⭕

Εμβαδά Επίπεδων Σχημάτων & Κύκλος

Εμβαδά βασικών σχημάτων, μήκος κύκλου 2πρ, εμβαδόν πρ²

Γιατί με νοιάζει;

Στην ίδια τιμή, τι συμφέρει: μία πίτσα διαμέτρου $30$ cm ή δύο διαμέτρου $20$ cm; Οι περισσότεροι λένε «τις δύο» — και τρώνε λιγότερο! Η μεγάλη έχει εμβαδόν $\pi \cdot 15^2 = 225\pi \text{ cm}^2$ , ενώ οι δύο μικρές μαζί μόνο $2 \cdot \pi \cdot 10^2 = 200\pi \text{ cm}^2$ . Στα εμβαδά η διαίσθηση συχνά πέφτει έξω — οι τύποι αυτού του κεφαλαίου δεν πέφτουν ποτέ.

Τι μετράει το εμβαδόν

Εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας είναι ο θετικός αριθμός που εκφράζει πόσες φορές «χωράει» μέσα της η μονάδα μέτρησης — ένα τετράγωνο πλευράς $1$ .

Βασικές μονάδες: το $1 \text{ m}^2$ , με υποδιαιρέσεις $1 \text{ dm}^2$ , $1 \text{ cm}^2$ , $1 \text{ mm}^2$ και πολλαπλάσιο το $1 \text{ km}^2$ . Κάθε μονάδα είναι 100 φορές μεγαλύτερη από την αμέσως επόμενη: $1 \text{ m}^2 = 100 \text{ dm}^2 = 10000 \text{ cm}^2$ . Για οικόπεδα χρησιμοποιούμε και το στρέμμα: $1$ στρέμμα $= 1000 \text{ m}^2$ .

Γρήγορος έλεγχος

Πόσα $\text{cm}^2$ είναι τα $3 \text{ m}^2$ ;

Τα βασικά σχήματα

Τετράγωνο πλευράς $\alpha$ : $E = \alpha^2$
Ορθογώνιο με διαστάσεις $\alpha, \beta$ : $E = \alpha \cdot \beta$
Παραλληλόγραμμο με βάση $\beta$ και ύψος $\upsilon$ : $E = \beta \cdot \upsilon$
Τρίγωνο: $E = \frac{1}{2} \beta \cdot \upsilon$ — μισό παραλληλόγραμμο!
Ορθογώνιο τρίγωνο: το μισό του γινομένου των κάθετων πλευρών
Τραπέζιο με βάσεις $B, \beta$ και ύψος $\upsilon$ : $E = \frac{(B + \beta) \cdot \upsilon}{2}$

Πρόσεξε: το ύψος είναι πάντα κάθετο στη βάση, όχι η πλάγια πλευρά.

$E_{\text{τριγώνου}} = \frac{\beta \cdot \upsilon}{2} \qquad E_{\text{τραπεζίου}} = \frac{(B + \beta) \cdot \upsilon}{2}$

Παράδειγμα (οικόπεδο): Ένα οικόπεδο έχει σχήμα τραπεζίου με βάσεις $30$ m και $18$ m και ύψος $20$ m. Πόσο είναι το εμβαδόν του σε $\text{m}^2$ και σε στρέμματα;

$E = \frac{(B + \beta) \cdot \upsilon}{2} = \frac{(30 + 18) \cdot 20}{2} = \frac{48 \cdot 20}{2} = 480 \text{ m}^2$

Αφού $1$ στρέμμα $= 1000 \text{ m}^2$ : $480 \text{ m}^2 = 0{,}48$ στρέμματα — λίγο λιγότερο από μισό στρέμμα.

Γρήγορος έλεγχος

Τρίγωνο έχει βάση $8$ cm και αντίστοιχο ύψος $5$ cm. Πόσο είναι το εμβαδόν του;

Ο κύκλος: μήκος και εμβαδόν

Σε κάθε κύκλο, ο λόγος του μήκους του προς τη διάμετρο είναι ο ίδιος αριθμός: ο περίφημος $\pi \approx 3{,}14$ . Έτσι, κύκλος με ακτίνα $\rho$ έχει μήκος $L = 2\pi\rho$ .

Για το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου υπάρχει ένα υπέροχο επιχείρημα: κόβουμε τον δίσκο σε πολύ λεπτές «φέτες» και τις ξετυλίγουμε σε σχήμα που μοιάζει με τρίγωνο, με βάση το μήκος του κύκλου $2\pi\rho$ και ύψος την ακτίνα $\rho$ . Το εμβαδόν του είναι $\frac{1}{2} \cdot 2\pi\rho \cdot \rho = \pi\rho^2$ .

