🔗

Τριγωνομετρικές Ταυτότητες

ημ²+συν²=1, εφ, σφ, συν²ω=1/(1+εφ²ω), υπολογισμοί με ταυτότητες

Τι σημαίνει η πινακίδα «κλίση 10%»;

Στους ορεινούς δρόμους θα δεις πινακίδες όπως «κλίση 10%». Σημαίνει ότι για κάθε $100$ m οριζόντια ανεβαίνεις $10$ m, δηλαδή $\varepsilon\varphi\omega = 0{,}1$ . Αν όμως ο χιλιομετρητής σου μετρήσει $1$ km πάνω στον δρόμο, πόσο ψηλότερα βρέθηκες; Χρειάζεσαι το $\eta\mu\omega$ — και οι ταυτότητες αυτού του κεφαλαίου το «ξεκλειδώνουν» από την $\varepsilon\varphi\omega$ σε δύο γραμμές.

Τέσσερις σχέσεις που τα δένουν όλα

Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας γωνίας δεν είναι ανεξάρτητοι μεταξύ τους. Αν ξέρεις τον έναν, οι υπόλοιποι «ξεκλειδώνουν» με πράξεις. Οι βασικές ταυτότητες ισχύουν για κάθε γωνία $\omega$ (όπου ορίζονται οι παραστάσεις):

$\eta\mu^2\omega + \sigma\upsilon\nu^2\omega = 1$ — το Πυθαγόρειο θεώρημα στον τριγωνομετρικό κύκλο: το σημείο $M(\sigma\upsilon\nu\omega, \eta\mu\omega)$ απέχει $1$ από την αρχή.
$\varepsilon\varphi\omega = \frac{\eta\mu\omega}{\sigma\upsilon\nu\omega}$ , εφόσον $\sigma\upsilon\nu\omega \neq 0$ .
$\sigma\varphi\omega = \frac{\sigma\upsilon\nu\omega}{\eta\mu\omega}$ , εφόσον $\eta\mu\omega \neq 0$ — η συνεφαπτομένη, το «ανάποδο κλάσμα» της εφαπτομένης.
$\varepsilon\varphi\omega \cdot \sigma\varphi\omega = 1$ , όταν ορίζονται και οι δύο: πολλαπλασίασε τα δύο κλάσματα και όλα απλοποιούνται.

Ήξερες ότι;

Η $\eta\mu^2\omega + \sigma\upsilon\nu^2\omega = 1$ είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα «μεταμφιεσμένο» — και το θεώρημα αυτό έχει ίσως περισσότερες αποδείξεις από κάθε άλλο: το βιβλίο «The Pythagorean Proposition» του E. S. Loomis (1940) συγκεντρώνει $367$ . Μία από αυτές τη δημοσίευσε το $1876$ ο James Garfield, που λίγα χρόνια αργότερα έγινε Πρόεδρος των ΗΠΑ.

Σύρε τις πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου και δες τα τετράγωνα των καθέτων να γεμίζουν ακριβώς το τετράγωνο της υποτείνουσας — στον τριγωνομετρικό κύκλο οι κάθετες είναι |συνω| και |ημω| και η υποτείνουσα 1, γι' αυτό ημ²ω + συν²ω = 1 πάντα.

Δύο παραλλαγές που ζητούν οι ασκήσεις

Από τη θεμελιώδη ταυτότητα βγαίνουν δύο πολύ χρήσιμοι τύποι. Διαιρώντας την $\eta\mu^2\omega + \sigma\upsilon\nu^2\omega = 1$ με $\sigma\upsilon\nu^2\omega \neq 0$ :

$\varepsilon\varphi^2\omega + 1 = \frac{1}{\sigma\upsilon\nu^2\omega}$

δηλαδή ο δρόμος από την εφαπτομένη κατευθείαν στο συνημίτονο, χωρίς να περάσεις από το ημίτονο. Με ανάλογο τρόπο βγαίνει και ο τύπος για το ημίτονο.

