🚦

Πολυωνυμικές Ανισώσεις

Παραγοντοποίηση με Horner, πίνακας προσήμων, διαστήματα λύσεων

Πόσο να κόψεις για το μεγαλύτερο κουτί;

Έχεις ένα τετράγωνο χαρτόνι $12 \times 12$ cm. Κόβεις ίσα τετραγωνάκια πλευράς $x$ στις τέσσερις γωνίες και διπλώνεις τα πτερύγια: φτιάχνεις ανοιχτό κουτί με όγκο $V(x) = x(12 - 2x)^2$ . Μπορεί ο όγκος να ξεπεράσει τα $128$ cm³; Κάθε ερώτηση «πότε είναι μεγαλύτερο;» είναι μια πολυωνυμική ανίσωση — και στο τέλος του κεφαλαίου θα την απαντήσεις χωρίς ούτε ένα δοκιμαστικό κουτί.

Από την εξίσωση στην ανίσωση

Στις εξισώσεις ψάχνεις πού μηδενίζεται το $P(x)$ · στις ανισώσεις ψάχνεις πού είναι θετικό ή αρνητικό. Το κλειδί: οι ρίζες κόβουν τον άξονα σε διαστήματα, και μέσα σε κάθε διάστημα το πρόσημο του $P(x)$ δεν αλλάζει — αλλαγή προσήμου μπορεί να συμβεί μόνο πάνω σε ρίζα.

Η μέθοδος, βήμα-βήμα:

Φέρνεις την ανίσωση στη μορφή $P(x) > 0$ (ή $\geq, <, \leq$ ) με όλους τους όρους στο ένα μέλος.
Παραγοντοποιείς το $P(x)$ — με Horner για ακέραιες ρίζες και τριώνυμο για ό,τι απομείνει.
Βρίσκεις το πρόσημο κάθε παράγοντα σε κάθε διάστημα: ο $x - \rho$ είναι αρνητικός αριστερά του $\rho$ , θετικός δεξιά του.
Φτιάχνεις πίνακα προσήμων: μια γραμμή ανά παράγοντα και μια τελική γραμμή με το γινόμενο.
Διαβάζεις από την τελική γραμμή τα διαστήματα που ζητά η ανίσωση. Σε $\geq$ ή $\leq$ συμπεριλαμβάνεις και τις ρίζες.

Ήξερες ότι;

Τα σύμβολα $<$ και $>$ πρωτοεμφανίστηκαν σε έντυπο το $1631$ , στο βιβλίο άλγεβρας του Άγγλου Thomas Harriot, που εκδόθηκε μετά τον θάνατό του. Ο Harriot ήταν και αστρονόμος: σχεδίασε τη Σελήνη παρατηρώντας την με τηλεσκόπιο το $1609$ , λίγους μήνες πριν από τον Γαλιλαίο.

Σύρε τις ρίζες της παραβολής και δες πότε η καμπύλη βρίσκεται πάνω από τον άξονα x'x και πότε κάτω — η ανίσωση P(x)>0 ρωτάει ακριβώς αυτό, και θα δεις ότι το πρόσημο αλλάζει μόνο εκεί που η καμπύλη διασχίζει τον άξονα, δηλαδή στις ρίζες.

Παράδειγμα (εξεταστικό μοτίβο): Να λυθεί η ανίσωση $x^3 - 4x^2 + x + 6 \geq 0$ .

Λύση: Από το σχήμα Horner με $\rho = -1$ (όπως στις πολυωνυμικές εξισώσεις) το πολυώνυμο παραγοντοποιείται:

$x^3 - 4x^2 + x + 6 = (x + 1)(x - 2)(x - 3)$

Ρίζες: $-1, 2, 3$ — κόβουν τον άξονα σε τέσσερα διαστήματα. Πίνακας προσήμων:

$x < -1$ : οι τρεις παράγοντες είναι $(-)(-)(-)$ → γινόμενο αρνητικό
$-1 < x < 2$ : $(+)(-)(-)$ → θετικό
$2 < x < 3$ : $(+)(+)(-)$ → αρνητικό
$x > 3$ : $(+)(+)(+)$ → θετικό

Ζητάμε $\geq 0$ , άρα κρατάμε τα θετικά διαστήματα μαζί με τις ρίζες:

$x \in [-1, 2] \cup [3, +\infty)$

Γρήγορος έλεγχος με $x = 0$ : $P(0) = 6 \geq 0$ ✓ και το $0$ ανήκει στο $[-1, 2]$ ✓

Ρίζες με άρτια δύναμη — η παγίδα του «ακουμπάει και γυρίζει»

Όταν ένας παράγοντας εμφανίζεται σε άρτια δύναμη, π.χ. $(x - 1)^2$ , είναι $\geq 0$ παντού: στο πέρασμα από τη ρίζα το γινόμενο δεν αλλάζει πρόσημο — η καμπύλη ακουμπά τον άξονα και γυρίζει πίσω. Σε περιττή δύναμη το πρόσημο αλλάζει κανονικά.

