⚖️

Προβλήματα με Εξισώσεις

Από τα λόγια στην εξίσωση — λυμένα προβλήματα βήμα-βήμα

Γιατί με νοιάζει;

«Σε πόσα χρόνια ο μπαμπάς μου θα έχει τη διπλάσια ηλικία μου;» «Πόσο κόστιζε το μπουφάν πριν από την έκπτωση;» Τέτοιες ερωτήσεις δεν λύνονται με «δοκιμάζω αριθμούς μέχρι να πετύχει». Λύνονται με μετάφραση: γράφεις την ιστορία στη γλώσσα της Άλγεβρας και η εξίσωση κάνει την υπόλοιπη δουλειά.

Η εξίσωση ως μεταφραστής

Ένα πρόβλημα είναι μια ιστορία γραμμένη στα ελληνικά — και η δουλειά σου είναι να τη μεταφράσεις στη γλώσσα της Άλγεβρας. Αν ξέρεις να λύνεις μια εξίσωση α΄ βαθμού, το μόνο που λείπει είναι η μετάφραση. Δουλεύουμε πάντα με τα ίδια πέντε βήματα:

Άγνωστος: Διαλέγουμε τι θα είναι το $x$ και το γράφουμε καθαρά, με μονάδες (π.χ. «έστω $x$ το πλάτος σε μέτρα»).
Έκφραση: Γράφουμε όλα τα άλλα μεγέθη της ιστορίας συναρτήσει του $x$ .
Εξίσωση: Βρίσκουμε την πρόταση που «δένει» τα μεγέθη (ισότητα, άθροισμα, διπλάσιο…) και τη γράφουμε ως εξίσωση.
Επίλυση: Λύνουμε την εξίσωση με τα γνωστά βήματα.
Έλεγχος: Ελέγχουμε τη λύση πάνω στην εκφώνηση — όχι μόνο στην εξίσωση — και απαντάμε σε αυτό που ρωτήθηκε.

Λέξεις-κλειδιά για τη μετάφραση: «κατά $5$ μεγαλύτερο» $\to x + 5$ , «διπλάσιο» $\to 2x$ , «το μισό» $\to \frac{x}{2}$ , «ελαττωμένο κατά $4$ » $\to x - 4$ , «ισούται» $\to$ το σύμβολο $=$ .

Η εξίσωση είναι μια ζυγαριά: η εκφώνηση σου λέει τι ισορροπεί με τι. Πρόσθεσε ή αφαίρεσε το ίδιο βάρος κι από τους δύο δίσκους και δες πώς ο άγνωστος αποκαλύπτεται χωρίς να χαλάσει η ισορροπία.

Ήξερες ότι;

Ο αιγυπτιακός πάπυρος Rhind, ένα βιβλίο μαθηματικών γραμμένο γύρω στο $1550$ π.Χ., έχει προβλήματα σαν τα δικά σου: «Μια ποσότητα και το έβδομό της μαζί κάνουν $19$ . Ποια είναι η ποσότητα;» Εσύ γράφεις $x + \frac{x}{7} = 19$ και βρίσκεις $x = \frac{133}{8} = 16{,}625$ . Οι Αιγύπτιοι δεν είχαν $x$ : δοκίμαζαν το $7$ , έβρισκαν $7 + 1 = 8$ αντί για $19$ , και διόρθωναν αναλογικά: $7 \cdot \frac{19}{8} = 16{,}625$ .

Γρήγορος έλεγχος

«Το τριπλάσιο ενός αριθμού, ελαττωμένο κατά $4$ , ισούται με $17$ .» Ποια εξίσωση μεταφράζει σωστά την πρόταση;

Πρόβλημα 1 (περίμετρος): Το μήκος ενός ορθογωνίου οικοπέδου είναι κατά $3$ m μεγαλύτερο από το πλάτος του και η περίμετρός του είναι $26$ m. Να βρεθούν οι διαστάσεις του.

Άγνωστος: έστω $x$ το πλάτος σε μέτρα. Τότε το μήκος είναι $x + 3$ .

Εξίσωση: η περίμετρος ορθογωνίου είναι $2 \cdot (\text{μήκος} + \text{πλάτος})$ :

$2(x + x + 3) = 26$

Επίλυση:

$2(2x + 3) = 26 \Rightarrow 4x + 6 = 26 \Rightarrow 4x = 20 \Rightarrow x = 5$

Απάντηση: πλάτος $5$ m και μήκος $5 + 3 = 8$ m.