$\sigma\upsilon\nu^2\omega = \frac{1}{1 + \varepsilon\varphi^2\omega}, \qquad \eta\mu^2\omega = \frac{\varepsilon\varphi^2\omega}{1 + \varepsilon\varphi^2\omega}$

Κόλπο μνήμης

μην αποστηθίζεις την $\sigma\upsilon\nu^2\omega = \frac{1}{1 + \varepsilon\varphi^2\omega}$ — παράγαγέ την σε πέντε δευτερόλεπτα. Διαίρεσε τη θεμελιώδη $\eta\mu^2\omega + \sigma\upsilon\nu^2\omega = 1$ με $\sigma\upsilon\nu^2\omega$ : παίρνεις $\varepsilon\varphi^2\omega + 1 = \frac{1}{\sigma\upsilon\nu^2\omega}$ και αντιστρέφεις. Ό,τι ξέρεις να παράγεις, δεν το ξεχνάς.

Μέθοδος: ασκήσεις με τριγωνομετρικές ταυτότητες

Δίνεται ένας τριγωνομετρικός αριθμός, ζητούνται οι άλλοι:

Με την $\eta\mu^2\omega + \sigma\upsilon\nu^2\omega = 1$ (ή τις παραλλαγές της με την εφαπτομένη) βρες το τετράγωνο του ζητούμενου.
Πάρε ρίζα και διάλεξε πρόσημο από το τεταρτημόριο.
Βρες τα υπόλοιπα από τις $\varepsilon\varphi\omega = \frac{\eta\mu\omega}{\sigma\upsilon\nu\omega}$ και $\sigma\varphi\omega = \frac{1}{\varepsilon\varphi\omega}$ .

Απόδειξη ταυτότητας:

Ξεκίνα από το πιο σύνθετο μέλος.
Γράψε εφ και σφ με ημ και συν και κάνε ομώνυμα.
Αντικατέστησε το $\eta\mu^2 + \sigma\upsilon\nu^2$ με $1$ όπου εμφανίζεται, μέχρι να φτάσεις στο άλλο μέλος.

Παράδειγμα (εξεταστικό μοτίβο): Αν $\eta\mu\omega = \frac{3}{5}$ και $\frac{\pi}{2} < \omega < \pi$ , να βρεθούν οι $\sigma\upsilon\nu\omega$ , $\varepsilon\varphi\omega$ , $\sigma\varphi\omega$ .

Λύση: Από την ταυτότητα:

$\sigma\upsilon\nu^2\omega = 1 - \eta\mu^2\omega = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \Rightarrow \sigma\upsilon\nu\omega = \pm\frac{4}{5}$

Εδώ μπαίνει το τεταρτημόριο: στο 2ο τεταρτημόριο το συνημίτονο είναι αρνητικό, άρα $\sigma\upsilon\nu\omega = -\frac{4}{5}$ .

Στη συνέχεια:

$\varepsilon\varphi\omega = \frac{\eta\mu\omega}{\sigma\upsilon\nu\omega} = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4}, \qquad \sigma\varphi\omega = \frac{1}{\varepsilon\varphi\omega} = -\frac{4}{3}$

Χωρίς την πληροφορία του τεταρτημορίου, το πρόσημο θα έμενε άγνωστο — γι' αυτό η εκφώνηση τη δίνει πάντα.

Παράδειγμα: Αν $\varepsilon\varphi\omega = 2$ και $\pi < \omega < \frac{3\pi}{2}$ , να βρεθούν τα $\sigma\upsilon\nu\omega$ και $\eta\mu\omega$ .

Λύση: Με τον τύπο της παραλλαγής:

$\sigma\upsilon\nu^2\omega = \frac{1}{1 + \varepsilon\varphi^2\omega} = \frac{1}{1 + 4} = \frac{1}{5}$

Στο 3ο τεταρτημόριο το συνημίτονο είναι αρνητικό: $\sigma\upsilon\nu\omega = -\frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

Και από τον ορισμό της εφαπτομένης:

$\eta\mu\omega = \varepsilon\varphi\omega \cdot \sigma\upsilon\nu\omega = 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right) = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Έλεγχος: $\eta\mu^2\omega + \sigma\upsilon\nu^2\omega = \frac{4}{5} + \frac{1}{5} = 1$ ✓ και στο 3ο τεταρτημόριο το ημίτονο όντως αρνητικό ✓

Παράδειγμα: Να αποδειχθούν οι ταυτότητες: α) $(\eta\mu x + \sigma\upsilon\nu x)^2 + (\eta\mu x - \sigma\upsilon\nu x)^2 = 2$ , β) $\frac{1}{1 + \varepsilon\varphi^2 x} + \frac{1}{1 + \sigma\varphi^2 x} = 1$ (όπου ορίζονται οι παραστάσεις).

