🌊

Γραφικές Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων

Μελέτη y=ημx, y=συνx, y=εφx, μονοτονία, πλάτος και περίοδος ρ·ημ(ωx)

Γιατί με νοιάζει;

Η νότα Λα με την οποία κουρδίζονται οι ορχήστρες είναι ένας ήχος που πάλλεται $440$ φορές το δευτερόλεπτο — ένα κύμα της μορφής $\eta\mu(\omega t)$ . Η τάση στην πρίζα σου κάνει $50$ πλήρεις κύκλους το δευτερόλεπτο ( $50$ Hz), ξανά ημιτονοειδώς. Οι γραφικές παραστάσεις αυτού του κεφαλαίου είναι η γλώσσα κάθε φαινομένου που επαναλαμβάνεται: ήχος, ρεύμα, παλίρροιες, εποχές.

Η συνάρτηση $f(x) = \eta\mu x$

Καθώς το $x$ μεγαλώνει, το σημείο γυρίζει στον τριγωνομετρικό κύκλο και η τεταγμένη του ανεβοκατεβαίνει — αν την «ξετυλίξεις» πάνω σε άξονα, παίρνεις το γνωστό κύμα, την ημιτονοειδή καμπύλη.

Ταυτότητα της συνάρτησης:

Πεδίο ορισμού: $\mathbb{R}$ , σύνολο τιμών: $[-1, 1]$ .
Περιττή ( $\eta\mu(-x) = -\eta\mu x$ ): συμμετρία ως προς την αρχή $O$ .
Περιοδική με περίοδο $T = 2\pi$ : αρκεί να τη μελετήσουμε στο $[0, 2\pi]$ .

Ακολούθησε την πορεία της στο $[0, 2\pi]$ . Είναι αύξουσα στο $[0, \frac{\pi}{2}]$ , από $0$ σε $1$ . Μετά φθίνουσα στο $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$ , από $1$ σε $-1$ . Τέλος ξανά αύξουσα στο $[\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$ , από $-1$ σε $0$ . Έχει μέγιστο $1$ στο $x = \frac{\pi}{2}$ , ελάχιστο $-1$ στο $x = \frac{3\pi}{2}$ και μηδενίζεται στα $0, \pi, 2\pi$ .

Γύρισε αργά τη γωνία και παρακολούθησε μόνο το ύψος του σημείου: ανεβαίνει μέχρι το π/2, κατεβαίνει μέχρι το 3π/2, ξανανεβαίνει — αυτή η διαδρομή, ξετυλιγμένη στον άξονα x, ΕΙΝΑΙ η γραφική παράσταση του ημx και εξηγεί τη μονοτονία ανά διάστημα.

Η συνάρτηση $f(x) = \sigma\upsilon\nu x$

Ίδιο κύμα, άλλη αφετηρία: παρακολουθούμε την τετμημένη του σημείου, που ξεκινά από την κορυφή της.

Πεδίο ορισμού $\mathbb{R}$ , σύνολο τιμών $[-1, 1]$ , περίοδος $2\pi$ .
Άρτια ( $\sigma\upsilon\nu(-x) = \sigma\upsilon\nu x$ ): συμμετρία ως προς τον άξονα $y'y$ .
Στο $[0, 2\pi]$ : φθίνουσα στο $[0, \pi]$ από $1$ σε $-1$ και αύξουσα στο $[\pi, 2\pi]$ από $-1$ σε $1$ . Μέγιστο $1$ στα $x = 0$ και $x = 2\pi$ , ελάχιστο $-1$ στο $x = \pi$ , μηδενίζεται στα $\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$ .

Η καμπύλη του συνημιτόνου είναι η καμπύλη του ημιτόνου μετατοπισμένη $\frac{\pi}{2}$ αριστερά — όπως ακριβώς έμαθες στις μετατοπίσεις γραφικών παραστάσεων.

Η συνάρτηση $f(x) = \varepsilon\varphi x$

Εντελώς άλλος χαρακτήρας — όχι κύμα, αλλά άπειρα «κλαδιά»:

Πεδίο ορισμού: $x \neq \kappa\pi + \frac{\pi}{2}$ (εκεί $\sigma\upsilon\nu x = 0$ ), σύνολο τιμών: όλο το $\mathbb{R}$ .
Περιττή, περιοδική με περίοδο $T = \pi$ .
Γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα $\left(\kappa\pi - \frac{\pi}{2},\ \kappa\pi + \frac{\pi}{2}\right)$ , διατρέχοντας όλο το $\mathbb{R}$ από $-\infty$ έως $+\infty$ .
Οι κατακόρυφες ευθείες $x = \kappa\pi + \frac{\pi}{2}$ είναι ασύμπτωτες: η καμπύλη τις πλησιάζει όσο θέλει χωρίς να τις αγγίζει ποτέ.

