🎢

Ιδιότητες & Μετατοπίσεις Συναρτήσεων

Μονοτονία, ακρότατα, άρτια-περιττή, μετατόπιση f(x)+c και f(x−c)

Γιατί με νοιάζει;

Σε ένα βιντεοπαιχνίδι ο ήρωας πηδάει και τρέχει δεξιά, αλλά ο κώδικας δεν ξαναζωγραφίζει τη φιγούρα από την αρχή: απλώς προσθέτει σταθερές στις συντεταγμένες. Αυτό είναι μετατόπιση γραφικής παράστασης. Κι όταν ένας αναλυτής λέει «η τιμή ανεβαίνει σταθερά από τον Μάρτιο», μιλά για μονοτονία. Εδώ μαθαίνεις να «διαβάζεις» μια συνάρτηση με μια ματιά: πού ανεβαίνει, πού έχει κορυφή, αν έχει καθρέφτη.

Μονοτονία — ανηφόρα ή κατηφόρα;

Φαντάσου ότι διασχίζεις τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης με ποδήλατο, από αριστερά προς τα δεξιά. Αν ανεβαίνεις συνέχεια, η συνάρτηση είναι αύξουσα· αν κατεβαίνεις συνέχεια, φθίνουσα. Τα μαθηματικά απλώς το λένε με ακρίβεια:

Μια συνάρτηση $f$ λέγεται γνησίως αύξουσα σε διάστημα $\Delta$ όταν για οποιαδήποτε $x_1, x_2 \in \Delta$ :

$x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$

και γνησίως φθίνουσα όταν $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$ .

Δηλαδή: στη γνησίως αύξουσα, μεγαλύτερο $x$ σημαίνει πάντα μεγαλύτερο $f(x)$ — και το αντίστροφο ισχύει επίσης, γι' αυτό η μονοτονία λύνει ανισώσεις.

Ακρότατα — κορυφή και πάτος της διαδρομής

Η $f$ παρουσιάζει (ολικό) μέγιστο στο $x_0$ όταν $f(x) \leq f(x_0)$ για κάθε $x$ στο πεδίο ορισμού. Με απλά λόγια, το $f(x_0)$ είναι η ψηλότερη τιμή που πιάνει ποτέ. Αντίστοιχα, έχει (ολικό) ελάχιστο στο $x_0$ όταν $f(x) \geq f(x_0)$ για κάθε $x$ .

Παράδειγμα: η $f(x) = x^2 + 1$ έχει ελάχιστο στο $x_0 = 0$ , το $f(0) = 1$ , αφού $x^2 + 1 \geq 1$ πάντα. Μέγιστο δεν έχει — η παραβολή ανεβαίνει χωρίς ταβάνι. Προσοχή: δεν έχουν όλες οι συναρτήσεις ακρότατα (η $f(x) = x$ δεν έχει κανένα).

Γρήγορος έλεγχος

Η $f$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $\mathbb{R}$ . Ποια σχέση ισχύει για τις τιμές $f(1)$ και $f(3)$ ;

Παράδειγμα: Να μελετηθούν ως προς τη μονοτονία με τον ορισμό οι συναρτήσεις: α) $f(x) = 3 - 2x$ , β) $g(x) = x^3 + x$ . γ) Να λυθεί η εξίσωση $x^3 + x = 2$ .

Λύση: α) Έστω $x_1 < x_2$ . Πολλαπλασιάζοντας με $-2 < 0$ : $-2x_1 > -2x_2$ , και προσθέτοντας $3$ : $3 - 2x_1 > 3 - 2x_2$ , δηλαδή $f(x_1) > f(x_2)$ . Άρα η $f$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $\mathbb{R}$ .

β) Έστω $x_1 < x_2$ . Τότε $x_1^3 < x_2^3$ (η $y = x^3$ είναι γνησίως αύξουσα) και, προσθέτοντας κατά μέλη την $x_1 < x_2$ : $x_1^3 + x_1 < x_2^3 + x_2$ , δηλαδή $g(x_1) < g(x_2)$ . Άρα η $g$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$ .

γ) Προφανής λύση η $x = 1$ , αφού $g(1) = 2$ . Είναι και μοναδική: για $x > 1$ η γνησίως αύξουσα $g$ δίνει $g(x) > g(1) = 2$ , και για $x < 1$ δίνει $g(x) < 2$ .

