📦

Γεωμετρικά Στερεά

Πρίσμα και κύλινδρος: παράπλευρη/ολική επιφάνεια, όγκος

Γιατί με νοιάζει;

Πόσο νερό χωράει μια πισίνα; Πόση μπογιά χρειάζεσαι για τους τοίχους του δωματίου σου; Το πρώτο είναι ερώτηση όγκου, το δεύτερο επιφάνειας — και δεν πάνε πάντα μαζί. Ένα κουτί $2 \times 2 \times 2$ cm και ένα $1 \times 1 \times 8$ cm χωράνε και τα δύο $8 \text{ cm}^3$ , αλλά το πρώτο θέλει $24 \text{ cm}^2$ χαρτόνι και το δεύτερο $34 \text{ cm}^2$ .

Από το επίπεδο στον χώρο

Ένα ορθό πρίσμα είναι το στερεό που σχηματίζεται όταν ένα πολύγωνο — η βάση — «σηκωθεί» κατακόρυφα κατά ύψος $\upsilon$ . Έχει δύο βάσεις, ίσα και παράλληλα πολύγωνα, και παράπλευρες έδρες που είναι όλες ορθογώνια. Ανάλογα με τη βάση μιλάμε για τριγωνικό, τετραγωνικό ή εξαγωνικό πρίσμα· το γνωστό ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο είναι πρίσμα με βάση ορθογώνιο και ο κύβος η πιο «δίκαιη» εκδοχή του, με όλες τις ακμές ίσες.

Αν στη θέση του πολυγώνου βάλουμε κύκλο ακτίνας $\rho$ , παίρνουμε τον κύλινδρο: ένα κουτί κονσέρβας, ένα ποτήρι, ένας σωλήνας. Η απόσταση των δύο βάσεων είναι το ύψος $\upsilon$ του στερεού.

Το ανάπτυγμα δείχνει τον δρόμο

Αν κόψουμε ένα πρίσμα κατά μήκος μιας ακμής και το «ξεδιπλώσουμε», η παράπλευρη επιφάνειά του απλώνεται σε ένα ορθογώνιο: η μία του διάσταση είναι η περίμετρος της βάσης και η άλλη το ύψος $\upsilon$ . Άρα το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας είναι περίμετρος επί ύψος.

Το ίδιο ακριβώς ισχύει για τον κύλινδρο: ξετυλίγοντας την ετικέτα μιας κονσέρβας παίρνουμε ορθογώνιο με διαστάσεις το μήκος του κύκλου $2\pi\rho$ και το ύψος $\upsilon$ .

Για το ολικό εμβαδόν προσθέτουμε στην παράπλευρη επιφάνεια και τα εμβαδά των δύο βάσεων: $E_{\text{ολ}} = E_{\pi} + 2E_{\beta}$ .

$E_{\pi} = (\text{περίμετρος βάσης}) \cdot \upsilon \qquad \text{κύλινδρος: } E_{\pi} = 2\pi\rho\upsilon, \quad E_{\text{ολ}} = 2\pi\rho\upsilon + 2\pi\rho^2$

Γρήγορος έλεγχος

Πόση είναι η ολική επιφάνεια κύβου με ακμή $3$ cm;

Όγκος: πόσος χώρος χωράει μέσα

Όγκος ενός στερεού είναι ο θετικός αριθμός που δείχνει πόσες φορές χωράει μέσα του η μονάδα όγκου — ένας κύβος ακμής $1$ . Βασική μονάδα το $1 \text{ m}^3$ , με υποδιαιρέσεις το $1 \text{ dm}^3$ και το $1 \text{ cm}^3$ . Πρόσεξε: εδώ κάθε μονάδα είναι 1000 φορές μεγαλύτερη από την αμέσως επόμενη, $1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ dm}^3$ και $1 \text{ dm}^3 = 1000 \text{ cm}^3$ .

Η πιο χρήσιμη μετατροπή για προβλήματα με υγρά: $1$ λίτρο $= 1 \text{ dm}^3 = 1000 \text{ cm}^3$ — και το $1 \text{ cm}^3$ λέγεται και χιλιοστόλιτρο (mL).

Γέμισε το πρίσμα και τον κύλινδρο με μοναδιαίους κύβους, στρώση-στρώση: κάθε στρώση έχει Εβ κύβους και οι στρώσεις είναι όσες το ύψος — έτσι θα ανακαλύψεις γιατί V = Εβ · υ.

Κόλπο μνήμης

Σκέψου κάθε πρίσμα ή κύλινδρο σαν στοίβα από φέτες τοστ: κάθε φέτα είναι η βάση, και το ύψος λέει πόσο ψηλά στοιβάζεις — άρα $V = E_{\beta} \cdot \upsilon$ . Για την παράπλευρη επιφάνεια του κυλίνδρου, ξεκόλλησε την ετικέτα μιας κονσέρβας: γίνεται ορθογώνιο με πλευρές $2\pi\rho$ (ένας γύρος) και $\upsilon$ , άρα $E_{\pi} = 2\pi\rho\upsilon$ .