Ήξερες ότι;

Ο Joseph Fourier έδειξε στις αρχές του 19ου αιώνα ότι ακόμη και πολύπλοκα περιοδικά σήματα γράφονται ως άθροισμα απλών ημιτονοειδών κυμάτων. Η ιδέα του δουλεύει σήμερα στο κινητό σου: η συμπίεση εικόνων JPEG γράφει κάθε μπλοκ $8 \times 8$ pixel ως συνδυασμό από «κύματα» συνημιτόνου και πετά όσα το μάτι δεν προσέχει.

Κάνε ζουμ κοντά στην κατακόρυφη ασύμπτωτη: όσο το x πλησιάζει το π/2, η τιμή της εφx εκτοξεύεται προς το +∞ χωρίς η καμπύλη να ακουμπήσει ποτέ την ευθεία — έτσι καταλαβαίνεις γιατί το π/2 λείπει από το πεδίο ορισμού και τι σημαίνει «ασύμπτωτη».

Πλάτος και περίοδος: $f(x) = \rho\,\eta\mu(\omega x)$

Με $\rho, \omega > 0$ , η καμπύλη του ημιτόνου «τεντώνεται» προς δύο κατευθύνσεις:

Το $\rho$ είναι το πλάτος: μέγιστο $\rho$ , ελάχιστο $-\rho$ — η καμπύλη ψηλώνει κατακόρυφα.
Το $\omega$ συμπιέζει οριζόντια: η περίοδος γίνεται $T = \frac{2\pi}{\omega}$ . Μεγαλύτερο $\omega$ σημαίνει πιο «πυκνό» κύμα.

Τα ίδια ισχύουν και για την $g(x) = \rho\,\sigma\upsilon\nu(\omega x)$ . Για να σχεδιάσεις μία περίοδο, φτιάξε πίνακα με τα πέντε σημεία-κλειδιά: αρχή, τέταρτα και τέλος της περιόδου.

$f(x) = \rho\,\eta\mu(\omega x): \quad \max = \rho, \quad \min = -\rho, \quad T = \frac{2\pi}{\omega}$

Κόλπο μνήμης

στην $f(x) = \rho\,\eta\mu(\omega x)$ φαντάσου το κύμα σαν ελατήριο. Το $\rho$ το τεντώνει κατακόρυφα (ψηλότερες κορυφές), το $\omega$ το στριμώχνει οριζόντια (πιο πυκνά κύματα). Γι' αυτό μεγαλύτερο $\omega$ σημαίνει μικρότερη περίοδο: στο $T = \frac{2\pi}{\omega}$ το $\omega$ είναι στον παρονομαστή.

Μέθοδος: μελέτη και γραφική παράσταση της $\rho\,\eta\mu(\omega x)$ ή $\rho\,\sigma\upsilon\nu(\omega x)$

Βρες τη μέγιστη τιμή $\rho$ , την ελάχιστη $-\rho$ και την περίοδο $T = \frac{2\pi}{\omega}$ .
Χώρισε το $[0, T]$ σε τέσσερα ίσα κομμάτια: σημεία $0, \frac{T}{4}, \frac{T}{2}, \frac{3T}{4}, T$ .
Υπολόγισε τη συνάρτηση σε αυτά τα πέντε σημεία — για το ημίτονο δίνουν $0, \rho, 0, -\rho, 0$ , για το συνημίτονο $\rho, 0, -\rho, 0, \rho$ .
Σημείωσε τα σημεία, ένωσέ τα με ομαλή καμπύλη και επανάλαβε το σχήμα σε κάθε περίοδο.
Διάβασε από τον πίνακα μονοτονία και ακρότατα.

Παράδειγμα (εξεταστικό μοτίβο): Να μελετηθεί και να παρασταθεί γραφικά σε μία περίοδο η $f(x) = 3\,\eta\mu(2x)$ .