Λύση: α) Αναπτύσσουμε τα τετράγωνα — τα διπλά γινόμενα διαγράφονται:

$(\eta\mu^2 x + 2\eta\mu x\,\sigma\upsilon\nu x + \sigma\upsilon\nu^2 x) + (\eta\mu^2 x - 2\eta\mu x\,\sigma\upsilon\nu x + \sigma\upsilon\nu^2 x) = 2(\eta\mu^2 x + \sigma\upsilon\nu^2 x) = 2$

β) Από τις παραλλαγές, $\frac{1}{1 + \varepsilon\varphi^2 x} = \sigma\upsilon\nu^2 x$ . Επίσης

$1 + \sigma\varphi^2 x = 1 + \frac{\sigma\upsilon\nu^2 x}{\eta\mu^2 x} = \frac{\eta\mu^2 x + \sigma\upsilon\nu^2 x}{\eta\mu^2 x} = \frac{1}{\eta\mu^2 x}$

άρα $\frac{1}{1 + \sigma\varphi^2 x} = \eta\mu^2 x$ . Το άθροισμα είναι $\sigma\upsilon\nu^2 x + \eta\mu^2 x = 1$ .

Παράδειγμα: Αν $\varepsilon\varphi x = 2$ , να υπολογιστεί η παράσταση $A = \frac{2\eta\mu x + \sigma\upsilon\nu x}{\eta\mu x - 3\sigma\upsilon\nu x}$ .

Λύση: Αφού ορίζεται η εφαπτομένη, είναι $\sigma\upsilon\nu x \neq 0$ . Διαιρούμε αριθμητή και παρονομαστή με $\sigma\upsilon\nu x$ :

$A = \frac{2\frac{\eta\mu x}{\sigma\upsilon\nu x} + 1}{\frac{\eta\mu x}{\sigma\upsilon\nu x} - 3} = \frac{2\varepsilon\varphi x + 1}{\varepsilon\varphi x - 3} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2 - 3} = -5$

Το κόλπο δουλεύει σε κάθε κλάσμα όπου κάθε όρος περιέχει ακριβώς ένα ημ ή ένα συν — δεν χρειάζεται καν να βρεθούν τα $\eta\mu x$ και $\sigma\upsilon\nu x$ .

Γρήγορος έλεγχος

Αν $\sigma\upsilon\nu\omega = -\frac{1}{2}$ , τότε το $\eta\mu^2\omega$ ισούται με:

Γρήγορος έλεγχος

Αν $\varepsilon\varphi\omega = 3$ , τότε το $\sigma\upsilon\nu^2\omega$ ισούται με:

Γρήγορος έλεγχος

Με τι ισούται η παράσταση $(1 - \sigma\upsilon\nu^2 x) \cdot \sigma\varphi^2 x$ (όπου ορίζεται);

Γρήγορος έλεγχος

Μπορεί για την ίδια γωνία $x$ να ισχύει $\eta\mu x = \frac{3}{5}$ και $\sigma\upsilon\nu x = \frac{3}{5}$ ;

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Δίνεται ότι $\sigma\upsilon\nu x = -\frac{5}{13}$ και $\pi < x < \frac{3\pi}{2}$ .

α) Να βρεθούν οι $\eta\mu x$ , $\varepsilon\varphi x$ και $\sigma\varphi x$ .

β) Να υπολογιστεί η παράσταση $A = 13\eta\mu x - 5\varepsilon\varphi x$ .

γ) Να αποδειχθεί ότι $\frac{1 + \varepsilon\varphi^2 x}{\varepsilon\varphi x} = \frac{1}{\eta\mu x\,\sigma\upsilon\nu x}$ και να επαληθευτεί με τις τιμές του (α).

