🪞

Λογάριθμοι & Λογαριθμική Συνάρτηση

Ορισμός logα, ιδιότητες, ln και log, λογαριθμικές εξισώσεις

Γιατί με νοιάζει;

Ένας σεισμός $6$ βαθμών της κλίμακας Ρίχτερ δεν είναι «λίγο» μεγαλύτερος από έναν $5$ βαθμών: ο σεισμογράφος καταγράφει δεκαπλάσιο πλάτος ταλάντωσης. Η κλίμακα Ρίχτερ, τα ντεσιμπέλ του ήχου και το pH των διαλυμάτων είναι όλα λογαριθμικές κλίμακες — «δαμάζουν» τεράστιους αριθμούς σε μικρά, βολικά νούμερα. Εδώ μαθαίνεις το εργαλείο πίσω από όλες.

Τι είναι ο λογάριθμος

Η εξίσωση $\alpha^x = \theta$ με $\alpha > 0$ , $\alpha \neq 1$ και $\theta > 0$ έχει μοναδική λύση. Ο λόγος: η εκθετική είναι 1-1 με σύνολο τιμών το $(0, +\infty)$ . Αυτή τη μοναδική λύση τη συμβολίζεις $\log_{\alpha}\theta$ και τη λες λογάριθμο του $\theta$ με βάση $\alpha$ .

Με άλλα λόγια, ο λογάριθμος απαντά στην ερώτηση: «σε ποια δύναμη πρέπει να υψώσω τη βάση για να πάρω το $\theta$ ;»

$\log_2 8 = 3 \text{ γιατί } 2^3 = 8, \qquad \log_3 \frac{1}{9} = -2 \text{ γιατί } 3^{-2} = \frac{1}{9}$

Άμεσες συνέπειες του ορισμού: $\log_{\alpha} 1 = 0$ , $\log_{\alpha}\alpha = 1$ , και οι «ταυτότητες εξουδετέρωσης» $\alpha^{\log_{\alpha}\theta} = \theta$ και $\log_{\alpha}\alpha^x = x$ .

$\log_{\alpha}\theta = x \iff \alpha^x = \theta \qquad (\alpha > 0,\ \alpha \neq 1,\ \theta > 0)$

Οι τρεις χρυσές ιδιότητες

Οι λογάριθμοι μετατρέπουν τις «βαριές» πράξεις σε ελαφρύτερες — γινόμενο γίνεται άθροισμα, πηλίκο γίνεται διαφορά, δύναμη γίνεται γινόμενο:

$\log_{\alpha}(\theta_1 \theta_2) = \log_{\alpha}\theta_1 + \log_{\alpha}\theta_2$

$\log_{\alpha}\frac{\theta_1}{\theta_2} = \log_{\alpha}\theta_1 - \log_{\alpha}\theta_2$

$\log_{\alpha}\theta^{\kappa} = \kappa \log_{\alpha}\theta$

με $\theta_1, \theta_2, \theta > 0$ .

Δεκαδικοί και φυσικοί λογάριθμοι

Στην πράξη δουλεύουμε με δύο βάσεις:

$\log x = \log_{10} x$ — δεκαδικός λογάριθμος (π.χ. $\log 100 = 2$ ).
$\ln x = \log_e x$ — φυσικός λογάριθμος, με βάση τον αριθμό $e$ (π.χ. $\ln e^5 = 5$ ).

Στη μελέτη της λογαριθμικής συνάρτησης η εξεταστέα ύλη περιορίζεται σε αυτές τις δύο βάσεις — ο τύπος αλλαγής βάσης είναι εκτός ύλης.

Κόλπο μνήμης

ο λογάριθμος κατεβάζει κάθε πράξη ένα σκαλί. Γινόμενο → άθροισμα, πηλίκο → διαφορά, δύναμη → γινόμενο: $\log(\theta_1\theta_2) = \log\theta_1 + \log\theta_2$ , $\log\frac{\theta_1}{\theta_2} = \log\theta_1 - \log\theta_2$ , $\log\theta^\kappa = \kappa\log\theta$ . Για την πρόσθεση δεν υπάρχει σκαλί πιο κάτω — γι' αυτό το $\log(\alpha + \beta)$ δεν «σπάει».

Παράδειγμα: Να υπολογιστούν: α) $\log_2 32$ , β) $\log_5\frac{1}{25}$ , γ) $\log 0{,}001$ , δ) $\ln\sqrt{e}$ , ε) $\log 4 + \log 25$ , στ) $2\log 5 + \log 4$ .