Ξετύλιξε τον κύκλο σε «τρίγωνο» με βάση 2πρ και ύψος ρ — και δες από πού βγαίνει το E = πρ².

$L = 2\pi\rho = \pi\delta \qquad E = \pi\rho^2$

Ήξερες ότι;

Ο Αρχιμήδης (3ος αι. π.Χ.) «στρίμωξε» τον αριθμό $\pi$ ανάμεσα σε δύο κανονικά $96$ -γωνα, ένα μέσα και ένα έξω από τον κύκλο. Έτσι απέδειξε ότι $3\frac{10}{71} < \pi < 3\frac{1}{7}$ . Από εκεί βγαίνει η γνωστή προσέγγιση $\frac{22}{7} \approx 3{,}14$ . Ο $\pi$ είναι άρρητος: τα δεκαδικά του δεν τελειώνουν ποτέ και δεν επαναλαμβάνονται.

Γρήγορος έλεγχος

Πόσο είναι το μήκος κύκλου με διάμετρο $10$ cm; (Πάρε $\pi \approx 3{,}14$ .)

Τόξα και κυκλικοί τομείς

Ένα τόξο $\mu°$ είναι το $\frac{\mu}{360}$ ολόκληρου του κύκλου, άρα έχει μήκος $\ell = \frac{\mu}{360} \cdot 2\pi\rho$ . Ομοίως, ο κυκλικός τομέας $\mu°$ (το «κομμάτι πίτσας») έχει εμβαδόν $E = \frac{\mu}{360} \cdot \pi\rho^2$ . Με άλλα λόγια: βρίσκεις το ποσοστό του κύκλου και το παίρνεις από το όλον.

Άσκηση: Μια κυκλική πλατεία έχει ακτίνα $10 \text{ m}$ . (α) Πόσα μέτρα περίφραξη χρειάζεται γύρω της; (β) Πόσα $\text{m}^2$ γκαζόν χρειάζονται για να καλυφθεί; (Πάρε $\pi \approx 3{,}14$ .)

Λύση: (α) Η περίφραξη είναι το μήκος του κύκλου:

$L = 2\pi\rho = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 10 = 62{,}8 \text{ m}$

(β) Το γκαζόν καλύπτει το εμβαδόν του δίσκου:

$E = \pi\rho^2 = 3{,}14 \cdot 10^2 = 3{,}14 \cdot 100 = 314 \text{ m}^2$

Πρόσεξε τη διαφορά: το (α) μετριέται σε $\text{m}$ , το (β) σε $\text{m}^2$ . ✓

Μέθοδος: εμβαδόν σύνθετου σχήματος

Χώρισε το σχήμα σε γνωστά κομμάτια (ορθογώνια, τρίγωνα, κύκλους) ή συμπλήρωσέ το σε ένα μεγαλύτερο γνωστό σχήμα.
Φέρε όλα τα μήκη στην ίδια μονάδα.
Υπολόγισε το εμβαδόν κάθε κομματιού με τον τύπο του.
Πρόσθεσε τα κομμάτια ή αφαίρεσε από το «συμπληρωμένο» σχήμα αυτό που περισσεύει.
Γράψε την απάντηση σε τετραγωνικές μονάδες.

Παράδειγμα 2 (αφαίρεση εμβαδών): Σε τετράγωνο πλακάκι πλευράς $10$ cm είναι ζωγραφισμένος ο μεγαλύτερος δυνατός κύκλος. Πόση επιφάνεια του πλακακιού μένει έξω από τον κύκλο; (Πάρε $\pi \approx 3{,}14$ .)

Ο κύκλος «χωράει» ακριβώς: η διάμετρός του είναι $10$ cm, άρα $\rho = 5$ cm.

Τετράγωνο: $E_1 = 10^2 = 100 \text{ cm}^2$
Κύκλος: $E_2 = \pi\rho^2 = 3{,}14 \cdot 25 = 78{,}5 \text{ cm}^2$

Έξω από τον κύκλο μένουν $E_1 - E_2 = 100 - 78{,}5 = 21{,}5 \text{ cm}^2$ — περίπου το $21\%$ του πλακακιού.

Παράδειγμα 3 (αντίστροφο πρόβλημα): Ένας κυκλικός διάδρομος έχει μήκος $31{,}4$ m. Πόση είναι η ακτίνα του και πόσο το εμβαδόν που περικλείει; (Πάρε $\pi \approx 3{,}14$ .)