Λύση:

α) $\eta\mu^2 x = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$ , άρα $\eta\mu x = \pm\frac{12}{13}$ . Στο 3ο τεταρτημόριο το ημίτονο είναι αρνητικό: $\eta\mu x = -\frac{12}{13}$ . Τότε $\varepsilon\varphi x = \frac{-12/13}{-5/13} = \frac{12}{5}$ και $\sigma\varphi x = \frac{5}{12}$ .

β) $A = 13 \cdot \left(-\frac{12}{13}\right) - 5 \cdot \frac{12}{5} = -12 - 12 = -24$ .

γ) $\frac{1 + \varepsilon\varphi^2 x}{\varepsilon\varphi x} = \frac{\frac{1}{\sigma\upsilon\nu^2 x}}{\frac{\eta\mu x}{\sigma\upsilon\nu x}} = \frac{1}{\sigma\upsilon\nu^2 x} \cdot \frac{\sigma\upsilon\nu x}{\eta\mu x} = \frac{1}{\eta\mu x\,\sigma\upsilon\nu x}$ .

Επαλήθευση: αριστερά $\frac{1 + \frac{144}{25}}{\frac{12}{5}} = \frac{169}{25} \cdot \frac{5}{12} = \frac{169}{60}$ · δεξιά $\frac{1}{\left(-\frac{12}{13}\right)\left(-\frac{5}{13}\right)} = \frac{169}{60}$ ✓

Απάντηση: α) $\eta\mu x = -\frac{12}{13}$ , $\varepsilon\varphi x = \frac{12}{5}$ , $\sigma\varphi x = \frac{5}{12}$ , β) $A = -24$ , γ) αποδείχθηκε.

Πρόκληση

α) Στην πινακίδα «κλίση 10%» ( $\varepsilon\varphi\omega = 0{,}1$ , $\omega$ οξεία), πόσα μέτρα ανεβαίνεις αν διανύσεις $1000$ m πάνω στον δρόμο; β) Αν $\eta\mu x + \sigma\upsilon\nu x = \frac{1}{5}$ και $0 < x < \pi$ , να βρεθούν τα $\eta\mu x$ , $\sigma\upsilon\nu x$ και $\varepsilon\varphi x$ .

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

α) Η άνοδος είναι $1000\,\eta\mu\omega$ . Από την ταυτότητα: $\sigma\upsilon\nu^2\omega = \frac{1}{1 + 0{,}01} = \frac{1}{1{,}01}$ , και αφού η $\omega$ είναι οξεία, $\sigma\upsilon\nu\omega = \frac{1}{\sqrt{1{,}01}} \approx 0{,}995$ . Τότε $\eta\mu\omega = \varepsilon\varphi\omega \cdot \sigma\upsilon\nu\omega \approx 0{,}0995$ : ανεβαίνεις περίπου $99{,}5$ m — λίγο λιγότερο από τα $100$ m που θα έλεγε κανείς «με το μάτι».

β) Υψώνουμε στο τετράγωνο: $\eta\mu^2 x + 2\eta\mu x\,\sigma\upsilon\nu x + \sigma\upsilon\nu^2 x = \frac{1}{25}$ , δηλαδή $1 + 2\eta\mu x\,\sigma\upsilon\nu x = \frac{1}{25}$ , άρα $\eta\mu x\,\sigma\upsilon\nu x = -\frac{12}{25}$ .

Ξέρουμε λοιπόν άθροισμα $S = \frac{1}{5}$ και γινόμενο $P = -\frac{12}{25}$ : τα $\eta\mu x, \sigma\upsilon\nu x$ είναι οι ρίζες της $t^2 - \frac{1}{5}t - \frac{12}{25} = 0 \iff 25t^2 - 5t - 12 = 0$ . Με $\Delta = 25 + 1200 = 1225 = 35^2$ : $t = \frac{5 \pm 35}{50}$ , δηλαδή $t = \frac{4}{5}$ ή $t = -\frac{3}{5}$ .