Λύση: Με τον ορισμό — «σε ποια δύναμη υψώνω τη βάση;»:

α) $2^5 = 32$ , άρα $\log_2 32 = 5$ .

β) $5^{-2} = \frac{1}{25}$ , άρα $\log_5\frac{1}{25} = -2$ .

γ) $0{,}001 = 10^{-3}$ , άρα $\log 0{,}001 = -3$ .

δ) $\sqrt{e} = e^{\frac{1}{2}}$ , άρα $\ln\sqrt{e} = \frac{1}{2}$ .

Με τις ιδιότητες:

ε) $\log 4 + \log 25 = \log(4 \cdot 25) = \log 100 = 2$ .

στ) $2\log 5 + \log 4 = \log 5^2 + \log 4 = \log(25 \cdot 4) = \log 100 = 2$ .

Γρήγορος έλεγχος

Πόσο κάνει ο λογάριθμος $\log_3 81$ ;

Η λογαριθμική είναι η ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ της εκθετικής: ό,τι κάνει η αˣ, η log_α x το «ξεκάνει». Οι γραφικές τους παραστάσεις είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y = x.

Η λογαριθμική συνάρτηση

Αφού η εκθετική $\alpha^x$ είναι 1-1, αντιστρέφεται — και η αντίστροφή της είναι ακριβώς η λογαριθμική συνάρτηση $f(x) = \log_{\alpha} x$ :

Πεδίο ορισμού: $(0, +\infty)$ — λογαριθμίζουμε μόνο θετικούς αριθμούς.
Σύνολο τιμών: όλο το $\mathbb{R}$ .
Περνά πάντα από το σημείο $(1, 0)$ , αφού $\log_{\alpha} 1 = 0$ .
Ο άξονας $y'y$ είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη.
Μονοτονία ίδια με την αντίστοιχη εκθετική: γνησίως αύξουσα για $\alpha > 1$ (όπως οι $\ln x$ , $\log x$ ), γνησίως φθίνουσα για $0 < \alpha < 1$ .

Οι καμπύλες των $y = \alpha^x$ και $y = \log_{\alpha} x$ είναι συμμετρικές ως προς την $y = x$ : το $(2, 8)$ ανήκει στην $y = 2^x$ , άρα το $(8, 2)$ ανήκει στην $y = \log_2 x$ .

Επειδή η λογαριθμική είναι γνησίως μονότονη, είναι 1-1: $\log_{\alpha} x_1 = \log_{\alpha} x_2 \iff x_1 = x_2$ — το εργαλείο μας για τις λογαριθμικές εξισώσεις.

Ήξερες ότι;

Ο Σκωτσέζος John Napier δημοσίευσε τους λογαρίθμους το $1614$ , ακριβώς επειδή μετατρέπουν τον πολλαπλασιασμό σε πρόσθεση. Για πάνω από τρεις αιώνες, μέχρι να διαδοθούν οι ηλεκτρονικές αριθμομηχανές τη δεκαετία του $1970$ , αστρονόμοι και μηχανικοί υπολόγιζαν με λογαριθμικούς πίνακες και με τον λογαριθμικό κανόνα, έναν «χάρακα» που πρόσθετε μήκη ίσα με λογαρίθμους.

Μέθοδος: λογαριθμικές εξισώσεις και ανισώσεις

Γράψε τους περιορισμούς: κάθε όρισμα λογαρίθμου $> 0$ .
Με τις ιδιότητες μάζεψε κάθε μέλος σε έναν λογάριθμο. Τους αριθμούς γράψε τους κι αυτούς ως λογαρίθμους: $1 = \log 10$ , $2 = \log 100$ , $1 = \ln e$ .
Εξίσωση: $\log A = \log B \iff A = B$ . Ανίσωση: οι $\log$ και $\ln$ είναι γνησίως αύξουσες, άρα $\log A < \log B \iff A < B$ .
Αν εμφανίζεται $\log^2 x$ ή $\ln^2 x$ , θέσε $y = \log x$ (ή $y = \ln x$ ) — εδώ το $y$ μπορεί να πάρει οποιαδήποτε πραγματική τιμή.
Συναλήθευσε με τους περιορισμούς και απόρριψε ό,τι είναι εκτός.

Γρήγορος έλεγχος

Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $f(x) = \ln(3 - x)$ ;

Παράδειγμα (εξεταστικό μοτίβο): Να λυθεί η εξίσωση $\log x + \log(x - 3) = 1$ .