Λύση: Πλάτος $\rho = 3$ (μέγιστο $3$ , ελάχιστο $-3$ ) και περίοδος:

$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{2} = \pi$

Πίνακας με τα πέντε σημεία-κλειδιά στο $[0, \pi]$ (τα τέταρτα της περιόδου):

$x = 0$ : $f(0) = 3\,\eta\mu 0 = 0$
$x = \frac{\pi}{4}$ : $f = 3\,\eta\mu\frac{\pi}{2} = 3$ — μέγιστο
$x = \frac{\pi}{2}$ : $f = 3\,\eta\mu\pi = 0$
$x = \frac{3\pi}{4}$ : $f = 3\,\eta\mu\frac{3\pi}{2} = -3$ — ελάχιστο
$x = \pi$ : $f = 3\,\eta\mu 2\pi = 0$

Η $f$ είναι αύξουσα στο $[0, \frac{\pi}{4}]$ , φθίνουσα στο $[\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$ , αύξουσα στο $[\frac{3\pi}{4}, \pi]$ — το «σενάριο» του ημιτόνου, συμπιεσμένο σε μήκος $\pi$ και τεντωμένο σε ύψος $3$ .

Παράδειγμα: α) Να μελετηθεί σε μία περίοδο η $f(x) = 2\sigma\upsilon\nu\frac{x}{2}$ . β) Ποια είναι η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της $g(x) = 2\sigma\upsilon\nu\frac{x}{2} + 1$ ;

Λύση: α) $\rho = 2$ και $\omega = \frac{1}{2}$ , άρα $T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$ . Πέντε σημεία-κλειδιά στο $[0, 4\pi]$ :

$x = 0$ : $f = 2\sigma\upsilon\nu 0 = 2$ — μέγιστο
$x = \pi$ : $f = 2\sigma\upsilon\nu\frac{\pi}{2} = 0$
$x = 2\pi$ : $f = 2\sigma\upsilon\nu\pi = -2$ — ελάχιστο
$x = 3\pi$ : $f = 2\sigma\upsilon\nu\frac{3\pi}{2} = 0$
$x = 4\pi$ : $f = 2\sigma\upsilon\nu 2\pi = 2$

Η $f$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $[0, 2\pi]$ και γνησίως αύξουσα στο $[2\pi, 4\pi]$ .

β) Η $C_g$ είναι η $C_f$ μετατοπισμένη $1$ μονάδα πάνω, άρα μέγιστο $2 + 1 = 3$ και ελάχιστο $-2 + 1 = -1$ .

Γρήγορος έλεγχος

Σε ποιο διάστημα η $y = \eta\mu x$ είναι γνησίως φθίνουσα;

Γρήγορος έλεγχος

Η συνάρτηση $f(x) = 2\,\eta\mu(4x)$ έχει περίοδο:

Γρήγορος έλεγχος

Ποια είναι η περίοδος της συνάρτησης $f(x) = 5\,\eta\mu(\pi x)$ ;

Γρήγορος έλεγχος

Ποια από τις παρακάτω προτάσεις για την $y = \varepsilon\varphi x$ είναι ΛΑΘΟΣ;

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Η θερμοκρασία (σε βαθμούς Κελσίου) μιας περιοχής στη διάρκεια ενός 24ώρου δίνεται από τη συνάρτηση $\Theta(t) = 20 + 5\,\eta\mu\frac{\pi t}{12}$ , όπου $t \in [0, 24]$ ο χρόνος σε ώρες.

α) Να βρεθεί η περίοδος της συνάρτησης.

β) Να βρεθούν η μέγιστη και η ελάχιστη θερμοκρασία και οι χρονικές στιγμές που σημειώνονται.

γ) Ποιες ώρες η θερμοκρασία είναι $22{,}5$ βαθμοί;

Λύση:

α) $\omega = \frac{\pi}{12}$ , άρα $T = \frac{2\pi}{\pi/12} = 24$ ώρες.

β) Αφού $-1 \le \eta\mu\frac{\pi t}{12} \le 1$ , είναι $15 \le \Theta(t) \le 25$ . Μέγιστη θερμοκρασία $25$ βαθμοί όταν $\frac{\pi t}{12} = \frac{\pi}{2} \iff t = 6$ · ελάχιστη $15$ βαθμοί όταν $\frac{\pi t}{12} = \frac{3\pi}{2} \iff t = 18$ .

γ) $20 + 5\,\eta\mu\frac{\pi t}{12} = 22{,}5 \iff \eta\mu\frac{\pi t}{12} = \frac{1}{2}$ . Για $t \in [0, 24]$ είναι $\frac{\pi t}{12} \in [0, 2\pi]$ , όπου το ημίτονο ισούται με $\frac{1}{2}$ στα $\frac{\pi}{6}$ και $\frac{5\pi}{6}$ . Άρα $t = 2$ ή $t = 10$ .