$V = E_{\beta} \cdot \upsilon \qquad V_{\text{κυλίνδρου}} = \pi\rho^2\upsilon$

Ήξερες ότι;

Ο Αρχιμήδης θεωρούσε μεγαλύτερη ανακάλυψή του τη σχέση σφαίρας και κυλίνδρου: μια σφαίρα που χωράει ακριβώς μέσα σε έναν κύλινδρο έχει όγκο τα $\frac{2}{3}$ του όγκου του. Σύμφωνα με τον Πλούταρχο, ζήτησε να χαραχτεί στον τάφο του σφαίρα μέσα σε κύλινδρο. Και ο Κικέρων, όταν βρέθηκε στις Συρακούσες το $75$ π.Χ., εντόπισε τον ξεχασμένο τάφο ακριβώς από αυτό το σχέδιο.

Μέθοδος: επιφάνεια και όγκος πρίσματος ή κυλίνδρου

Αναγνώρισε τη βάση (τρίγωνο, ορθογώνιο, κύκλος…) και το ύψος του στερεού — την απόσταση των δύο βάσεων.
Υπολόγισε την περίμετρο και το εμβαδόν $E_\beta$ της βάσης.
Παράπλευρη: $E_\pi = (\text{περίμετρος βάσης}) \cdot \upsilon$ .
Ολική: $E_{\text{ολ}} = E_\pi + 2E_\beta$ (αν το δοχείο είναι ανοιχτό, μία βάση μόνο).
Όγκος: $V = E_\beta \cdot \upsilon$ και, αν χρειάζεται, μετατροπή σε λίτρα.

Άσκηση: Ένα κυλινδρικό κουτί έχει ακτίνα βάσης $\rho = 5 \text{ cm}$ και ύψος $\upsilon = 12 \text{ cm}$ . (α) Πόσο χαρτί χρειάζεται για την ετικέτα που καλύπτει την παράπλευρη επιφάνεια; (β) Πόσα λίτρα χωράει το κουτί; (Πάρε $\pi \approx 3{,}14$ .)

Λύση: (α) Η ετικέτα είναι η παράπλευρη επιφάνεια:

$E_{\pi} = 2\pi\rho\upsilon = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 5 \cdot 12 = 376{,}8 \text{ cm}^2$

(β) Ο όγκος του κυλίνδρου:

$V = \pi\rho^2\upsilon = 3{,}14 \cdot 5^2 \cdot 12 = 3{,}14 \cdot 300 = 942 \text{ cm}^3$

Αφού $1 \text{ L} = 1000 \text{ cm}^3$ , το κουτί χωράει $0{,}942 \text{ L}$ — λίγο λιγότερο από ένα λίτρο. Πρόσεξε τις μονάδες: το (α) βγήκε σε $\text{cm}^2$ , το (β) σε $\text{cm}^3$ . ✓

Παράδειγμα 2 (ενυδρείο): Ένα ενυδρείο σε σχήμα ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου έχει διαστάσεις βάσης $60$ cm $\times$ $30$ cm και ύψος $40$ cm, και δεν έχει καπάκι. (α) Πόσα λίτρα νερό χωράει; (β) Πόσο γυαλί χρειάστηκε για την κατασκευή του;

(α) $V = E_\beta \cdot \upsilon = (60 \cdot 30) \cdot 40 = 1800 \cdot 40 = 72000 \text{ cm}^3$ . Αφού $1 \text{ L} = 1000 \text{ cm}^3$ , χωράει $72$ L.

(β) Παράπλευρη επιφάνεια: περίμετρος βάσης $2(60 + 30) = 180$ cm, άρα

$E_\pi = 180 \cdot 40 = 7200 \text{ cm}^2$

Χωρίς καπάκι προσθέτουμε μία βάση: $E = 7200 + 1800 = 9000 \text{ cm}^2 = 0{,}9 \text{ m}^2$ .

Παράδειγμα 3 (τριγωνικό πρίσμα): Ένα ορθό πρίσμα έχει βάση ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές $3$ cm και $4$ cm, και ύψος $10$ cm. Να βρεθούν η ολική επιφάνεια και ο όγκος του.

Η υποτείνουσα της βάσης, από το Πυθαγόρειο: $\sqrt{9 + 16} = 5$ cm.

