🌀

Τριγωνομετρικές Εξισώσεις

Γενικές λύσεις των ημx=ημθ, συνx=συνθ, εφx=εφθ

Γιατί με νοιάζει;

Σε ένα λιμάνι η στάθμη της θάλασσας ανεβοκατεβαίνει με την παλίρροια σχεδόν σαν κύμα ημιτόνου. Αν ρωτήσεις «πότε θα φτάσει ξανά το νερό στο ίδιο ύψος;», η απάντηση δεν είναι μία στιγμή αλλά μια ατελείωτη σειρά από στιγμές — κάθε μέρα ξανά. Αυτό ακριβώς κάνουν οι τριγωνομετρικές εξισώσεις: σου δίνουν όλες τις λύσεις με έναν τύπο.

Γιατί άπειρες λύσεις;

Η εξίσωση $\eta\mu x = \frac{1}{2}$ δεν έχει μία λύση — έχει άπειρες! Ο πρώτος λόγος είναι η περιοδικότητα: αν το $x_0$ είναι λύση, τότε και κάθε $x_0 + 2\kappa\pi$ είναι λύση. Ο δεύτερος: στον τριγωνομετρικό κύκλο υπάρχουν δύο σημεία με την ίδια τεταγμένη, αφού οι γωνίες $\theta$ και $\pi - \theta$ έχουν το ίδιο ημίτονο.

Η στρατηγική είναι πάντα ίδια: φέρνουμε την εξίσωση σε μια από τις τρεις βασικές μορφές και εφαρμόζουμε τον αντίστοιχο τύπο γενικών λύσεων.

Ήξερες ότι;

Η λέξη «sine» (το ημίτονο στα αγγλικά) γεννήθηκε από ένα μεταφραστικό λάθος. Οι Ινδοί μαθηματικοί έλεγαν το ημίτονο «jya», δηλαδή χορδή τόξου. Οι Άραβες το έγραψαν «jiba», χωρίς φωνήεντα, και αργότερα διαβάστηκε «jaib», που σημαίνει «κόλπος, πτυχή». Τον 12ο αιώνα οι Ευρωπαίοι μεταφραστές το απέδωσαν κατά λέξη στα λατινικά: sinus, «κόλπος».

Περιέστρεψε τη γωνία: τα σημεία θ και π−θ έχουν το ίδιο ύψος — το ίδιο ημίτονο.

Οι τρεις βασικές μορφές

$\eta\mu x = \eta\mu\theta$ : ίδια τεταγμένη ⟶ $\theta$ ή $\pi - \theta$ , συν πλήρεις στροφές
$\sigma\upsilon\nu x = \sigma\upsilon\nu\theta$ : ίδια τετμημένη ⟶ $\theta$ ή $-\theta$ , συν πλήρεις στροφές
$\varepsilon\varphi x = \varepsilon\varphi\theta$ : ίδια κλίση ⟶ $\theta$ συν μισές στροφές, αφού η εφαπτομένη έχει περίοδο $\pi$

$\eta\mu x = \eta\mu\theta \iff x = 2\kappa\pi + \theta \ \text{ή} \ x = 2\kappa\pi + \pi - \theta$ $\sigma\upsilon\nu x = \sigma\upsilon\nu\theta \iff x = 2\kappa\pi + \theta \ \text{ή} \ x = 2\kappa\pi - \theta$ $\varepsilon\varphi x = \varepsilon\varphi\theta \iff x = \kappa\pi + \theta, \qquad \kappa \in \mathbb{Z}$

Κόλπο μνήμης

κάθε τύπος ακολουθεί τον καθρέφτη της συνάρτησης στον κύκλο.

ημ = ύψος: ίδιο ύψος έχουν οι $\theta$ και $\pi - \theta$ → « $\theta$ ή $\pi - \theta$ », ανά $2\kappa\pi$ .
συν = οριζόντια θέση: ίδια τετμημένη έχουν οι $\theta$ και $-\theta$ → « $\pm\theta$ », ανά $2\kappa\pi$ .
εφ: επαναλαμβάνεται ανά $\pi$ → μία μόνο οικογένεια, $\kappa\pi + \theta$ .