Αφού $0 < x < \pi$ , είναι $\eta\mu x > 0$ , άρα $\eta\mu x = \frac{4}{5}$ , $\sigma\upsilon\nu x = -\frac{3}{5}$ και $\varepsilon\varphi x = -\frac{4}{3}$ . Έλεγχος: $\frac{4}{5} - \frac{3}{5} = \frac{1}{5}$ ✓ και $\frac{16}{25} + \frac{9}{25} = 1$ ✓

Η ρουτίνα των εξετάσεων σε τρία βήματα: (1) ταυτότητα για να βρεις το τετράγωνο του ζητούμενου, (2) τεταρτημόριο για να διαλέξεις πρόσημο στη ρίζα — ποτέ μην κρατάς το «±» στην τελική απάντηση, (3) ορισμοί $\varepsilon\varphi = \frac{\eta\mu}{\sigma\upsilon\nu}$ και $\sigma\varphi = \frac{1}{\varepsilon\varphi}$ για τα υπόλοιπα. Και στις αποδείξεις ταυτοτήτων: ξεκίνα από το πιο σύνθετο μέλος, γράψε τα πάντα με ημ και συν, και άφησε την $\eta\mu^2 + \sigma\upsilon\nu^2 = 1$ να κάνει τη δουλειά.

Συνηθισμένα λάθη

Κρατούν το « $\pm$ » στην τελική απάντηση ή διαλέγουν πρόσημο χωρίς να κοιτάξουν το τεταρτημόριο.
Γράφουν $\eta\mu x + \sigma\upsilon\nu x = 1$ . Η ταυτότητα αφορά τα τετράγωνα: $\eta\mu^2 x + \sigma\upsilon\nu^2 x = 1$ .
Μπερδεύουν τις παραλλαγές: το $\frac{1}{1 + \varepsilon\varphi^2\omega}$ είναι το $\sigma\upsilon\nu^2\omega$ , όχι το $\eta\mu^2\omega$ .
Στις αποδείξεις δουλεύουν ταυτόχρονα και στα δύο μέλη «διαγράφοντας» όρους. Ξεκίνα από το ένα μέλος και φτάσε στο άλλο.

Σύνοψη — τι κρατάμε

$\eta\mu^2\omega + \sigma\upsilon\nu^2\omega = 1$
$\varepsilon\varphi\omega = \frac{\eta\mu\omega}{\sigma\upsilon\nu\omega}$ , $\sigma\varphi\omega = \frac{\sigma\upsilon\nu\omega}{\eta\mu\omega}$ και $\varepsilon\varphi\omega \cdot \sigma\varphi\omega = 1$
$\sigma\upsilon\nu^2\omega = \frac{1}{1 + \varepsilon\varphi^2\omega}$ και $\eta\mu^2\omega = \frac{\varepsilon\varphi^2\omega}{1 + \varepsilon\varphi^2\omega}$
Το πρόσημο το δίνει πάντα το τεταρτημόριο — ποτέ « $\pm$ » στην τελική απάντηση
Κλάσμα με ένα ημ ή συν σε κάθε όρο και γνωστή εφ: διαίρεση αριθμητή και παρονομαστή με $\sigma\upsilon\nu\omega$

Τέσσερις σχέσεις που τα δένουν όλα

\omega

(όπου ορίζονται οι παραστάσεις):

\eta\mu^2\omega + \sigma\upsilon\nu^2\omega = 1

— το Πυθαγόρειο θεώρημα στον τριγωνομετρικό κύκλο: το σημείο

M(\sigma\upsilon\nu\omega, \eta\mu\omega)

απέχει

1

από την αρχή.

\varepsilon\varphi\omega = \frac{\eta\mu\omega}{\sigma\upsilon\nu\omega}

, εφόσον

\sigma\upsilon\nu\omega \neq 0

\sigma\varphi\omega = \frac{\sigma\upsilon\nu\omega}{\eta\mu\omega}

, εφόσον

\eta\mu\omega \neq 0

— η συνεφαπτομένη, το «ανάποδο κλάσμα» της εφαπτομένης.

\varepsilon\varphi\omega \cdot \sigma\varphi\omega = 1

, όταν ορίζονται και οι δύο: πολλαπλασίασε τα δύο κλάσματα και όλα απλοποιούνται.