🧭

Αναγωγή στο 1ο Τεταρτημόριο

Αντίθετες, παραπληρωματικές, συμπληρωματικές γωνίες, γωνίες με διαφορά π

Γιατί με νοιάζει;

Η αριθμομηχανή σου δίνει $\eta\mu 2025° \approx -0{,}7071$ . Στις εξετάσεις όμως δεν έχεις αριθμομηχανή και ζητούν ακριβή τιμή. Εδώ μαθαίνεις ότι ο τριγωνομετρικός κύκλος έχει καθρέφτες: κάθε γωνία, όσο «άγρια» κι αν είναι, διπλώνει σε μια γωνία του 1ου τεταρτημορίου που ήδη ξέρεις. Για την ιστορία: $2025° = 5 \cdot 360° + 225°$ και $\eta\mu 2025° = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ — σε τρεις γραμμές.

Όλος ο κύκλος χωράει σε ένα τεταρτημόριο

Ξέρεις απ' έξω τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των $30°$ , $45°$ , $60°$ . Τι γίνεται όμως με τις $150°$ , $210°$ , $-45°$ ; Δεν χρειάζεσαι νέα απομνημόνευση. Κάθε γωνία ανάγεται σε μια γωνία του 1ου τεταρτημορίου μέσω συμμετριών του τριγωνομετρικού κύκλου. Η ιδέα: τα συμμετρικά σημεία του κύκλου έχουν συντεταγμένες που διαφέρουν μόνο σε πρόσημα.

Αντίθετες γωνίες: $\theta$ και $-\theta$

Τα σημεία τους είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα $x'x$ : ίδια τετμημένη, αντίθετη τεταγμένη.

$\sigma\upsilon\nu(-\theta) = \sigma\upsilon\nu\theta, \qquad \eta\mu(-\theta) = -\eta\mu\theta, \qquad \varepsilon\varphi(-\theta) = -\varepsilon\varphi\theta$

Με τη γλώσσα των συναρτήσεων: το συνημίτονο είναι άρτια συνάρτηση, το ημίτονο και η εφαπτομένη περιττές.

Παραπληρωματικές γωνίες: $\theta$ και $\pi - \theta$

Συμμετρία ως προς τον άξονα $y'y$ : ίδια τεταγμένη, αντίθετη τετμημένη.

$\eta\mu(\pi - \theta) = \eta\mu\theta, \qquad \sigma\upsilon\nu(\pi - \theta) = -\sigma\upsilon\nu\theta, \qquad \varepsilon\varphi(\pi - \theta) = -\varepsilon\varphi\theta$

Σύρε τη γωνία θ και παρατήρησε τα συμμετρικά της σημεία: το −θ καθρεφτίζεται κάτω από τον οριζόντιο άξονα (ίδιο συν, αντίθετο ημ), το π−θ απέναντι από τον κατακόρυφο (ίδιο ημ, αντίθετο συν) — έτσι κάθε γωνία «μεταφράζεται» σε γωνία του 1ου τεταρτημορίου.

Γωνίες που διαφέρουν κατά $\pi$ : $\theta$ και $\pi + \theta$

Συμμετρία ως προς την αρχή των αξόνων $O$ : αλλάζουν πρόσημο και οι δύο συντεταγμένες.

$\eta\mu(\pi + \theta) = -\eta\mu\theta, \qquad \sigma\upsilon\nu(\pi + \theta) = -\sigma\upsilon\nu\theta, \qquad \varepsilon\varphi(\pi + \theta) = \varepsilon\varphi\theta$

Η εφαπτομένη μένει ίδια — λόγος αρνητικών είναι θετικός. Γι' αυτό άλλωστε η $\varepsilon\varphi x$ έχει περίοδο $\pi$ και όχι $2\pi$ .

Συμπληρωματικές γωνίες: $\theta$ και $\frac{\pi}{2} - \theta$

Συμμετρία ως προς τη διχοτόμο $y = x$ : οι συντεταγμένες ανταλλάσσουν θέσεις.

