + 2x^2 + 3x - 6$ .

β) Ξέρουμε ήδη τη ρίζα $1$ . Horner με $\rho = 1$ στους συντελεστές $1, 2, 3, -6$ : κάτω γραμμή $1, 3, 6 \mid 0$ , άρα

$P(x) = (x - 1)(x^2 + 3x + 6)$

Για το τριώνυμο $\Delta = 9 - 24 = -15 < 0$ , χωρίς πραγματικές ρίζες. Άρα η εξίσωση έχει μοναδική πραγματική λύση $x = 1$ .

Απάντηση: α) $\alpha = 2$ , $\beta = 3$ , β) $x = 1$ .

Πρόκληση

Ένα πολυώνυμο $P(x)$ διαιρούμενο με $x - 1$ αφήνει υπόλοιπο $3$ και διαιρούμενο με $x - 2$ αφήνει υπόλοιπο $5$ . Ποιο είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του $P(x)$ με το $(x - 1)(x - 2)$ ; Το ίδιο το $P(x)$ δεν το ξέρεις!

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Ο διαιρέτης $(x - 1)(x - 2)$ έχει βαθμό $2$ , άρα το υπόλοιπο έχει βαθμό το πολύ $1$ : $\upsilon(x) = \alpha x + \beta$ . Από την ταυτότητα της διαίρεσης:

$P(x) = (x - 1)(x - 2)\,\pi(x) + \alpha x + \beta$

Το κόλπο: βάζουμε τις τιμές που μηδενίζουν τον διαιρέτη, ώστε το άγνωστο πηλίκο να εξαφανιστεί.

$x = 1$ : $P(1) = \alpha + \beta$ , και $P(1) = 3$ (το υπόλοιπο με $x - 1$ ).
$x = 2$ : $P(2) = 2\alpha + \beta$ , και $P(2) = 5$ .

Το σύστημα $\alpha + \beta = 3$ , $2\alpha + \beta = 5$ δίνει με αφαίρεση $\alpha = 2$ και μετά $\beta = 1$ . Το υπόλοιπο είναι $\upsilon(x) = 2x + 1$ — χωρίς να ξέρουμε ούτε έναν συντελεστή του $P(x)$ !

Σε πολυωνυμική εξίσωση με ακέραιους συντελεστές, οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι μόνο οι διαιρέτες του σταθερού όρου — ξεκίνα πάντα από τα $\pm 1$ . Και μην ξαναγράφεις διαίρεση: το Horner σου δίνει ταυτόχρονα την επαλήθευση της ρίζας και το πηλίκο για το επόμενο βήμα.

Συνηθισμένα λάθη

Στο Horner ξεχνούν το $0$ για τους όρους που λείπουν — και όλη η διαίρεση βγαίνει λάθος.
Για διαιρέτη $x + \rho$ χρησιμοποιούν $+\rho$ αντί για $-\rho$ , στο σχήμα και στο θεώρημα υπολοίπου.
Ψάχνουν ακέραιες ρίζες στους διαιρέτες του μεγιστοβάθμιου συντελεστή αντί του σταθερού όρου.
Σταματούν μόλις βρουν μία ρίζα, χωρίς να λύσουν το πηλίκο.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Βαθμός: ο μεγαλύτερος εκθέτης με μη μηδενικό συντελεστή· $\deg(P \cdot Q) = \deg P + \deg Q$
Ταυτότητα διαίρεσης: $\Delta(x) = \delta(x)\pi(x) + \upsilon(x)$ , με $\upsilon(x) = 0$ ή $\deg\upsilon < \deg\delta$
Το υπόλοιπο της διαίρεσης $P(x) : (x - \rho)$ είναι το $P(\rho)$
$x - \rho$ παράγοντας του $P(x) \iff P(\rho) = 0$
Με ακέραιους συντελεστές, οι ακέραιες ρίζες είναι διαιρέτες του σταθερού όρου

Τι είναι πολυώνυμο

Ένα πολυώνυμο του

x

είναι παράσταση της μορφής

P(x) = \alpha_\nu x^\nu + \alpha_{\nu-1} x^{\nu-1} + \dots + \alpha_1 x + \alpha_0

. Αν

\alpha_\nu \neq 0

, ο βαθμός του είναι

\nu

: ο μεγαλύτερος εκθέτης που «επιζεί». Τα σταθερά πολυώνυμα

P(x) = c \neq 0

έχουν βαθμό

0

. Το μηδενικό πολυώνυμο δεν έχει βαθμό.

Η αριθμητική τιμή

P(\rho)

προκύπτει με αντικατάσταση, και το

\rho

λέγεται ρίζα του

P(x)

όταν

P(\rho) = 0

. Οι ρίζες είναι το κλειδί για όλο το κεφάλαιο.