Ειδικές περιπτώσεις — απευθείας από τον κύκλο

$\eta\mu x = 0 \iff x = \kappa\pi$
$\sigma\upsilon\nu x = 0 \iff x = \kappa\pi + \frac{\pi}{2}$
$\eta\mu x = 1 \iff x = 2\kappa\pi + \frac{\pi}{2}$ και $\eta\mu x = -1 \iff x = 2\kappa\pi - \frac{\pi}{2}$
$\sigma\upsilon\nu x = 1 \iff x = 2\kappa\pi$ και $\sigma\upsilon\nu x = -1 \iff x = 2\kappa\pi + \pi$

Για αρνητικά δεύτερα μέλη χρησιμοποιούμε αναγωγή: $-\eta\mu\theta = \eta\mu(-\theta)$ και $-\sigma\upsilon\nu\theta = \sigma\upsilon\nu(\pi - \theta)$ .

Μέθοδος: επίλυση τριγωνομετρικής εξίσωσης

Απομόνωσε τον τριγωνομετρικό αριθμό: $\eta\mu x = \alpha$ , $\sigma\upsilon\nu x = \alpha$ ή $\varepsilon\varphi x = \alpha$ .
Για ημίτονο και συνημίτονο έλεγξε ότι $-1 \le \alpha \le 1$ — αλλιώς η εξίσωση είναι αδύνατη.
Γράψε το $\alpha$ ως τριγωνομετρικό αριθμό γνωστής γωνίας $\theta$ . Για αρνητικό $\alpha$ : $-\eta\mu\theta = \eta\mu(-\theta)$ , $-\sigma\upsilon\nu\theta = \sigma\upsilon\nu(\pi - \theta)$ , $-\varepsilon\varphi\theta = \varepsilon\varphi(-\theta)$ .
Εφάρμοσε τον τύπο των γενικών λύσεων και γράψε $\kappa \in \mathbb{Z}$ .
Αν ζητούνται λύσεις σε διάστημα, δώσε στο $\kappa$ διαδοχικές ακέραιες τιμές και κράτησε όσες πέφτουν μέσα.
Αν η εξίσωση είναι 2ου βαθμού ως προς $\eta\mu x$ ή $\sigma\upsilon\nu x$ , θέσε $y = \eta\mu x$ (ή $y = \sigma\upsilon\nu x$ ) με $-1 \le y \le 1$ και απόρριψε τις ρίζες εκτός $[-1, 1]$ .

Άσκηση: Να λυθεί η εξίσωση $2\eta\mu x - 1 = 0$ .

Λύση: Είναι $\eta\mu x = \frac{1}{2}$ . Αναγνωρίζουμε γνωστή γωνία: $\frac{1}{2} = \eta\mu\frac{\pi}{6}$ , οπότε:

$\eta\mu x = \eta\mu\frac{\pi}{6} \iff x = 2\kappa\pi + \frac{\pi}{6} \ \text{ή} \ x = 2\kappa\pi + \pi - \frac{\pi}{6} = 2\kappa\pi + \frac{5\pi}{6}, \quad \kappa \in \mathbb{Z}$

Άσκηση: Να λυθεί η εξίσωση $\eta\mu 2x = \eta\mu x$ .

Λύση: Ήδη σε βασική μορφή με $\theta = x$ :

$2x = 2\kappa\pi + x \ \text{ή} \ 2x = 2\kappa\pi + \pi - x$

Από την πρώτη: $x = 2\kappa\pi$ . Από τη δεύτερη: $3x = 2\kappa\pi + \pi \iff x = \frac{2\kappa\pi}{3} + \frac{\pi}{3}$ .

Άρα $x = 2\kappa\pi$ ή $x = \frac{2\kappa\pi}{3} + \frac{\pi}{3}$ , $\kappa \in \mathbb{Z}$ .

Παράδειγμα: Να λυθούν οι εξισώσεις: α) $\sigma\upsilon\nu x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ , β) $\varepsilon\varphi x = -\sqrt{3}$ , γ) $\eta\mu x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ στο διάστημα $[0, 2\pi)$ .