$\eta\mu\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sigma\upsilon\nu\theta, \qquad \sigma\upsilon\nu\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \eta\mu\theta$

Εδώ κρύβεται και η εξήγηση του ονόματος συνημίτονο: το ημίτονο της συμπληρωματικής. Παράδειγμα-έλεγχος: $\eta\mu 60° = \sigma\upsilon\nu 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ✓

Ήξερες ότι;

Και στα λατινικά το όνομα κρύβει τη συμπληρωματική γωνία: το cosine προέρχεται από το complementi sinus, «ημίτονο της συμπληρωματικής», που συντομεύτηκε σε «co.sinus» στους τριγωνομετρικούς πίνακες του Άγγλου Edmund Gunter το $1620$ . Η σχέση $\sigma\upsilon\nu\theta = \eta\mu\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)$ δεν είναι σύμπτωση — είναι γραμμένη μέσα στο ίδιο το όνομα.

Μέθοδος: αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο

Αν η γωνία είναι μεγαλύτερη από $2\pi$ ( $360°$ ) ή αρνητική, πρόσθεσε ή αφαίρεσε πλήρεις στροφές ώστε να έρθει στο $[0, 2\pi)$ .
Γράψε τη γωνία σε μία από τις μορφές $\pi - \theta$ , $\pi + \theta$ ή $2\pi - \theta$ με $\theta$ του 1ου τεταρτημορίου. Η $2\pi - \theta$ έχει τους ίδιους τριγωνομετρικούς αριθμούς με την $-\theta$ .
Εφάρμοσε τον αντίστοιχο τύπο.
Έλεγξε το πρόσημο με το τεταρτημόριο της αρχικής γωνίας (κανόνας Ο.Η.Ε.Σ.).

Κόλπο μνήμης

ο κανόνας «όνομα και πρόσημο».

Με $-\theta$ ή $\pi \pm \theta$ : το όνομα μένει ίδιο ( $\eta\mu \to \eta\mu$ , $\sigma\upsilon\nu \to \sigma\upsilon\nu$ ).
Με $\frac{\pi}{2} \pm \theta$ : το όνομα αλλάζει ( $\eta\mu \leftrightarrow \sigma\upsilon\nu$ , $\varepsilon\varphi \leftrightarrow \sigma\varphi$ ).
Το πρόσημο το βάζεις σαν να ήταν η $\theta$ οξεία: βρες σε ποιο τεταρτημόριο πέφτει η αρχική γωνία και ρώτα το Ο.Η.Ε.Σ.

Δοκίμασέ το στο $\sigma\upsilon\nu\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right)$ : αλλάζει όνομα σε $\eta\mu\theta$ · η γωνία είναι στο 2ο τεταρτημόριο, όπου το συνημίτονο είναι αρνητικό, άρα $-\eta\mu\theta$ ✓

Παράδειγμα (εξεταστικό μοτίβο): Να υπολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί: α) $\sigma\upsilon\nu 210°$ , β) $\eta\mu\frac{2\pi}{3}$ , γ) $\varepsilon\varphi(-\frac{\pi}{4})$ .

Λύση: α) $210° = 180° + 30°$ , γωνία του 3ου τεταρτημορίου:

$\sigma\upsilon\nu 210° = \sigma\upsilon\nu(180° + 30°) = -\sigma\upsilon\nu 30° = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

β) $\frac{2\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3}$ , παραπληρωματική της $\frac{\pi}{3}$ :

$\eta\mu\frac{2\pi}{3} = \eta\mu\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \eta\mu\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

γ) Αντίθετη γωνία:

$\varepsilon\varphi\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\varepsilon\varphi\frac{\pi}{4} = -1$

Κάθε φορά το ίδιο σχέδιο: γράφω τη γωνία ως «γνωστή πράξη» με γωνία του 1ου τεταρτημορίου, εφαρμόζω τον τύπο, βάζω το σωστό πρόσημο.

Παράδειγμα: Να υπολογιστούν: α) $\eta\mu(-1020°)$ , β) $\sigma\upsilon\nu\frac{11\pi}{6}$ , γ) $\varepsilon\varphi\frac{5\pi}{4}$ , δ) $\eta\mu 315°$ .