Παράδειγμα: $(x - 1)^2 (x + 2) < 0$ . Ο παράγοντας $(x - 1)^2$ είναι θετικός για κάθε $x \neq 1$ . Άρα το πρόσημο το αποφασίζει μόνο το $x + 2$ , που είναι αρνητικό για $x < -2$ . Λύση: $x \in (-\infty, -2)$ . Πρόσεξε και το $x = 1$ : δίνει γινόμενο $0$ , που δεν ικανοποιεί τη γνήσια ανισότητα $< 0$ .

Μέθοδος: γρήγορος πίνακας προσήμων

Παραγοντοποίησε πλήρως: γινόμενο παραγόντων $x - \rho$ (πιθανώς υψωμένων σε δύναμη) και τριωνύμων με $\Delta < 0$ .
Κάθε τριώνυμο με $\Delta < 0$ έχει σταθερό πρόσημο, αυτό του $\alpha$ — αν είναι θετικό, παράλειψέ το από τη μελέτη προσήμου.
Σημείωσε τις ρίζες στον άξονα με τη σειρά.
Δεξιά από τη μεγαλύτερη ρίζα, το πρόσημο είναι αυτό του μεγιστοβάθμιου συντελεστή.
Προχωρώντας προς τα αριστερά, το πρόσημο αλλάζει σε ρίζα περιττής δύναμης και μένει ίδιο σε ρίζα άρτιας δύναμης.
Διάβασε τη λύση, με ή χωρίς τις ρίζες ανάλογα με το αν η ανίσωση είναι γνήσια.

Κόλπο μνήμης

το «φιδάκι». Βάλε τις ρίζες στον άξονα και ξεκίνα από δεξιά: πάνω από τον άξονα αν ο μεγιστοβάθμιος συντελεστής είναι θετικός, κάτω αν είναι αρνητικός. Κινούμενο προς τα αριστερά, σε κάθε ρίζα περιττής δύναμης το φιδάκι περνά απέναντι, ενώ σε ρίζα άρτιας δύναμης ακουμπά και γυρίζει. Όπου είναι πάνω, $P(x) > 0$ · όπου είναι κάτω, $P(x) < 0$ .

Παράδειγμα: Να λυθεί η ανίσωση $x^3 - x^2 - 4x + 4 < 0$ .

Λύση: Παραγοντοποίηση με ομαδοποίηση:

$x^3 - x^2 - 4x + 4 = x^2(x - 1) - 4(x - 1) = (x - 1)(x^2 - 4) = (x - 1)(x - 2)(x + 2)$

Ρίζες $-2, 1, 2$ , όλες απλές, με μεγιστοβάθμιο συντελεστή $1 > 0$ . Από δεξιά προς τα αριστερά: $+$ για $x > 2$ , $-$ στο $(1, 2)$ , $+$ στο $(-2, 1)$ , $-$ για $x < -2$ .

Ζητάμε $< 0$ : $x \in (-\infty, -2) \cup (1, 2)$ .

Έλεγχος με $x = 0$ : $P(0) = 4 > 0$ , και πράγματι το $0$ δεν ανήκει στη λύση ✓

Γρήγορος έλεγχος

Ποια είναι η λύση της ανίσωσης $(x + 1)(x - 2) > 0$ ;

Γρήγορος έλεγχος

Για ποια $x$ ισχύει $(x - 1)^2 (x - 3) < 0$ ;

Γρήγορος έλεγχος

Το πολυώνυμο $P(x)$ έχει ρίζες μόνο τις $0$ και $4$ , και $P(1) = -3$ . Τι πρόσημο έχει το $P(2)$ ;

Παράδειγμα: Να λυθούν οι ανισώσεις: α) $(x^2 + x + 1)(x - 3) \ge 0$ , β) $x^4 - 5x^2 + 4 \le 0$ .