Λύση: α) $-\frac{\sqrt{2}}{2} = -\sigma\upsilon\nu\frac{\pi}{4} = \sigma\upsilon\nu\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \sigma\upsilon\nu\frac{3\pi}{4}$ . Άρα

$x = 2\kappa\pi + \frac{3\pi}{4} \ \text{ή} \ x = 2\kappa\pi - \frac{3\pi}{4}, \quad \kappa \in \mathbb{Z}$

β) $-\sqrt{3} = -\varepsilon\varphi\frac{\pi}{3} = \varepsilon\varphi\left(-\frac{\pi}{3}\right)$ , άρα $x = \kappa\pi - \frac{\pi}{3}$ , $\kappa \in \mathbb{Z}$ .

γ) $\frac{\sqrt{3}}{2} = \eta\mu\frac{\pi}{3}$ , άρα $x = 2\kappa\pi + \frac{\pi}{3}$ ή $x = 2\kappa\pi + \frac{2\pi}{3}$ . Για $\kappa = 0$ παίρνουμε $\frac{\pi}{3}$ και $\frac{2\pi}{3}$ , που ανήκουν στο $[0, 2\pi)$ · για $\kappa = 1$ οι λύσεις ξεπερνούν το $2\pi$ και για $\kappa = -1$ γίνονται αρνητικές. Άρα $x \in \left\{\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}\right\}$ .

Γρήγορος έλεγχος

Ποιες είναι όλες οι λύσεις της εξίσωσης $\sigma\upsilon\nu x = 1$ ;

Γρήγορος έλεγχος

Ποιες είναι όλες οι λύσεις της εξίσωσης $\varepsilon\varphi x = 1$ ;

Γρήγορος έλεγχος

Τι ισχύει για την εξίσωση $3\eta\mu x = 4$ ;

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Δίνεται η εξίσωση $2\sigma\upsilon\nu^2 x - \sigma\upsilon\nu x - 1 = 0$ .

α) Να λυθεί στο $\mathbb{R}$ .

β) Να βρεθούν οι λύσεις της στο διάστημα $[0, 2\pi)$ .

Λύση:

α) Θέτουμε $y = \sigma\upsilon\nu x$ με $-1 \le y \le 1$ : $2y^2 - y - 1 = 0$ , με $\Delta = 1 + 8 = 9$ , άρα $y = \frac{1 \pm 3}{4}$ , δηλαδή $y = 1$ ή $y = -\frac{1}{2}$ — και οι δύο δεκτές.

$\sigma\upsilon\nu x = 1 \iff x = 2\kappa\pi$
$\sigma\upsilon\nu x = -\frac{1}{2} = -\sigma\upsilon\nu\frac{\pi}{3} = \sigma\upsilon\nu\frac{2\pi}{3} \iff x = 2\kappa\pi \pm \frac{2\pi}{3}$

με $\kappa \in \mathbb{Z}$ .

β) Από $x = 2\kappa\pi$ : μόνο το $0$ ( $\kappa = 0$ ). Από $x = 2\kappa\pi + \frac{2\pi}{3}$ : το $\frac{2\pi}{3}$ ( $\kappa = 0$ ). Από $x = 2\kappa\pi - \frac{2\pi}{3}$ : το $\frac{4\pi}{3}$ ( $\kappa = 1$ ). Άρα $x \in \left\{0, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}\right\}$ .

Έλεγχος για $x = \frac{2\pi}{3}$ : $2 \cdot \frac{1}{4} - \left(-\frac{1}{2}\right) - 1 = 0$ ✓

Απάντηση: α) $x = 2\kappa\pi$ ή $x = 2\kappa\pi \pm \frac{2\pi}{3}$ , $\kappa \in \mathbb{Z}$ , β) $0$ , $\frac{2\pi}{3}$ , $\frac{4\pi}{3}$ .

Πρόκληση

Για ποιες τιμές του $\lambda$ η εξίσωση $2\eta\mu x = \lambda - 1$ έχει ακριβώς δύο λύσεις στο διάστημα $[0, \pi]$ ;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Η εξίσωση γράφεται $\eta\mu x = \frac{\lambda - 1}{2}$ . Φαντάσου την οριζόντια ευθεία $y = \frac{\lambda - 1}{2}$ να κόβει το «καμπούρι» της $y = \eta\mu x$ στο $[0, \pi]$ : ξεκινά από το $0$ , ανεβαίνει στο $1$ (στο $\frac{\pi}{2}$ ) και ξαναπέφτει στο $0$ .