Έλεγχος: περίμετρος $2(5 + 8) = 26$ m ✓ και το μήκος είναι πράγματι $3$ m μεγαλύτερο. ✓

Πρόβλημα 2 (ποσότητες): Σε μια κινηματογραφική προβολή κόπηκαν $30$ εισιτήρια. Το εισιτήριο των ενηλίκων κοστίζει $8$ €, το παιδικό $5$ €, και οι συνολικές εισπράξεις ήταν $198$ €. Πόσα εισιτήρια κάθε είδους κόπηκαν;

Άγνωστος: έστω $x$ τα εισιτήρια ενηλίκων. Τότε τα παιδικά είναι $30 - x$ .

Έκφραση: οι ενήλικες πλήρωσαν $8x$ €, τα παιδιά $5(30 - x)$ €.

Εξίσωση: το άθροισμα είναι οι συνολικές εισπράξεις:

$8x + 5(30 - x) = 198$

Επίλυση:

$8x + 150 - 5x = 198 \Rightarrow 3x = 48 \Rightarrow x = 16$

Απάντηση: $16$ εισιτήρια ενηλίκων και $30 - 16 = 14$ παιδικά.

Έλεγχος: $8 \cdot 16 + 5 \cdot 14 = 128 + 70 = 198$ € ✓

Πρόβλημα 3 (με κλάσματα): Το ένα τρίτο ενός αριθμού, αυξημένο κατά $5$ , ισούται με το μισό του αριθμού. Ποιος είναι ο αριθμός;

Άγνωστος: έστω $x$ ο ζητούμενος αριθμός.

Εξίσωση:

$\frac{x}{3} + 5 = \frac{x}{2}$

Επίλυση: κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών πολλαπλασιάζοντας όλους τους όρους με το ΕΚΠ $(3, 2) = 6$ :

$6 \cdot \frac{x}{3} + 6 \cdot 5 = 6 \cdot \frac{x}{2} \Rightarrow 2x + 30 = 3x \Rightarrow x = 30$

Έλεγχος: $\frac{30}{3} + 5 = 10 + 5 = 15$ και $\frac{30}{2} = 15$ ✓

Γρήγορος έλεγχος

«Αν στο διπλάσιο ενός αριθμού προσθέσουμε $7$ , βρίσκουμε το τριπλάσιό του ελαττωμένο κατά $3$ .» Ποια εξίσωση μεταφράζει την πρόταση;

Πρόβλημα 4 (ηλικίες): Η μητέρα είναι σήμερα $40$ χρονών και η κόρη της $10$ . Σε πόσα χρόνια η μητέρα θα έχει τριπλάσια ηλικία από την κόρη;

Άγνωστος: έστω $x$ τα χρόνια που θα περάσουν.

Έκφραση: τότε η μητέρα θα είναι $40 + x$ και η κόρη $10 + x$ — τα χρόνια περνούν και για τις δύο.

Εξίσωση:

$40 + x = 3(10 + x)$

Επίλυση: $40 + x = 30 + 3x \Rightarrow 40 - 30 = 3x - x \Rightarrow 2x = 10 \Rightarrow x = 5$ .

Έλεγχος: σε $5$ χρόνια η μητέρα θα είναι $45$ και η κόρη $15$ · πράγματι $45 = 3 \cdot 15$ ✓

Πρόβλημα 5 (έκπτωση): Μετά από έκπτωση $20\%$ , ένα μπουφάν πωλείται $64$ €. Ποια ήταν η αρχική τιμή του;

Άγνωστος: έστω $x$ € η αρχική τιμή.

Έκφραση: η έκπτωση είναι το $20\%$ της αρχικής τιμής, δηλαδή $0{,}2x$ .

Εξίσωση:

$x - 0{,}2x = 64 \Rightarrow 0{,}8x = 64 \Rightarrow x = \frac{64}{0{,}8} = 80$

Απάντηση: η αρχική τιμή ήταν $80$ €.

Έλεγχος: $20\%$ του $80$ είναι $16$ , και $80 - 16 = 64$ € ✓. Πρόσεξε ότι το $64 + 20\% \cdot 64 = 76{,}8$ € είναι λάθος — το ποσοστό υπολογίζεται πάνω στην αρχική τιμή.

