📊

Στατιστική

Πίνακες συχνοτήτων, ραβδόγραμμα, κυκλικό διάγραμμα, μέση τιμή

Γιατί με νοιάζει;

Πριν από κάθε εκλογή, οι εταιρείες δημοσκοπήσεων ρωτούν περίπου $1000$ ανθρώπους — και από αυτούς εκτιμούν τι θα ψηφίσουν εκατομμύρια. Πώς γίνεται αυτό; Με δείγμα, συχνότητες και ποσοστά, ακριβώς όσα μαθαίνεις εδώ. Και θα δεις γιατί ο «μέσος όρος» μπορεί μερικές φορές να σε ξεγελάσει.

Η Στατιστική μιλάει με δεδομένα

Η Στατιστική συλλέγει, οργανώνει και παρουσιάζει πληροφορίες. Το σύνολο που μας ενδιαφέρει λέγεται πληθυσμός· επειδή σπάνια μπορούμε να ρωτήσουμε όλους, εξετάζουμε ένα δείγμα — ένα αντιπροσωπευτικό κομμάτι του. Το χαρακτηριστικό που μελετάμε λέγεται μεταβλητή: ποσοτική αν παίρνει αριθμητικές τιμές (ύψος, βαθμοί) ή ποιοτική αν όχι (αγαπημένο χρώμα, ομάδα).

Τα δεδομένα οργανώνονται σε πίνακα συχνοτήτων: για κάθε τιμή της μεταβλητής γράφουμε τη συχνότητά της $\nu$ , δηλαδή πόσες φορές εμφανίζεται. Το άθροισμα όλων των συχνοτήτων ισούται με το πλήθος των παρατηρήσεων $N$ . Η σχετική συχνότητα $f = \frac{\nu}{N}$ δείχνει το «μερίδιο» κάθε τιμής και, πολλαπλασιασμένη με $100$ , γίνεται ποσοστό $f\%$ .

Γρήγορος έλεγχος

Ποια από τις παρακάτω μεταβλητές είναι ποιοτική;

Γραφικές παραστάσεις: μια εικόνα, χίλιες γραμμές πίνακα

Στο ραβδόγραμμα κάθε τιμή της μεταβλητής παίρνει μια ράβδο με ύψος ίσο με τη συχνότητά της — με μια ματιά βλέπεις ποια τιμή «κερδίζει». Όταν η μεταβλητή είναι ο χρόνος (π.χ. θερμοκρασία ανά μήνα), χρησιμοποιούμε χρονόγραμμα.

Στο κυκλικό διάγραμμα ολόκληρος ο κύκλος ( $360°$ ) παριστάνει το $100\%$ των παρατηρήσεων και κάθε τιμή παίρνει έναν κυκλικό τομέα ανάλογο με τη σχετική της συχνότητα: $\alpha = f \cdot 360°$ . Έτσι το $25\%$ γίνεται τεταρτοκύκλιο $90°$ και το $50\%$ μισός κύκλος $180°$ .

Σύρε τα ποσοστά και δες πώς κάθε σχετική συχνότητα «κόβει» το δικό της κομμάτι από τις 360° του κυκλικού διαγράμματος.

Ήξερες ότι;

Η νοσηλεύτρια Φλόρενς Νάιτινγκεϊλ χρησιμοποίησε το $1858$ ένα δικό της κυκλικό διάγραμμα για να δείξει ότι στον Πόλεμο της Κριμαίας πολύ περισσότεροι στρατιώτες πέθαιναν από ασθένειες που μπορούσαν να προληφθούν παρά από τραύματα. Η εικόνα έπεισε όσους δεν διάβαζαν πίνακες και βοήθησε να αλλάξουν οι κανόνες υγιεινής στα στρατιωτικά νοσοκομεία. Ένα διάγραμμα μπορεί να σώσει ζωές!

$f = \frac{\nu}{N} \qquad f_1 + f_2 + \cdots + f_{\kappa} = 1 \qquad \alpha = f \cdot 360°$

Μέθοδος: συμπληρώνω πίνακα συχνοτήτων

Μέτρησε πόσες φορές εμφανίζεται κάθε τιμή: αυτή είναι η συχνότητα $\nu$ .
Πρόσθεσε τις συχνότητες: το άθροισμα είναι το πλήθος $N$ .
Σχετική συχνότητα $f = \frac{\nu}{N}$ και ποσοστό $f\% = f \cdot 100$ .
Γωνία κυκλικού τομέα $\alpha = f \cdot 360°$ .
Έλεγχοι: $\sum \nu = N$ , $\sum f = 1$ ( $100\%$ ), $\sum \alpha = 360°$ .