Δίπλωσε τη γραφική παράσταση γύρω από τον άξονα y′y σαν καθρέφτη — θα ανακαλύψεις πότε το αριστερό μισό «φτιάχνει» μόνο του το δεξί, και τι αλλάζει όταν η συμμετρία είναι ως προς την αρχή των αξόνων.

Άρτια και περιττή συνάρτηση

Κάποιες γραφικές παραστάσεις έχουν «κρυφή» συμμετρία:

Άρτια λέγεται η $f$ όταν για κάθε $x$ του πεδίου ορισμού ισχύει $-x$ στο πεδίο ορισμού και

$f(-x) = f(x)$

Η γραφική της παράσταση είναι συμμετρική ως προς τον άξονα $y'y$ — σαν καθρέφτης. Παραδείγματα: $x^2$ , $|x|$ , $\sigma\upsilon\nu x$ .

Περιττή λέγεται όταν αντίστοιχα

$f(-x) = -f(x)$

Η γραφική της παράσταση είναι συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων $O$ — στρίψε τη μισή κατά $180°$ και πέφτει πάνω στην άλλη μισή. Παραδείγματα: $x^3$ , $\frac{1}{x}$ , $\eta\mu x$ .

Απαραίτητη προϋπόθεση και για τα δύο: το πεδίο ορισμού να είναι συμμετρικό ως προς το $0$ (αν περιέχει το $x$ , να περιέχει και το $-x$ ). Και φυσικά, οι περισσότερες συναρτήσεις δεν είναι ούτε άρτιες ούτε περιττές — π.χ. η $f(x) = x + 1$ .

Ήξερες ότι;

Τα ονόματα «άρτια» και «περιττή» βγαίνουν από τις δυνάμεις: η $x^\nu$ είναι άρτια συνάρτηση όταν ο $\nu$ είναι άρτιος ( $x^2, x^4, \dots$ ) και περιττή όταν ο $\nu$ είναι περιττός ( $x, x^3, \dots$ ). Και κάτι πιο εντυπωσιακό: κάθε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το $\mathbb{R}$ γράφεται ως άθροισμα μιας άρτιας και μιας περιττής — θα το αποδείξεις στην Πρόκληση.

Μέθοδος: άρτια/περιττή και μονοτονία με τον ορισμό

Άρτια ή περιττή;

Βρες το πεδίο ορισμού $A$ και έλεγξε ότι είναι συμμετρικό ως προς το $0$ . Αν δεν είναι, η $f$ δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή.
Υπολόγισε το $f(-x)$ με πράξεις.
Αν $f(-x) = f(x)$ είναι άρτια, αν $f(-x) = -f(x)$ είναι περιττή. Για να δείξεις ότι δεν είναι τίποτα από τα δύο, αρκεί ένα αντιπαράδειγμα: π.χ. $f(-1) \neq f(1)$ και $f(-1) \neq -f(1)$ .

Μονοτονία: πάρε τυχαία $x_1 < x_2$ στο διάστημα και, με τις ιδιότητες της διάταξης, «χτίσε» βήμα-βήμα τα $f(x_1)$ και $f(x_2)$ για να βρεις τη φορά της ανισότητας.

Παράδειγμα: Να εξεταστεί αν είναι άρτιες ή περιττές οι συναρτήσεις: α) $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$ , β) $g(x) = x^2 + |x|$ , γ) $h(x) = \sqrt{x}$ , δ) $k(x) = x^2 + x$ .

Λύση: α) $A = \mathbb{R}$ , συμμετρικό. $f(-x) = \frac{-x}{(-x)^2 + 1} = -\frac{x}{x^2 + 1} = -f(x)$ : περιττή.

β) $A = \mathbb{R}$ . $g(-x) = (-x)^2 + |-x| = x^2 + |x| = g(x)$ : άρτια.

γ) $A = [0, +\infty)$ , που δεν είναι συμμετρικό (περιέχει το $1$ αλλά όχι το $-1$ ): ούτε άρτια ούτε περιττή.

δ) $A = \mathbb{R}$ , αλλά $k(1) = 2$ και $k(-1) = 0$ . Αφού $k(-1) \neq k(1)$ και $k(-1) \neq -k(1)$ , η $k$ δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή.