Λύση: α) Προσθέτουμε τρεις πλήρεις στροφές: $-1020° + 3 \cdot 360° = 60°$ , άρα $\eta\mu(-1020°) = \eta\mu 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

β) $\frac{11\pi}{6} = 2\pi - \frac{\pi}{6}$ , άρα $\sigma\upsilon\nu\frac{11\pi}{6} = \sigma\upsilon\nu\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \sigma\upsilon\nu\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ (4ο τεταρτημόριο, το συνημίτονο θετικό ✓).

γ) $\frac{5\pi}{4} = \pi + \frac{\pi}{4}$ , άρα $\varepsilon\varphi\frac{5\pi}{4} = \varepsilon\varphi\frac{\pi}{4} = 1$ (3ο τεταρτημόριο, η εφαπτομένη θετική ✓).

δ) $315° = 360° - 45°$ , άρα $\eta\mu 315° = \eta\mu(-45°) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ (4ο τεταρτημόριο, το ημίτονο αρνητικό ✓).

Παράδειγμα: Να απλοποιηθεί η παράσταση $A = \eta\mu(\pi + \theta) + \eta\mu(-\theta) + \sigma\upsilon\nu(\pi - \theta) + \sigma\upsilon\nu\theta$ .

Λύση: Εφαρμόζουμε τους τύπους έναν-έναν:

$A = (-\eta\mu\theta) + (-\eta\mu\theta) + (-\sigma\upsilon\nu\theta) + \sigma\upsilon\nu\theta$

Τα συνημίτονα αλληλοαναιρούνται:

$A = -2\eta\mu\theta$

Οι ασκήσεις αυτού του τύπου είναι «δώρο» μονάδων: καμία πράξη δύσκολη, μόνο σωστή εφαρμογή τύπων — και ένα λάθος πρόσημο τα χαλάει όλα, γι' αυτό γράφε κάθε όρο σε παρένθεση πριν τον μαζέψεις.

Παράδειγμα: α) Να αποδειχθεί ότι $\eta\mu\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) = \sigma\upsilon\nu\theta$ και $\sigma\upsilon\nu\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) = -\eta\mu\theta$ . β) Σε τρίγωνο $AB\Gamma$ να αποδειχθεί ότι $\eta\mu(B + \Gamma) = \eta\mu A$ και $\sigma\upsilon\nu(B + \Gamma) = -\sigma\upsilon\nu A$ .

Λύση: α) Γράφουμε $\frac{\pi}{2} + \theta = \frac{\pi}{2} - (-\theta)$ και εφαρμόζουμε διαδοχικά τους τύπους των συμπληρωματικών και των αντίθετων γωνιών:

$\eta\mu\left(\frac{\pi}{2} - (-\theta)\right) = \sigma\upsilon\nu(-\theta) = \sigma\upsilon\nu\theta, \qquad \sigma\upsilon\nu\left(\frac{\pi}{2} - (-\theta)\right) = \eta\mu(-\theta) = -\eta\mu\theta$

β) Στο τρίγωνο $A + B + \Gamma = \pi$ , άρα $B + \Gamma = \pi - A$ : οι γωνίες $A$ και $B + \Gamma$ είναι παραπληρωματικές. Επομένως $\eta\mu(B + \Gamma) = \eta\mu(\pi - A) = \eta\mu A$ και $\sigma\upsilon\nu(B + \Gamma) = \sigma\upsilon\nu(\pi - A) = -\sigma\upsilon\nu A$ .

Γρήγορος έλεγχος

Με τι ισούται το $\sigma\upsilon\nu\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right)$ ;

Γρήγορος έλεγχος

Το $\sigma\upsilon\nu(\pi - \theta)$ ισούται με:

Γρήγορος έλεγχος

Το $\eta\mu 210°$ ισούται με:

Γρήγορος έλεγχος

Σε τρίγωνο $AB\Gamma$ , με τι ισούται το $\sigma\upsilon\nu(A + B)$ ;

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Δίνεται η παράσταση

$A = \frac{\eta\mu(\pi - x)\,\sigma\upsilon\nu(-x)}{\sigma\upsilon\nu(\pi + x)\,\eta\mu\left(\frac{\pi}{2} - x\right)}$

α) Να αποδειχθεί ότι $A = -\varepsilon\varphi x$ (όπου ορίζεται η παράσταση).

β) Να υπολογιστεί η τιμή της για $x = \frac{\pi}{3}$ και για $x = \frac{7\pi}{6}$ .