Αν $\frac{\lambda - 1}{2} < 0$ ή $\frac{\lambda - 1}{2} > 1$ : καμία λύση.
Αν $\frac{\lambda - 1}{2} = 1$ : μία λύση, η $x = \frac{\pi}{2}$ — η ευθεία μόλις αγγίζει την κορυφή.
Αν $0 \le \frac{\lambda - 1}{2} < 1$ : δύο λύσεις, οι $\theta$ και $\pi - \theta$ . Προσοχή στο άκρο $0$ : η $\eta\mu x = 0$ δίνει $x = 0$ και $x = \pi$ , που ανήκουν στο κλειστό διάστημα — άρα και πάλι δύο.

Άρα $0 \le \lambda - 1 < 2 \iff 1 \le \lambda < 3$ . Η παγίδα είναι το $\lambda = 3$ : δίνει μία μόνο λύση, γιατί τότε οι $\theta$ και $\pi - \theta$ συμπίπτουν στο $\frac{\pi}{2}$ .

Το « $\kappa \in \mathbb{Z}$ » δεν είναι διακόσμηση — η παράλειψή του κοστίζει μονάδες στις εξετάσεις. Γράφε το σε κάθε γενική λύση. Και όταν η εκφώνηση ζητά λύσεις σε συγκεκριμένο διάστημα (π.χ. $[0, 2\pi)$ ), βρες πρώτα τη γενική λύση και μετά δώσε στο $\kappa$ τις τιμές $\dots, -1, 0, 1, \dots$ μέχρι να βγεις εκτός διαστήματος.

Συνηθισμένα λάθη

Παραλείπουν το $\kappa \in \mathbb{Z}$ ή δίνουν μόνο μία «βασική» λύση, π.χ. $x = \frac{\pi}{6}$ για την $\eta\mu x = \frac{1}{2}$ .
Χρησιμοποιούν για το συνημίτονο τον τύπο του ημιτόνου ( $\pi - \theta$ ) ή το αντίστροφο. Ημίτονο: $\theta$ και $\pi - \theta$ · συνημίτονο: $\pm\theta$ .
Γράφουν στην εφαπτομένη $2\kappa\pi$ αντί για $\kappa\pi$ και χάνουν τις μισές λύσεις.
Λύνουν την $\eta\mu x = \alpha$ με $|\alpha| > 1$ , ή δεν απορρίπτουν τέτοιες ρίζες μετά την αντικατάσταση $y = \eta\mu x$ .

Σύνοψη — τι κρατάμε

$\eta\mu x = \eta\mu\theta \iff x = 2\kappa\pi + \theta$ ή $x = 2\kappa\pi + \pi - \theta$
$\sigma\upsilon\nu x = \sigma\upsilon\nu\theta \iff x = 2\kappa\pi \pm \theta$
$\varepsilon\varphi x = \varepsilon\varphi\theta \iff x = \kappa\pi + \theta$ — πάντα με $\kappa \in \mathbb{Z}$
$\eta\mu x = \alpha$ ή $\sigma\upsilon\nu x = \alpha$ με $|\alpha| > 1$ : αδύνατη
Αρνητικά δεύτερα μέλη: $-\eta\mu\theta = \eta\mu(-\theta)$ , $-\sigma\upsilon\nu\theta = \sigma\upsilon\nu(\pi - \theta)$ , $-\varepsilon\varphi\theta = \varepsilon\varphi(-\theta)$

Γιατί άπειρες λύσεις;

Η εξίσωση

\eta\mu x = \frac{1}{2}

δεν έχει μία λύση — έχει άπειρες! Ο πρώτος λόγος είναι η περιοδικότητα: αν το

x_0

είναι λύση, τότε και κάθε

x_0 + 2\kappa\pi

είναι λύση. Ο δεύτερος: στον τριγωνομετρικό κύκλο υπάρχουν δύο σημεία με την ίδια τεταγμένη, αφού οι γωνίες

\theta

και

\pi - \theta

έχουν το ίδιο ημίτονο.