Γρήγορος έλεγχος

Σε ένα δείγμα $40$ μαθητών, οι $12$ πηγαίνουν σχολείο με ποδήλατο. Ποιο είναι το ποσοστό τους;

Μέση τιμή και διάμεσος

Η μέση τιμή $\bar{x}$ είναι το άθροισμα όλων των παρατηρήσεων διά το πλήθος τους — το «κέντρο βάρους» των δεδομένων. Αν οι τιμές δίνονται με συχνότητες, πολλαπλασιάζουμε κάθε τιμή με τη συχνότητά της πριν προσθέσουμε: $\bar{x} = \frac{x_1\nu_1 + x_2\nu_2 + \cdots}{N}$ .

Η διάμεσος είναι η μεσαία παρατήρηση όταν τις βάλουμε σε αύξουσα σειρά: για περιττό πλήθος είναι η μεσαία τιμή, για άρτιο ο μέσος όρος των δύο μεσαίων. Έχει ένα υπερόπλο: δεν επηρεάζεται από ακραίες τιμές — ένας πολύ πλούσιος κάτοικος εκτοξεύει τη μέση τιμή των εισοδημάτων ενός χωριού, αλλά αφήνει τη διάμεσο σχεδόν ίδια.

Κόλπο μνήμης

Για τη διάμεσο φαντάσου την τάξη να στέκεται σε σειρά κατά ύψος. Διάμεσος είναι όποιος στέκεται ακριβώς στη μέση. Με άρτιο πλήθος στη μέση δεν στέκεται κανείς — παίρνεις τον μέσο όρο των δύο μεσαίων. Και χωρίς σειρά δεν υπάρχει «μέση»: πρώτα διάταξη, μετά διάμεσος.

Παράδειγμα 2 (διάμεσος με άρτιο πλήθος): Οι χρόνοι (σε λεπτά) που χρειάστηκαν $8$ μαθητές για να λύσουν ένα πρόβλημα ήταν: $3, 7, 5, 9, 4, 6, 10, 2$ . Να βρεθούν η μέση τιμή και η διάμεσος.

Μέση τιμή: άθροισμα $3 + 7 + 5 + 9 + 4 + 6 + 10 + 2 = 46$ , άρα

$\bar{x} = \frac{46}{8} = 5{,}75 \text{ λεπτά}$

Διάμεσος: πρώτα διάταξη: $2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10$ . Το πλήθος είναι άρτιο, οπότε παίρνουμε τον μέσο όρο των δύο μεσαίων (4η και 5η θέση):

$\delta = \frac{5 + 6}{2} = 5{,}5 \text{ λεπτά}$

Μεγάλωσε και μίκρυνε τις ράβδους και παρατήρησε πώς μετακινούνται η μέση τιμή και η διάμεσος — ποια από τις δύο «τσιμπάει» από τις ακραίες τιμές;

Άσκηση: Ρωτήσαμε τους $20$ μαθητές ενός τμήματος πόσα βιβλία διάβασαν το καλοκαίρι. Η τιμή $0$ έχει συχνότητα $4$ , η τιμή $1$ συχνότητα $8$ , η τιμή $2$ συχνότητα $6$ και η τιμή $3$ συχνότητα $2$ . (α) Ποια είναι η σχετική συχνότητα της τιμής $1$ ως ποσοστό και ποια η γωνία της στο κυκλικό διάγραμμα; (β) Πόση είναι η μέση τιμή;

Λύση: Έλεγχος πρώτα: $4 + 8 + 6 + 2 = 20 = N$ . ✓

(α) $f = \frac{8}{20} = 0{,}40 = 40\%$ και ο κυκλικός τομέας:

$\alpha = f \cdot 360° = 0{,}40 \cdot 360° = 144°$

(β) Κάθε τιμή επί τη συχνότητά της:

$\bar{x} = \frac{0 \cdot 4 + 1 \cdot 8 + 2 \cdot 6 + 3 \cdot 2}{20} = \frac{0 + 8 + 12 + 6}{20} = \frac{26}{20} = 1{,}3 \text{ βιβλία}$

Λογικός έλεγχος: το $1{,}3$ βρίσκεται ανάμεσα στη μικρότερη ( $0$ ) και τη μεγαλύτερη ( $3$ ) τιμή. ✓

Παράδειγμα 3 (από το διάγραμμα στα δεδομένα): Σε κυκλικό διάγραμμα για το αγαπημένο άθλημα $200$ μαθητών, ο τομέας «ποδόσφαιρο» έχει γωνία $108°$ και ο τομέας «βόλεϊ» $72°$ . Πόσοι μαθητές προτιμούν κάθε άθλημα;

Αντιστρέφουμε τον τύπο $\alpha = f \cdot 360°$ , δηλαδή $f = \frac{\alpha}{360°}$ :

Ποδόσφαιρο: $f = \frac{108}{360} = 0{,}3$ , άρα $\nu = 0{,}3 \cdot 200 = 60$ μαθητές.
Βόλεϊ: $f = \frac{72}{360} = 0{,}2$ , άρα $\nu = 0{,}2 \cdot 200 = 40$ μαθητές.