Λύση: Πρώτα οι περιορισμοί: $x > 0$ και $x - 3 > 0$ , δηλαδή $x > 3$ .

Με την ιδιότητα του αθροίσματος:

$\log\big(x(x - 3)\big) = 1 = \log 10$

Η $\log$ είναι 1-1, άρα:

$x(x - 3) = 10 \Rightarrow x^2 - 3x - 10 = 0 \Rightarrow (x - 5)(x + 2) = 0$

Οι ρίζες είναι $x = 5$ και $x = -2$ . Η $x = -2$ απορρίπτεται (δεν ικανοποιεί τον περιορισμό $x > 3$ ).

Άρα μοναδική λύση η $x = 5$ . Επαλήθευση: $\log 5 + \log 2 = \log 10 = 1$ ✓

Παράδειγμα: Να λυθούν οι εξισώσεις: α) $e^{2x} = 5$ , β) $\ln(x + 1) = 2$ , γ) $\log^2 x - 3\log x + 2 = 0$ .

Λύση: α) Από τον ορισμό του λογαρίθμου: $2x = \ln 5 \iff x = \frac{\ln 5}{2}$ .

β) Περιορισμός $x + 1 > 0 \iff x > -1$ . Από τον ορισμό: $x + 1 = e^2 \iff x = e^2 - 1$ , δεκτή αφού $e^2 - 1 > 0 > -1$ .

γ) Περιορισμός $x > 0$ . Θέτουμε $y = \log x$ : $y^2 - 3y + 2 = 0 \iff y = 1$ ή $y = 2$ . Άρα $\log x = 1 \iff x = 10$ ή $\log x = 2 \iff x = 100$ — και οι δύο δεκτές.

Γρήγορος έλεγχος

Πόσο κάνει η παράσταση $\log 50 + \log 2$ ;

Γρήγορος έλεγχος

Ποια είναι η λύση της εξίσωσης $\log x = -2$ ;

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Δίνεται η συνάρτηση $f(x) = \ln(2x - 1) - \ln(x + 2)$ .

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της.

β) Να λυθεί η εξίσωση $f(x) = 0$ .

γ) Να λυθεί η ανίσωση $f(x) < 0$ .

δ) Να λυθεί η εξίσωση $f(x) = \ln\frac{1}{2}$ .

Λύση:

α) Πρέπει $2x - 1 > 0 \iff x > \frac{1}{2}$ και $x + 2 > 0 \iff x > -2$ . Συναληθεύουν για $x > \frac{1}{2}$ , άρα $A = \left(\frac{1}{2}, +\infty\right)$ .

β) $f(x) = 0 \iff \ln(2x - 1) = \ln(x + 2) \iff 2x - 1 = x + 2 \iff x = 3$ , δεκτή.

γ) $f(x) < 0 \iff \ln(2x - 1) < \ln(x + 2)$ . Η $\ln$ είναι γνησίως αύξουσα, άρα $2x - 1 < x + 2 \iff x < 3$ . Με τον περιορισμό: $\frac{1}{2} < x < 3$ .

δ) Για $x \in A$ και τα δύο ορίσματα είναι θετικά, οπότε $f(x) = \ln\frac{2x - 1}{x + 2}$ . Άρα $\frac{2x - 1}{x + 2} = \frac{1}{2} \iff 4x - 2 = x + 2 \iff x = \frac{4}{3}$ , δεκτή αφού $\frac{4}{3} > \frac{1}{2}$ .

Απάντηση: α) $\left(\frac{1}{2}, +\infty\right)$ , β) $x = 3$ , γ) $\frac{1}{2} < x < 3$ , δ) $x = \frac{4}{3}$ .

Πρόκληση

α) Δίνεται $\log 2 \approx 0{,}30103$ . Πόσα ψηφία έχει ο αριθμός $2^{100}$ ; β) Να λυθεί η εξίσωση $x^{\log x} = 100x$ .

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

α) Ένας θετικός ακέραιος $N$ έχει $k$ ψηφία όταν $10^{k-1} \le N < 10^k$ , δηλαδή όταν $k - 1 \le \log N < k$ . Εδώ

$\log 2^{100} = 100 \log 2 \approx 30{,}103$

άρα $10^{30} < 2^{100} < 10^{31}$ : ο $2^{100}$ έχει $31$ ψηφία — χωρίς να τον υπολογίσουμε!