Απάντηση: α) $24$ ώρες, β) μέγιστο $25$ βαθμοί στις $6$ , ελάχιστο $15$ βαθμοί στις $18$ , γ) στις $2$ και στις $10$ .

Πρόκληση

Πόσες λύσεις έχει η εξίσωση $\eta\mu x = \frac{x}{10}$ ; Χωρίς να τη λύσεις — μόνο με γραφικές παραστάσεις.

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Οι λύσεις είναι τα κοινά σημεία της $y = \eta\mu x$ με την ευθεία $y = \frac{x}{10}$ . Και οι δύο συναρτήσεις είναι περιττές, άρα αν το $x_0$ είναι λύση, είναι και το $-x_0$ : αρκεί να μετρήσουμε τις θετικές λύσεις. Το $x = 0$ είναι προφανώς λύση. Βοηθάει και μια παρατήρηση: κάθε «καμπούρι» του ημιτόνου τέμνει μια ευθεία το πολύ σε δύο σημεία.

Για $x > 10$ : $\frac{x}{10} > 1 \ge \eta\mu x$ , καμία λύση.
Στο $(0, \pi)$ : στο $x = \frac{\pi}{2}$ το κύμα είναι $1 > \frac{\pi}{20} \approx 0{,}16$ (πάνω από την ευθεία), ενώ στο $x = \pi$ είναι $0 < \frac{\pi}{10}$ (κάτω). Το καμπούρι του $[0, \pi]$ έχει ήδη κοινό σημείο το $0$ , άρα εδώ έχει ακριβώς μία ακόμη λύση.
Στο $(\pi, 2\pi)$ : $\eta\mu x < 0 < \frac{x}{10}$ , καμία λύση.
Στο $(2\pi, 3\pi)$ , με $3\pi \approx 9{,}42 < 10$ : στα άκρα το κύμα είναι $0$ , κάτω από την ευθεία, ενώ στην κορυφή $x = \frac{5\pi}{2} \approx 7{,}85$ είναι $1 > 0{,}785$ , πάνω από την ευθεία. Ανεβαίνει πάνω της και ξαναπέφτει: δύο λύσεις.
Στο $(3\pi, 10]$ : εκεί $\eta\mu x < 0$ (το $4\pi \approx 12{,}57$ είναι πιο πέρα), καμία λύση.

Θετικές λύσεις: $1 + 2 = 3$ , άρα και $3$ αρνητικές, συν το $0$ : συνολικά $7$ λύσεις.

Για γρήγορο και σωστό σχήμα στις εξετάσεις: βρες πρώτα $\rho$ και $T = \frac{2\pi}{\omega}$ , χώρισε την περίοδο σε τέσσερα ίσα κομμάτια και σημείωσε τα πέντε σημεία μηδενισμού/μεγίστου/ελαχίστου — η καμπύλη σχεδιάζεται μόνη της. Θυμήσου: ημ ξεκινά από το $0$ και ανεβαίνει, συν ξεκινά από το μέγιστο και κατεβαίνει, εφ δεν είναι κύμα αλλά αύξοντα κλαδιά ανάμεσα σε ασύμπτωτες ανά $\pi$ .

Συνηθισμένα λάθη

Υπολογίζουν την περίοδο ως $\frac{2\pi}{\rho}$ ή αγνοούν το $\omega$ . Η περίοδος εξαρτάται μόνο από το $\omega$ : $T = \frac{2\pi}{\omega}$ .
Δηλώνουν την $\eta\mu x$ γνησίως φθίνουσα στο $[\pi, 2\pi]$ . Στο $\frac{3\pi}{2}$ αλλάζει μονοτονία — φθίνουσα είναι μόνο στο $\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]$ .
Γράφουν ότι η $\varepsilon\varphi x$ έχει περίοδο $2\pi$ ή σύνολο τιμών $[-1, 1]$ . Σωστό: περίοδος $\pi$ , σύνολο τιμών $\mathbb{R}$ .
Ξεκινούν το γράφημα του συνημιτόνου από το $0$ , όπως του ημιτόνου. Η $\rho\,\sigma\upsilon\nu(\omega x)$ ξεκινά από το μέγιστο $\rho$ .