Λύση: α) Για το $x^2 + x + 1$ είναι $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$ και $\alpha = 1 > 0$ , άρα είναι θετικό για κάθε $x$ . Το πρόσημο του γινομένου το ορίζει μόνο ο παράγοντας $x - 3$ : $x - 3 \ge 0 \iff x \ge 3$ . Λύση το $[3, +\infty)$ .

β) Με $y = x^2$ , το $y^2 - 5y + 4$ έχει ρίζες $1$ και $4$ , άρα $x^4 - 5x^2 + 4 = (x^2 - 1)(x^2 - 4) = (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)$ . Ρίζες $-2, -1, 1, 2$ , όλες απλές, συντελεστής $1 > 0$ : από δεξιά $+, -, +, -, +$ . Ζητάμε $\le 0$ , μαζί με τις ρίζες:

$x \in [-2, -1] \cup [1, 2]$

Γρήγορος έλεγχος

Ποιο είναι το σύνολο λύσεων της ανίσωσης $(x^2 + 4)(x - 1) < 0$ ;

Γρήγορος έλεγχος

Ποιο είναι το σύνολο λύσεων της ανίσωσης $x^2(x - 5) \ge 0$ ;

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Δίνεται το πολυώνυμο $P(x) = 2x^3 - 3x^2 - 3x + 2$ .

α) Να δειχθεί ότι το $2$ είναι ρίζα του και να παραγοντοποιηθεί το $P(x)$ .

β) Να λυθεί η ανίσωση $P(x) > 0$ .

γ) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $f(x) = \sqrt{P(x)}$ .

Λύση:

α) $P(2) = 16 - 12 - 6 + 2 = 0$ ✓. Horner με $\rho = 2$ στους συντελεστές $2, -3, -3, 2$ : κάτω γραμμή $2, 1, -1 \mid 0$ , άρα $P(x) = (x - 2)(2x^2 + x - 1)$ . Το τριώνυμο έχει $\Delta = 1 + 8 = 9$ και ρίζες $\frac{-1 \pm 3}{4}$ , δηλαδή $\frac{1}{2}$ και $-1$ , οπότε $2x^2 + x - 1 = (2x - 1)(x + 1)$ . Τελικά

$P(x) = (x - 2)(2x - 1)(x + 1)$

β) Ρίζες $-1, \frac{1}{2}, 2$ , απλές, με μεγιστοβάθμιο συντελεστή $2 > 0$ . Από δεξιά: $+$ για $x > 2$ , $-$ στο $\left(\frac{1}{2}, 2\right)$ , $+$ στο $\left(-1, \frac{1}{2}\right)$ , $-$ για $x < -1$ . Άρα

$P(x) > 0 \iff x \in \left(-1, \frac{1}{2}\right) \cup (2, +\infty)$

Έλεγχος: $P(0) = 2 > 0$ και το $0$ ανήκει στο $\left(-1, \frac{1}{2}\right)$ ✓

γ) Πρέπει $P(x) \ge 0$ : τα θετικά διαστήματα μαζί με τις ρίζες, δηλαδή $A = \left[-1, \frac{1}{2}\right] \cup [2, +\infty)$ .

Απάντηση: α) $P(x) = (x - 2)(2x - 1)(x + 1)$ , β) $\left(-1, \frac{1}{2}\right) \cup (2, +\infty)$ , γ) $\left[-1, \frac{1}{2}\right] \cup [2, +\infty)$ .

Πρόκληση

Στο κουτί από το χαρτόνι $12 \times 12$ cm, με όγκο $V(x) = x(12 - 2x)^2$ για $0 < x < 6$ , να δειχθεί ότι ο όγκος δεν ξεπερνά ποτέ τα $128$ cm³ και να βρεθεί πότε τα πιάνει.

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Μελετάμε την ανίσωση $V(x) \le 128$ . Αφού $(12 - 2x)^2 = 4(6 - x)^2$ :

$4x(6 - x)^2 \le 128 \iff x(x^2 - 12x + 36) \le 32 \iff x^3 - 12x^2 + 36x - 32 \le 0$

Ψάχνουμε ρίζα στους διαιρέτες του $32$ : για $x = 2$ είναι $8 - 48 + 72 - 32 = 0$ ✓. Horner με $\rho = 2$ στους συντελεστές $1, -12, 36, -32$ : κάτω γραμμή $1, -10, 16 \mid 0$ . Το τριώνυμο $x^2 - 10x + 16$ έχει ρίζες $2$ και $8$ , άρα

$x^3 - 12x^2 + 36x - 32 = (x - 2)(x^2 - 10x + 16) = (x - 2)^2(x - 8)$

Για $0 < x < 6$ είναι $(x - 2)^2 \ge 0$ και $x - 8 < 0$ , οπότε το γινόμενο είναι πάντα $\le 0$ : η ανίσωση ισχύει για κάθε επιτρεπτό $x$ . Ισότητα έχουμε μόνο όταν $(x - 2)^2 = 0$ , δηλαδή $x = 2$ , και τότε $V(2) = 2 \cdot 8^2 = 128$ cm³ ✓

Η διπλή ρίζα $x = 2$ είναι ακριβώς το σημείο όπου το «φιδάκι» ακουμπά και γυρίζει — εκεί κρύβεται το μεγαλύτερο κουτί.