β) Περιορισμός: $x > 0$ . Και τα δύο μέλη είναι θετικά, οπότε παίρνουμε λογαρίθμους (η $\log$ είναι 1-1):

$\log x^{\log x} = \log(100x) \iff (\log x)^2 = 2 + \log x$

Θέτουμε $y = \log x$ : $y^2 - y - 2 = 0 \iff (y - 2)(y + 1) = 0$ , άρα $y = 2$ ή $y = -1$ . Επιστρέφουμε: $\log x = 2 \iff x = 100$ και $\log x = -1 \iff x = \frac{1}{10}$ , και οι δύο δεκτές.

Έλεγχος: $100^{2} = 10000 = 100 \cdot 100$ ✓ και $\left(\frac{1}{10}\right)^{-1} = 10 = 100 \cdot \frac{1}{10}$ ✓

Σε ΚΑΘΕ λογαριθμική εξίσωση, το πρώτο πράγμα που γράφεις είναι οι περιορισμοί (όλα τα ορίσματα $> 0$ ) και το τελευταίο είναι ο έλεγχος των ριζών απέναντί τους — και τα δύο βαθμολογούνται. Στρατηγική λύσης: μάζεψε όλους τους λογαρίθμους σε έναν με τις ιδιότητες, φέρε τη μορφή $\log_{\alpha} A = \log_{\alpha} B$ και «σβήσε» τους λογαρίθμους (1-1). Αν η εξίσωση περιέχει $\log^2 x$ , σκέψου αντικατάσταση $y = \log x$ — γίνεται δευτεροβάθμια.

Συνηθισμένα λάθη

Γράφουν $\log(\alpha + \beta) = \log\alpha + \log\beta$ . Η ιδιότητα αφορά το γινόμενο: $\log(\alpha\beta) = \log\alpha + \log\beta$ .
Γράφουν $\frac{\log\alpha}{\log\beta} = \log\frac{\alpha}{\beta}$ . Ο λογάριθμος πηλίκου είναι διαφορά λογαρίθμων.
Παραλείπουν τους περιορισμούς και κρατούν ρίζες που κάνουν κάποιο όρισμα μη θετικό.
Γράφουν $\log x^2 = 2\log x$ για κάθε $x \neq 0$ . Αριστερά αρκεί $x \neq 0$ , δεξιά χρειάζεται $x > 0$ · σωστό: $\log x^2 = 2\log|x|$ .

Σύνοψη — τι κρατάμε

$\log_\alpha\theta = x \iff \alpha^x = \theta$ , με $\alpha > 0$ , $\alpha \neq 1$ , $\theta > 0$
$\log_\alpha(\theta_1\theta_2) = \log_\alpha\theta_1 + \log_\alpha\theta_2$ , $\log_\alpha\frac{\theta_1}{\theta_2} = \log_\alpha\theta_1 - \log_\alpha\theta_2$ , $\log_\alpha\theta^\kappa = \kappa\log_\alpha\theta$
$\log 10 = 1$ , $\ln e = 1$ , $\log_\alpha 1 = 0$ και $\alpha^{\log_\alpha\theta} = \theta$
$\log x$ , $\ln x$ : πεδίο ορισμού $(0, +\infty)$ , γνησίως αύξουσες, διέρχονται από το $(1, 0)$
Εξισώσεις/ανισώσεις: πρώτα περιορισμοί, μετά $\log A = \log B \iff A = B$ και $\log A < \log B \iff A < B$

Τι είναι ο λογάριθμος

Η εξίσωση

\alpha^x = \theta

με

\alpha > 0

\alpha \neq 1

και

\theta > 0

έχει μοναδική λύση. Ο λόγος: η εκθετική είναι 1-1 με σύνολο τιμών το

(0, +\infty)

. Αυτή τη μοναδική λύση τη συμβολίζεις

\log_{\alpha}\theta

και τη λες λογάριθμο του $\theta$ με βάση $\alpha$ .

Με άλλα λόγια, ο λογάριθμος απαντά στην ερώτηση: «σε ποια δύναμη πρέπει να υψώσω τη βάση για να πάρω το

\theta

;»

\log_2 8 = 3 \text{ γιατί } 2^3 = 8, \qquad \log_3 \frac{1}{9} = -2 \text{ γιατί } 3^{-2} = \frac{1}{9}

Άμεσες συνέπειες του ορισμού:

\log_{\alpha} 1 = 0

\log_{\alpha}\alpha = 1

, και οι «ταυτότητες εξουδετέρωσης»

\alpha^{\log_{\alpha}\theta} = \theta

και

\log_{\alpha}\alpha^x = x