Εμβαδόν βάσης: $E_\beta = \frac{3 \cdot 4}{2} = 6 \text{ cm}^2$
Παράπλευρη: $E_\pi = (3 + 4 + 5) \cdot 10 = 120 \text{ cm}^2$
Ολική: $E_{\text{ολ}} = 120 + 2 \cdot 6 = 132 \text{ cm}^2$
Όγκος: $V = 6 \cdot 10 = 60 \text{ cm}^3$

Γρήγορος έλεγχος

Τριγωνικό πρίσμα έχει βάση με εμβαδόν $20 \text{ cm}^2$ και ύψος $9 \text{ cm}$ . Πόσος είναι ο όγκος του;

Γρήγορος έλεγχος

Αν διπλασιάσουμε την ακτίνα της βάσης ενός κυλίνδρου και κρατήσουμε το ίδιο ύψος, ο όγκος του:

Γρήγορος έλεγχος

Πόσα $\text{cm}^3$ χωράει ένα μπουκάλι των $2{,}5$ λίτρων;

Πρόκληση

Τυλίγεις ένα φύλλο A4 ( $21 \text{ cm} \times 29{,}7 \text{ cm}$ ) σε κύλινδρο χωρίς βάσεις, με δύο τρόπους: ψηλό (ύψος $29{,}7$ cm, γύρος $21$ cm) ή κοντό (ύψος $21$ cm, γύρος $29{,}7$ cm). Ίδιο χαρτί, ίδια παράπλευρη επιφάνεια. Χωράνε και τον ίδιο όγκο; (Πάρε $\pi \approx 3{,}14$ .)

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Ο γύρος είναι το μήκος κύκλου της βάσης: $L = 2\pi\rho$ , άρα $\rho = \frac{L}{2\pi} = \frac{L}{6{,}28}$ .

Ψηλός: $\rho = \frac{21}{6{,}28} \approx 3{,}34$ cm, $V = \pi\rho^2\upsilon \approx 3{,}14 \cdot 3{,}34^2 \cdot 29{,}7 \approx 1040 \text{ cm}^3$ .

Κοντός: $\rho = \frac{29{,}7}{6{,}28} \approx 4{,}73$ cm, $V = \pi\rho^2\upsilon \approx 3{,}14 \cdot 4{,}73^2 \cdot 21 \approx 1475 \text{ cm}^3$ .

Απάντηση: Όχι! Ο κοντός και φαρδύς χωράει περίπου $1{,}5$ λίτρο, ενώ ο ψηλός περίπου $1$ λίτρο. Η ακτίνα μπαίνει στο τετράγωνο στον όγκο, ενώ το ύψος μόνο μία φορά — γι' αυτό η φαρδιά βάση κερδίζει.

Στον κύλινδρο μην μπερδεύεις τους δύο «δίδυμους» τύπους: $2\pi\rho\upsilon$ είναι η παράπλευρη επιφάνεια (σε $\text{cm}^2$ ) και $\pi\rho^2\upsilon$ ο όγκος (σε $\text{cm}^3$ ) — οι μονάδες σε προδίδουν αμέσως. Στα προβλήματα με υγρά μετάφρασε πρώτα: $1 \text{ L} = 1000 \text{ cm}^3$ και $1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ L}$ . Και αν η άσκηση δίνει διάμετρο, μοίρασέ τη στα δύο πριν τη βάλεις στον τύπο!

Συνηθισμένα λάθη

Ξεχασμένη βάση: η ολική επιφάνεια κλειστού στερεού έχει δύο βάσεις — ενώ ανοιχτό κουτί ή ποτήρι έχει μόνο μία.
$1 \text{ m}^3 = 100 \text{ dm}^3$ ; Όχι: στους όγκους κάθε μονάδα είναι 1000 φορές η επόμενη.
Δύο «ύψη»: στο τριγωνικό πρίσμα το ύψος του τριγώνου της βάσης (για το $E_\beta$ ) είναι άλλο από το ύψος του πρίσματος (για το $V$ και το $E_\pi$ ).

Σύνοψη — τι κρατάμε

Πρίσμα/κύλινδρος: δύο ίσες παράλληλες βάσεις, ύψος $\upsilon$ η απόστασή τους.
$E_\pi = (\text{περίμετρος βάσης}) \cdot \upsilon$ · κύλινδρος: $E_\pi = 2\pi\rho\upsilon$ .
$E_{\text{ολ}} = E_\pi + 2E_\beta$ · κύλινδρος: $2\pi\rho\upsilon + 2\pi\rho^2$ .
$V = E_\beta \cdot \upsilon$ · κύλινδρος: $V = \pi\rho^2\upsilon$ .
$1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ dm}^3$ · $1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3 = 1000 \text{ cm}^3$ .

Από το επίπεδο στον χώρο

Ένα ορθό πρίσμα είναι το στερεό που σχηματίζεται όταν ένα πολύγωνο — η βάση — «σηκωθεί» κατακόρυφα κατά ύψος

\upsilon

. Έχει δύο βάσεις, ίσα και παράλληλα πολύγωνα, και παράπλευρες έδρες που είναι όλες ορθογώνια. Ανάλογα με τη βάση μιλάμε για τριγωνικό, τετραγωνικό ή εξαγωνικό πρίσμα· το γνωστό ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο είναι πρίσμα με βάση ορθογώνιο και ο κύβος η πιο «δίκαιη» εκδοχή του, με όλες τις ακμές ίσες.

Αν στη θέση του πολυγώνου βάλουμε κύκλο ακτίνας

\rho

, παίρνουμε τον κύλινδρο: ένα κουτί κονσέρβας, ένα ποτήρι, ένας σωλήνας. Η απόσταση των δύο βάσεων είναι το ύψος

\upsilon

του στερεού.