Η Έννοια της Συνάρτησης

Τι κάνει το Excel όταν γράφεις έναν τύπο;

Γράφεις στο κελί B1 τον τύπο $=2 \cdot A1 + 3$. Αλλάζεις το A1 και το B1 ενημερώνεται αμέσως — μία είσοδος, μία έξοδος, πάντα με τον ίδιο κανόνα. Αυτό είναι μια συνάρτηση. Ο λογαριασμός του ρεύματος, η ταρίφα του ταξί, ο βαθμός πρόσβασης: όλα είναι συναρτήσεις.

Τι είναι συνάρτηση — η «μηχανή» με έναν κανόνα

Σκέψου έναν αυτόματο πωλητή: πατάς το κουμπί $A3$ και παίρνεις πάντα το ίδιο προϊόν. Δεν γίνεται με το ίδιο κουμπί να πάρεις άλλοτε χυμό κι άλλοτε νερό. Αυτή ακριβώς είναι η ιδέα της συνάρτησης.

Συνάρτηση από ένα σύνολο $A$ στο $\mathbb{R}$ λέγεται μια διαδικασία $f$ με την οποία κάθε στοιχείο $x \in A$ αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς πραγματικό αριθμό $y = f(x)$.

• Το $x$ λέγεται ανεξάρτητη μεταβλητή (η είσοδος της μηχανής)
• Το $y = f(x)$ λέγεται τιμή της $f$ στο $x$ (η έξοδος)
• Το σύνολο $A$ λέγεται πεδίο ορισμού της $f$ — οι «επιτρεπτές είσοδοι»

Δύο πράγματα απαγορεύονται: ένα $x$ χωρίς καμία τιμή, και ένα $x$ με δύο διαφορετικές τιμές. Ένα output ανά input — πάντα.

Πεδίο ορισμού — ποιες είσοδοι επιτρέπονται;

Όταν μια συνάρτηση δίνεται μόνο με τον τύπο της, πεδίο ορισμού είναι το ευρύτερο υποσύνολο του $\mathbb{R}$ στο οποίο ο τύπος έχει νόημα. Δύο περιορισμοί κυριαρχούν στην Α' Λυκείου:

• Παρονομαστής: πρέπει να είναι διάφορος του μηδενός. Για την $f(x) = \frac{1}{x - 2}$ απαιτούμε $x - 2 \neq 0$, άρα $A = \mathbb{R} - \{2\}$.
• Ρίζα: το υπόρριζο πρέπει να είναι μη αρνητικό. Για την $f(x) = \sqrt{x + 3}$ απαιτούμε $x + 3 \ge 0$, άρα $A = [-3, +\infty)$.

Αν ο τύπος έχει και τα δύο, απαιτούμε να ισχύουν όλοι οι περιορισμοί ταυτόχρονα. Σκέψου το σαν λίστα ελέγχου πριν «ταΐσεις» τη μηχανή: ό,τι input δεν περνάει τον έλεγχο, μένει απ' έξω.

Μέθοδος: εύρεση πεδίου ορισμού

1. Εντόπισε στον τύπο όλους τους «επικίνδυνους» σχηματισμούς: παρονομαστές και τετραγωνικές ρίζες.
2. Γράψε έναν περιορισμό για τον καθένα: παρονομαστής $\neq 0$, υπόρριζο $\ge 0$.
3. Λύσε κάθε περιορισμό χωριστά — εξίσωση για το $\neq 0$, ανίσωση για το $\ge 0$.
4. Συναλήθευσε όλους τους περιορισμούς σε κοινό άξονα και γράψε το αποτέλεσμα με διαστήματα.

Αν δεν υπάρχει κανένας περιορισμός (π.χ. πολυωνυμική συνάρτηση), το πεδίο ορισμού είναι όλο το $\mathbb{R}$.

Γραφική παράσταση — η συνάρτηση γίνεται εικόνα

Η γραφική παράσταση $C_f$ μιας συνάρτησης $f$ με πεδίο ορισμού $A$ είναι το σύνολο όλων των σημείων $M(x, f(x))$ για $x \in A$. Με άλλα λόγια:

$$M(x_0, y_0) \in C_f \iff y_0 = f(x_0)$$

Αυτή η ισοδυναμία είναι το «λεξικό» μεταξύ άλγεβρας και γεωμετρίας: για να ελέγξεις αν ένα σημείο ανήκει στην $C_f$, αντικαθιστάς και βλέπεις αν επαληθεύεται.

Κριτήριο κατακόρυφης ευθείας: μια καμπύλη είναι γραφική παράσταση συνάρτησης αν και μόνο αν κάθε κατακόρυφη ευθεία την τέμνει το πολύ σε ένα σημείο. Γιατί; Δύο σημεία στην ίδια κατακόρυφη θα σήμαιναν δύο τιμές $y$ για το ίδιο $x$ — και η μηχανή μας δίνει μία έξοδο ανά είσοδο. Ο κύκλος, για παράδειγμα, δεν είναι γραφική παράσταση συνάρτησης.

Τομές με τους άξονες — τα σημεία-κλειδιά της $C_f$

Δύο ερωτήσεις απαντούν σχεδόν κάθε γραφικό ερώτημα:

• Τομή με τον $y'y$: υπάρχει μόνο αν το $0$ ανήκει στο πεδίο ορισμού, και είναι το σημείο $(0, f(0))$. Μία το πολύ — αφού το $x = 0$ δίνει μία τιμή.
• Τομές με τον $x'x$: λύνουμε την εξίσωση $f(x) = 0$. Κάθε ρίζα $\rho$ δίνει σημείο $(\rho, 0)$ — μπορεί να είναι καμία, μία ή περισσότερες.

Ανάλογα, τα σημεία τομής δύο γραφικών παραστάσεων $C_f$ και $C_g$ βρίσκονται λύνοντας την $f(x) = g(x)$.

Συναρτήσεις πολλαπλού τύπου

Μια συνάρτηση μπορεί να δίνεται με διαφορετικό τύπο σε διαφορετικά κομμάτια του πεδίου ορισμού της, π.χ.

$$f(x) = \begin{cases} x + 1, & x < 0 \\ x^2, & x \ge 0 \end{cases}$$

Για να υπολογίσεις μια τιμή, ρώτα πρώτα: σε ποιο κομμάτι ανήκει το $x$; Μετά χρησιμοποίησε τον αντίστοιχο τύπο: $f(-2) = -2 + 1 = -1$, $f(0) = 0^2 = 0$ (το $0$ ανήκει στο $x \ge 0$), $f(3) = 9$. Το πιο γνωστό παράδειγμα είναι η απόλυτη τιμή: $|x| = x$ για $x \ge 0$ και $|x| = -x$ για $x < 0$.