Από το μήκος βρίσκουμε την ακτίνα:

$2\pi\rho = 31{,}4 \Rightarrow \rho = \frac{31{,}4}{2 \cdot 3{,}14} = \frac{31{,}4}{6{,}28} = 5 \text{ m}$

Και μετά το εμβαδόν:

$E = \pi\rho^2 = 3{,}14 \cdot 5^2 = 78{,}5 \text{ m}^2$

Η στρατηγική: από όποιο στοιχείο κι αν δίνεται, βρες πρώτα την ακτίνα.

Γρήγορος έλεγχος

Αν διπλασιάσουμε την ακτίνα ενός κύκλου, το εμβαδόν του:

Πρόκληση

Φαντάσου ένα σκοινί τεντωμένο γύρω από τον Ισημερινό της Γης (ακτίνα περίπου $6\,400$ km). Θέλουμε να το σηκώσουμε ώστε να απέχει παντού $1$ m από το έδαφος. Πόσο σκοινί πρέπει να προσθέσουμε; Και πόσο θα χρειαζόταν για μια μπάλα ποδοσφαίρου;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Αν $R$ είναι η ακτίνα (σε m), το αρχικό σκοινί έχει μήκος $L_1 = 2\pi R$ . Σηκωμένο κατά $1$ m, γίνεται κύκλος ακτίνας $R + 1$ :

$L_2 = 2\pi(R + 1) = 2\pi R + 2\pi$

Άρα πρέπει να προσθέσουμε $L_2 - L_1 = 2\pi \approx 2 \cdot 3{,}14 = 6{,}28$ m.

Η έκπληξη: το $R$ εξαφανίστηκε! Για τη Γη, για μια μπάλα ή για ένα κέρμα, η απάντηση είναι η ίδια — περίπου $6{,}28$ m.

Ο πιο γρήγορος αυτοέλεγχος στο διαγώνισμα είναι οι μονάδες: μήκος κύκλου σε $\text{m}$ → τύπος χωρίς τετράγωνο ( $2\pi\rho$ ), εμβαδόν σε $\text{m}^2$ → τύπος με τετράγωνο ( $\pi\rho^2$ ). Και πριν από κάθε πράξη, φέρε όλα τα μήκη στην ίδια μονάδα — τα μισά λάθη στα εμβαδά είναι κρυμμένα cm μέσα σε m.

Συνηθισμένα λάθη

Μετατροπή επιφανειών με το $100$ των μηκών: $1 \text{ m}^2 = 10000 \text{ cm}^2$ , όχι $100$ .
Ξεχασμένο «διά 2» στο τρίγωνο και στο τραπέζιο.
Πλάγια πλευρά ως ύψος: στο παραλληλόγραμμο και στο τραπέζιο το ύψος είναι η κάθετη απόσταση των βάσεων.
Διάμετρος στη θέση της ακτίνας: αν δίνεται $\delta = 10$ , τότε $\rho = 5$ και $E = 25\pi$ , όχι $100\pi$ .

Σύνοψη — τι κρατάμε

$1 \text{ m}^2 = 100 \text{ dm}^2 = 10000 \text{ cm}^2$ · $1$ στρέμμα $= 1000 \text{ m}^2$ .
Ορθογώνιο $\alpha\beta$ · παραλληλόγραμμο $\beta\upsilon$ · τρίγωνο $\frac{\beta\upsilon}{2}$ · τραπέζιο $\frac{(B + \beta)\upsilon}{2}$ .
Κύκλος: $L = 2\pi\rho = \pi\delta$ · δίσκος: $E = \pi\rho^2$ .
Τόξο $\mu°$ : $\ell = \frac{\mu}{360} \cdot 2\pi\rho$ · τομέας: $E = \frac{\mu}{360} \cdot \pi\rho^2$ .
Σύνθετα σχήματα: χώρισε ή συμπλήρωσε, πρόσθεσε ή αφαίρεσε.

Τι μετράει το εμβαδόν

Εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας είναι ο θετικός αριθμός που εκφράζει πόσες φορές «χωράει» μέσα της η μονάδα μέτρησης — ένα τετράγωνο πλευράς

1

Βασικές μονάδες: το

1 \text{ m}^2

, με υποδιαιρέσεις

1 \text{ dm}^2

1 \text{ cm}^2

1 \text{ mm}^2

και πολλαπλάσιο το

1 \text{ km}^2

. Κάθε μονάδα είναι 100 φορές μεγαλύτερη από την αμέσως επόμενη:

1 \text{ m}^2 = 100 \text{ dm}^2 = 10000 \text{ cm}^2

. Για οικόπεδα χρησιμοποιούμε και το στρέμμα:

1

στρέμμα

= 1000 \text{ m}^2