Γρήγορος έλεγχος

Ορθογώνιο έχει πλάτος $x$ και μήκος διπλάσιο του πλάτους. Αν η περίμετρός του είναι $36$ cm, πόσο είναι το $x$ ;

Γρήγορος έλεγχος

Το άθροισμα τριών διαδοχικών φυσικών αριθμών είναι $87$ . Ποιος είναι ο μικρότερος;

Γρήγορος έλεγχος

Λύνοντας ένα πρόβλημα ηλικιών, η εξίσωσή σου έδωσε $x = -3$ για την ηλικία. Τι συμπεραίνεις;

Πρόκληση

Ένα αρχαίο κινέζικο πρόβλημα λέει: «Σε ένα κλουβί υπάρχουν κότες και κουνέλια. Μετράμε $35$ κεφάλια και $94$ πόδια. Πόσες είναι οι κότες και πόσα τα κουνέλια;»

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Άγνωστος: Έστω $x$ τα κουνέλια. Κάθε ζώο έχει ένα κεφάλι, άρα οι κότες είναι $35 - x$ .

Εξίσωση (πόδια): τα κουνέλια έχουν $4$ πόδια, οι κότες $2$ :

$4x + 2(35 - x) = 94$

$4x + 70 - 2x = 94 \Rightarrow 2x = 24 \Rightarrow x = 12$ .

Άρα $12$ κουνέλια και $35 - 12 = 23$ κότες.

Έλεγχος στην εκφώνηση: κεφάλια $12 + 23 = 35$ ✓, πόδια $12 \cdot 4 + 23 \cdot 2 = 48 + 46 = 94$ ✓.

Στα προβλήματα, διάλεξε για $x$ το μικρότερο από τα μεγέθη της ιστορίας (π.χ. το πλάτος, όχι το μήκος) — έτσι τα υπόλοιπα γράφονται με πρόσθεση και πολλαπλασιασμό αντί για αφαιρέσεις που μπερδεύουν. Και στο τέλος, ξαναδιάβασε την ερώτηση: αν ζητούν και τις δύο διαστάσεις, η απάντηση « $x = 5$ » πιάνει τις μισές μονάδες.

Συνηθισμένα λάθη

Ηλικίες: τα χρόνια που περνούν προστίθενται σε όλα τα πρόσωπα, όχι μόνο στο ένα.
Ποσοστά: η έκπτωση ή η αύξηση υπολογίζεται στην αρχική τιμή. Αν η αρχική είναι $x$ , μετά από έκπτωση $20\%$ γίνεται $0{,}8x$ .
Αόριστος άγνωστος: γράφε πάντα «έστω $x$ = …» με μονάδες· αλλιώς στο τέλος δεν ξέρεις τι βρήκες.
Ανάμεικτες μονάδες: λεπτά με ώρες ή λεπτά του ευρώ με ευρώ πρέπει να γίνουν ίδια μονάδα πριν στηθεί η εξίσωση.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Πέντε βήματα: άγνωστος → έκφραση όλων με το $x$ → εξίσωση → επίλυση → έλεγχος στην εκφώνηση.
«Κατά $\alpha$ μεγαλύτερο» $\to x + \alpha$ · «διπλάσιο» $\to 2x$ · «το μισό» $\to \frac{x}{2}$ .
Διαδοχικοί φυσικοί: $x$ , $x + 1$ , $x + 2$ · ηλικίες σε $\nu$ χρόνια: $+\nu$ σε όλους.
Τιμή μετά από έκπτωση $\pi\%$ : $\left(1 - \frac{\pi}{100}\right)x$ .
Η λύση πρέπει να έχει νόημα (θετικό μήκος, φυσικός αριθμός ατόμων κ.λπ.).

Η εξίσωση ως μεταφραστής

Άγνωστος: Διαλέγουμε τι θα είναι το

x

και το γράφουμε καθαρά, με μονάδες (π.χ. «έστω

x

το πλάτος σε μέτρα»).

Έκφραση: Γράφουμε όλα τα άλλα μεγέθη της ιστορίας συναρτήσει του

x

Εξίσωση: Βρίσκουμε την πρόταση που «δένει» τα μεγέθη (ισότητα, άθροισμα, διπλάσιο…) και τη γράφουμε ως εξίσωση.

Επίλυση: Λύνουμε την εξίσωση με τα γνωστά βήματα.

Έλεγχος: Ελέγχουμε τη λύση πάνω στην εκφώνηση — όχι μόνο στην εξίσωση — και απαντάμε σε αυτό που ρωτήθηκε.

Λέξεις-κλειδιά για τη μετάφραση: «κατά

5

μεγαλύτερο»

\to x + 5

, «διπλάσιο»

\to 2x

, «το μισό»

\to \frac{x}{2}

, «ελαττωμένο κατά

4

\to x - 4

, «ισούται»

\to

το σύμβολο

=