Λύση:

α) Με τους τύπους αναγωγής: $\eta\mu(\pi - x) = \eta\mu x$ , $\sigma\upsilon\nu(-x) = \sigma\upsilon\nu x$ , $\sigma\upsilon\nu(\pi + x) = -\sigma\upsilon\nu x$ και $\eta\mu\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sigma\upsilon\nu x$ . Άρα

$A = \frac{\eta\mu x\,\sigma\upsilon\nu x}{(-\sigma\upsilon\nu x)\,\sigma\upsilon\nu x} = -\frac{\eta\mu x}{\sigma\upsilon\nu x} = -\varepsilon\varphi x$

β) Για $x = \frac{\pi}{3}$ : $A = -\varepsilon\varphi\frac{\pi}{3} = -\sqrt{3}$ . Για $x = \frac{7\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6}$ : $\varepsilon\varphi\frac{7\pi}{6} = \varepsilon\varphi\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ , άρα $A = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Απάντηση: α) αποδείχθηκε, β) $-\sqrt{3}$ και $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Πρόκληση

Να υπολογιστεί χωρίς αριθμομηχανή το άθροισμα

$S = \eta\mu^2 1° + \eta\mu^2 2° + \eta\mu^2 3° + \dots + \eta\mu^2 89°$

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Ογδόντα εννέα όροι μοιάζουν αδύνατοι — αλλά οι συμπληρωματικές γωνίες «ζευγαρώνουν». Αφού $\eta\mu(90° - \theta) = \sigma\upsilon\nu\theta$ , έχουμε $\eta\mu^2 89° = \sigma\upsilon\nu^2 1°$ , $\eta\mu^2 88° = \sigma\upsilon\nu^2 2°$ κ.ο.κ. Ομαδοποιούμε τον πρώτο όρο με τον τελευταίο, τον δεύτερο με τον προτελευταίο:

$S = (\eta\mu^2 1° + \eta\mu^2 89°) + (\eta\mu^2 2° + \eta\mu^2 88°) + \dots + (\eta\mu^2 44° + \eta\mu^2 46°) + \eta\mu^2 45°$

Κάθε παρένθεση είναι $\eta\mu^2\theta + \sigma\upsilon\nu^2\theta = 1$ , και οι παρενθέσεις είναι $44$ (μία για κάθε $\theta$ από $1°$ ως $44°$ ). Περισσεύει ο μεσαίος όρος $\eta\mu^2 45° = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}$ . Άρα

$S = 44 + \frac{1}{2} = \frac{89}{2}$

Μην παπαγαλίζεις δώδεκα τύπους — θυμήσου τις τρεις συμμετρίες: $-\theta$ καθρέφτης στον $x'x$ , $\pi - \theta$ καθρέφτης στον $y'y$ , $\pi + \theta$ συμμετρία στο κέντρο. Και ο χρυσός έλεγχος των εξετάσεων: αφού εφαρμόσεις τύπο, επιβεβαίωσε το πρόσημο από το τεταρτημόριο με τον κανόνα Ο.Η.Ε.Σ. — αν διαφωνούν, κάπου ξέχασες ένα μείον.

Συνηθισμένα λάθη

Εφαρμόζουν τον τύπο της $\pi - \theta$ σε γωνία της μορφής $\pi + \theta$ , ή το αντίστροφο. Γράψε πρώτα ρητά τη γωνία ως $\pi \pm \theta$ .
Αλλάζουν ημίτονο σε συνημίτονο σε γωνίες $\pi \pm \theta$ . Η ανταλλαγή ημ ↔ συν γίνεται μόνο με το $\frac{\pi}{2}$ .
Ξεχνούν ότι στην $\pi + \theta$ η εφαπτομένη δεν αλλάζει πρόσημο.
Δεν αφαιρούν πρώτα τις πλήρεις στροφές και καταλήγουν σε λάθος τεταρτημόριο.