Τρεις κανόνες που σώζουν μονάδες: (1) ΠΟΤΕ μη διαιρείς ανίσωση με παράσταση που περιέχει $x$ — δεν ξέρεις το πρόσημό της· φέρε τα όλα στο ένα μέλος και παραγοντοποίησε. (2) Στον πίνακα προσήμων, μετά την τελευταία ρίζα το γινόμενο έχει το πρόσημο του μεγιστοβάθμιου συντελεστή, και προς τα αριστερά εναλλάσσεται σε κάθε ρίζα περιττής δύναμης ενώ μένει ίδιο στις άρτιες. (3) Στο τέλος έλεγξε τα άκρα: στα $\geq, \leq$ οι ρίζες μπαίνουν στη λύση, στα $>, <$ μένουν απ' έξω.

Συνηθισμένα λάθη

Διαιρούν την ανίσωση με παράγοντα που περιέχει $x$ (π.χ. «απλοποιούν» το $x^2$ ) και χάνουν ή αλλοιώνουν λύσεις.
Αλλάζουν πρόσημο και σε ρίζα άρτιας δύναμης. Εκεί το πρόσημο μένει ίδιο.
Ξεχνούν τη μεμονωμένη λύση: στο $x^2(x - 5) \ge 0$ και το $x = 0$ ανήκει στη λύση.
Θεωρούν ότι ένα τριώνυμο με $\Delta < 0$ «δεν επηρεάζει» το πρόσημο χωρίς να κοιτάξουν το $\alpha$ : το $-x^2 - 1$ είναι αρνητικό παντού και αντιστρέφει τη φορά.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Φέρε την ανίσωση στη μορφή $P(x) > 0$ (ή $\ge$ , $<$ , $\le$ ) και παραγοντοποίησε πλήρως: Horner, ομαδοποίηση, τριώνυμο
Το πρόσημο αλλάζει μόνο σε ρίζες — ένα δοκιμαστικό σημείο ανά διάστημα αρκεί
Δεξιά της μεγαλύτερης ρίζας: πρόσημο του μεγιστοβάθμιου συντελεστή· αλλαγή σε ρίζα περιττής δύναμης, όχι σε άρτιας
Τριώνυμα με $\Delta < 0$ : σταθερό πρόσημο, αυτό του $\alpha$
Σε $\ge$ και $\le$ οι ρίζες μπαίνουν στη λύση — πρόσεχε τις μεμονωμένες λύσεις

Από την εξίσωση στην ανίσωση

Στις εξισώσεις ψάχνεις πού μηδενίζεται το

P(x)

· στις ανισώσεις ψάχνεις πού είναι θετικό ή αρνητικό. Το κλειδί: οι ρίζες κόβουν τον άξονα σε διαστήματα, και μέσα σε κάθε διάστημα το πρόσημο του $P(x)$ δεν αλλάζει — αλλαγή προσήμου μπορεί να συμβεί μόνο πάνω σε ρίζα.

Η μέθοδος, βήμα-βήμα:

Φέρνεις την ανίσωση στη μορφή

P(x) > 0

(ή

\geq, <, \leq

) με όλους τους όρους στο ένα μέλος.

Παραγοντοποιείς το

P(x)

— με Horner για ακέραιες ρίζες και τριώνυμο για ό,τι απομείνει.

Βρίσκεις το πρόσημο κάθε παράγοντα σε κάθε διάστημα: ο

x - \rho

είναι αρνητικός αριστερά του

\rho

, θετικός δεξιά του.

Φτιάχνεις πίνακα προσήμων: μια γραμμή ανά παράγοντα και μια τελική γραμμή με το γινόμενο.

Διαβάζεις από την τελική γραμμή τα διαστήματα που ζητά η ανίσωση. Σε

\geq

\leq

συμπεριλαμβάνεις και τις ρίζες.