Σύνοψη — τι κρατάμε

$\eta\mu x$ : περιττή, περίοδος $2\pi$ , σύνολο τιμών $[-1, 1]$ , μέγιστο στο $\frac{\pi}{2}$ , ελάχιστο στο $\frac{3\pi}{2}$
$\sigma\upsilon\nu x$ : άρτια, περίοδος $2\pi$ , σύνολο τιμών $[-1, 1]$ , μέγιστο στο $0$ , ελάχιστο στο $\pi$
$\varepsilon\varphi x$ : περιττή, περίοδος $\pi$ , σύνολο τιμών $\mathbb{R}$ , ασύμπτωτες $x = \kappa\pi + \frac{\pi}{2}$
$\rho\,\eta\mu(\omega x)$ και $\rho\,\sigma\upsilon\nu(\omega x)$ : μέγιστο $\rho$ , ελάχιστο $-\rho$ , περίοδος $T = \frac{2\pi}{\omega}$
Σχεδίαση: πέντε σημεία-κλειδιά ανά $\frac{T}{4}$

Η συνάρτηση

f(x) = \eta\mu x

Καθώς το

x

μεγαλώνει, το σημείο γυρίζει στον τριγωνομετρικό κύκλο και η τεταγμένη του ανεβοκατεβαίνει — αν την «ξετυλίξεις» πάνω σε άξονα, παίρνεις το γνωστό κύμα, την ημιτονοειδή καμπύλη.

Ταυτότητα της συνάρτησης:

Πεδίο ορισμού:

\mathbb{R}

, σύνολο τιμών:

[-1, 1]

Περιττή (

\eta\mu(-x) = -\eta\mu x

): συμμετρία ως προς την αρχή

O

Περιοδική με περίοδο

T = 2\pi

: αρκεί να τη μελετήσουμε στο

[0, 2\pi]

Ακολούθησε την πορεία της στο

[0, 2\pi]

. Είναι αύξουσα στο

[0, \frac{\pi}{2}]

, από

0

σε

1

. Μετά φθίνουσα στο

[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]

, από

1

σε

-1

. Τέλος ξανά αύξουσα στο

[\frac{3\pi}{2}, 2\pi]

, από

-1

σε

0

. Έχει μέγιστο

1

στο

x = \frac{\pi}{2}

, ελάχιστο

-1

στο

x = \frac{3\pi}{2}

και μηδενίζεται στα

0, \pi, 2\pi

Γραφικές Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων

Η συνάρτηση f(x)=ημxf(x) = \eta\mu xf(x)=ημx

Η συνάρτηση f(x)=συνxf(x) = \sigma\upsilon\nu xf(x)=συνx

Η συνάρτηση f(x)=εφxf(x) = \varepsilon\varphi xf(x)=εφx

Πλάτος και περίοδος: f(x)=ρ ημ(ωx)f(x) = \rho\,\eta\mu(\omega x)f(x)=ρημ(ωx)

Μέθοδος: μελέτη και γραφική παράσταση της ρ ημ(ωx)\rho\,\eta\mu(\omega x)ρημ(ωx) ή ρ συν(ωx)\rho\,\sigma\upsilon\nu(\omega x)ρσυν(ωx)

Γραφικές Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων

Η συνάρτηση f(x)=ημxf(x) = \eta\mu xf(x)=ημx

Η συνάρτηση f(x)=συνxf(x) = \sigma\upsilon\nu xf(x)=συνx

Η συνάρτηση f(x)=εφxf(x) = \varepsilon\varphi xf(x)=εφx

Πλάτος και περίοδος: f(x)=ρ ημ(ωx)f(x) = \rho\,\eta\mu(\omega x)f(x)=ρημ(ωx)

Μέθοδος: μελέτη και γραφική παράσταση της ρ ημ(ωx)\rho\,\eta\mu(\omega x)ρημ(ωx) ή ρ συν(ωx)\rho\,\sigma\upsilon\nu(\omega x)ρσυν(ωx)

Η συνάρτηση $f(x) = \eta\mu x$

Η συνάρτηση $f(x) = \sigma\upsilon\nu x$

Η συνάρτηση $f(x) = \varepsilon\varphi x$

Πλάτος και περίοδος: $f(x) = \rho\,\eta\mu(\omega x)$

Μέθοδος: μελέτη και γραφική παράσταση της $\rho\,\eta\mu(\omega x)$ ή $\rho\,\sigma\upsilon\nu(\omega x)$

Η συνάρτηση $f(x) = \eta\mu x$

Η συνάρτηση $f(x) = \sigma\upsilon\nu x$

Η συνάρτηση $f(x) = \varepsilon\varphi x$

Πλάτος και περίοδος: $f(x) = \rho\,\eta\mu(\omega x)$

Μέθοδος: μελέτη και γραφική παράσταση της $\rho\,\eta\mu(\omega x)$ ή $\rho\,\sigma\upsilon\nu(\omega x)$