Έλεγχος: $\frac{60}{200} \cdot 360° = 108°$ ✓

Γρήγορος έλεγχος

Οι βαθμοί πέντε μαθητών είναι $12, 19, 14, 20, 15$ . Ποια είναι η διάμεσός τους;

Γρήγορος έλεγχος

Πόση είναι η μέση τιμή των παρατηρήσεων $4, 8, 6, 10, 7$ ;

Πρόκληση

Στα $4$ πρώτα διαγωνίσματα της χρονιάς έχεις μέση τιμή $15$ . (α) Τι βαθμό πρέπει να πάρεις στο $5$ ο για να ανέβει η μέση τιμή στο $16$ ; (β) Μπορείς με το $5$ ο διαγώνισμα να φτάσεις μέση τιμή $17$ (με άριστα το $20$ );

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Η μέση τιμή είναι άθροισμα προς πλήθος, άρα το άθροισμα των $4$ βαθμών είναι $4 \cdot 15 = 60$ .

(α) Για μέση τιμή $16$ σε $5$ διαγωνίσματα χρειάζεσαι άθροισμα $5 \cdot 16 = 80$ . Λείπουν $80 - 60 = 20$ : θέλεις $20$ , δηλαδή άριστα!

(β) Για μέση τιμή $17$ χρειάζεσαι άθροισμα $5 \cdot 17 = 85$ , άρα $85 - 60 = 25$ στο $5$ ο — αδύνατον, αφού ο μέγιστος βαθμός είναι $20$ . Το δίδαγμα: κάθε διαγώνισμα μετράει, γιατί ένας χαμηλός βαθμός «τραβάει» τη μέση τιμή για πολύ καιρό.

Ο πίνακας συχνοτήτων λύνεται με τρεις αυτόματους ελέγχους: οι συχνότητες αθροίζουν στο $N$ , οι σχετικές συχνότητες στο $1$ (δηλαδή $100\%$ ) και οι γωνίες του κυκλικού διαγράμματος στις $360°$ — αν κάτι δεν «κλείνει», έχεις λάθος πράξη. Όταν τα δεδομένα έχουν ακραίες τιμές, η διάμεσος περιγράφει καλύτερα το «τυπικό»· και θυμήσου ότι για τη διάμεσο πρώτα διατάσσεις, αλλιώς το αποτέλεσμα είναι τυχαίο.

Συνηθισμένα λάθη

Μέση τιμή από πίνακα: διαιρείς με το πλήθος $N$ των παρατηρήσεων, όχι με το πλήθος των διαφορετικών τιμών του πίνακα.
Διάμεσος με άρτιο πλήθος: παίρνεις τον μέσο όρο των δύο μεσαίων, όχι μία από τις δύο.
Διάμεσος από πίνακα συχνοτήτων: η μεσαία γραμμή του πίνακα δεν είναι η διάμεσος· ψάχνεις τη μεσαία παρατήρηση, μετρώντας τις συχνότητες.
Γωνία τομέα: $\alpha = f \cdot 360°$ , όχι $\nu \cdot 360°$ .

Σύνοψη — τι κρατάμε

Πληθυσμός, δείγμα, μεταβλητή (ποσοτική/ποιοτική).
Συχνότητα $\nu$ , $\sum \nu = N$ · σχετική συχνότητα $f = \frac{\nu}{N}$ , $f\% = 100f$ .
Κυκλικό διάγραμμα: $\alpha = f \cdot 360°$ .
Μέση τιμή $\bar{x} = \frac{\text{άθροισμα παρατηρήσεων}}{N}$ (με συχνότητες: $\frac{x_1\nu_1 + x_2\nu_2 + \cdots}{N}$ ).
Διάμεσος: μεσαία παρατήρηση μετά από διάταξη (άρτιο πλήθος: μέσος όρος των δύο μεσαίων) · δεν επηρεάζεται από ακραίες τιμές.

Η Στατιστική μιλάει με δεδομένα

Τα δεδομένα οργανώνονται σε πίνακα συχνοτήτων: για κάθε τιμή της μεταβλητής γράφουμε τη συχνότητά της

\nu

, δηλαδή πόσες φορές εμφανίζεται. Το άθροισμα όλων των συχνοτήτων ισούται με το πλήθος των παρατηρήσεων

N

. Η σχετική συχνότητα

f = \frac{\nu}{N}

δείχνει το «μερίδιο» κάθε τιμής και, πολλαπλασιασμένη με

100

, γίνεται ποσοστό

f\%