Σύνοψη — τι κρατάμε

$-\theta$ : $\sigma\upsilon\nu(-\theta) = \sigma\upsilon\nu\theta$ , $\eta\mu(-\theta) = -\eta\mu\theta$ , $\varepsilon\varphi(-\theta) = -\varepsilon\varphi\theta$
$\pi - \theta$ : ίδιο ημίτονο, αντίθετα συνημίτονο και εφαπτομένη
$\pi + \theta$ : αντίθετα ημίτονο και συνημίτονο, ίδια εφαπτομένη
$\frac{\pi}{2} - \theta$ : ημ και συν ανταλλάσσονται· $\eta\mu\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) = \sigma\upsilon\nu\theta$ και $\sigma\upsilon\nu\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) = -\eta\mu\theta$
Σε τρίγωνο: $\eta\mu(B + \Gamma) = \eta\mu A$ και $\sigma\upsilon\nu(B + \Gamma) = -\sigma\upsilon\nu A$

Όλος ο κύκλος χωράει σε ένα τεταρτημόριο

Ξέρεις απ' έξω τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των

30°

45°

60°

. Τι γίνεται όμως με τις

150°

210°

-45°

; Δεν χρειάζεσαι νέα απομνημόνευση. Κάθε γωνία ανάγεται σε μια γωνία του 1ου τεταρτημορίου μέσω συμμετριών του τριγωνομετρικού κύκλου. Η ιδέα: τα συμμετρικά σημεία του κύκλου έχουν συντεταγμένες που διαφέρουν μόνο σε πρόσημα.

Αντίθετες γωνίες:

\theta

και

-\theta

Τα σημεία τους είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα $x'x$ : ίδια τετμημένη, αντίθετη τεταγμένη.

\sigma\upsilon\nu(-\theta) = \sigma\upsilon\nu\theta, \qquad \eta\mu(-\theta) = -\eta\mu\theta, \qquad \varepsilon\varphi(-\theta) = -\varepsilon\varphi\theta

Με τη γλώσσα των συναρτήσεων: το συνημίτονο είναι άρτια συνάρτηση, το ημίτονο και η εφαπτομένη περιττές.

Παραπληρωματικές γωνίες:

\theta

και

\pi - \theta

Συμμετρία ως προς τον άξονα $y'y$ : ίδια τεταγμένη, αντίθετη τετμημένη.

\eta\mu(\pi - \theta) = \eta\mu\theta, \qquad \sigma\upsilon\nu(\pi - \theta) = -\sigma\upsilon\nu\theta, \qquad \varepsilon\varphi(\pi - \theta) = -\varepsilon\varphi\theta

Αναγωγή στο 1ο Τεταρτημόριο

Όλος ο κύκλος χωράει σε ένα τεταρτημόριο

Αντίθετες γωνίες: θ\thetaθ και −θ-\theta−θ

Παραπληρωματικές γωνίες: θ\thetaθ και π−θ\pi - \thetaπ−θ

Γωνίες που διαφέρουν κατά π\piπ: θ\thetaθ και π+θ\pi + \thetaπ+θ

Συμπληρωματικές γωνίες: θ\thetaθ και π2−θ\frac{\pi}{2} - \theta2π​−θ

Μέθοδος: αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο

Αναγωγή στο 1ο Τεταρτημόριο

Όλος ο κύκλος χωράει σε ένα τεταρτημόριο

Αντίθετες γωνίες: θ\thetaθ και −θ-\theta−θ

Παραπληρωματικές γωνίες: θ\thetaθ και π−θ\pi - \thetaπ−θ

Γωνίες που διαφέρουν κατά π\piπ: θ\thetaθ και π+θ\pi + \thetaπ+θ

Συμπληρωματικές γωνίες: θ\thetaθ και π2−θ\frac{\pi}{2} - \theta2π​−θ

Μέθοδος: αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο

Αντίθετες γωνίες: $\theta$ και $-\theta$

Παραπληρωματικές γωνίες: $\theta$ και $\pi - \theta$

Γωνίες που διαφέρουν κατά $\pi$ : $\theta$ και $\pi + \theta$

Συμπληρωματικές γωνίες: $\theta$ και $\frac{\pi}{2} - \theta$

Αντίθετες γωνίες: $\theta$ και $-\theta$

Παραπληρωματικές γωνίες: $\theta$ και $\pi - \theta$

Γωνίες που διαφέρουν κατά $\pi$ : $\theta$ και $\pi + \theta$

Συμπληρωματικές γωνίες: $\theta$ και $\frac{\pi}{2} - \theta$