Γρήγορος έλεγχος

Η συνάρτηση $f(x) = x^3 - x$ είναι:

Γρήγορος έλεγχος

Η $f$ είναι περιττή με πεδίο ορισμού το $\mathbb{R}$ και $f(2) = 5$ . Πόσο είναι το $f(-2)$ ;

Μετακίνησε την παραβολή πάνω-κάτω και δεξιά-αριστερά — θα ανακαλύψεις ποιος αριθμός στον τύπο ελέγχει την κατακόρυφη μετατόπιση και ποιος την οριζόντια, και γιατί το «−» μέσα στην παρένθεση σπρώχνει ΔΕΞΙΑ.

Μετατοπίσεις της γραφικής παράστασης

Αν ξέρεις τη γραφική παράσταση της $f$ , παίρνεις «δωρεάν» μια ολόκληρη οικογένεια καμπυλών (παντού $c > 0$ ):

$y = f(x) + c$ : μετατόπιση κατακόρυφα προς τα πάνω κατά $c$ μονάδες.
$y = f(x) - c$ : μετατόπιση κατακόρυφα προς τα κάτω κατά $c$ .
$y = f(x - c)$ : μετατόπιση οριζόντια προς τα δεξιά κατά $c$ .
$y = f(x + c)$ : μετατόπιση οριζόντια προς τα αριστερά κατά $c$ .

Η κατακόρυφη είναι διαισθητική: προσθέτεις $c$ σε κάθε τιμή, όλα ανεβαίνουν. Η οριζόντια είναι η «ανάποδη»: η $f(x - 2)$ πιάνει στο $x = 5$ την τιμή που η $f$ έπιανε στο $x = 3$ — όλα συμβαίνουν $2$ μονάδες αργότερα, δηλαδή δεξιότερα. Σκέψου το $-2$ μέσα στην παρένθεση σαν καθυστέρηση, όχι σαν οπισθοχώρηση.

Οι δύο κινήσεις συνδυάζονται ελεύθερα: η $y = f(x - c) + d$ είναι η $f$ μετατοπισμένη $c$ δεξιά και $d$ πάνω.

Κόλπο μνήμης

για να βρεις πού πάει η κορυφή της $y = (x - 3)^2 + 2$ , ρώτα: πού μηδενίζεται η παρένθεση; Στο $x = 3$ — εκεί μετακομίζει η κορυφή, όχι στο $-3$ . Το $+2$ είναι «έξω» από τη συνάρτηση, άρα λέει την αλήθεια: $2$ μονάδες πάνω. Κορυφή $(3, 2)$ .

Παράδειγμα (εξεταστικό μοτίβο): Να παρασταθεί γραφικά η $g(x) = (x - 2)^2 + 3$ και να βρεθεί το ελάχιστό της.

Λύση: Ξεκινάμε από τη γνωστή παραβολή $y = x^2$ με κορυφή το $O(0, 0)$ .

Το $x - 2$ μέσα στην παρένθεση μετατοπίζει τη γραφική παράσταση 2 μονάδες δεξιά: $y = (x - 2)^2$ , κορυφή $(2, 0)$ .
Το $+3$ έξω μετατοπίζει 3 μονάδες πάνω: $y = (x - 2)^2 + 3$ , κορυφή $(2, 3)$ .

Η $g$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $(-\infty, 2]$ και γνησίως αύξουσα στο $[2, +\infty)$ , όπως η $x^2$ γύρω από τη δική της κορυφή.

Για το ελάχιστο: $(x - 2)^2 \geq 0$ για κάθε $x$ , άρα $g(x) \geq 3$ , με ισότητα μόνο όταν $x = 2$ . Άρα η $g$ έχει ολικό ελάχιστο στο $x_0 = 2$ , το $g(2) = 3$ — ακριβώς την κορυφή που βρήκαμε με τις μετατοπίσεις. ✓

Γρήγορος έλεγχος

Η γραφική παράσταση της $f(x) = |x + 1| - 2$ προκύπτει από αυτήν της $y = |x|$ με μετατόπιση:

Γρήγορος έλεγχος

Ποια είναι η κορυφή της παραβολής $y = (x + 3)^2 - 1$ ;

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Δίνεται η συνάρτηση $f(x) = -x^2 + 6x - 5$ .

α) Να γραφεί στη μορφή $f(x) = -(x - \kappa)^2 + \lambda$ .

β) Να εξηγηθεί πώς προκύπτει η $C_f$ από τη γραφική παράσταση της $y = -x^2$ και να βρεθεί η μονοτονία της $f$ .

γ) Να δειχθεί ότι η $f$ έχει μέγιστο και να βρεθεί.

δ) Να δειχθεί ότι η συνάρτηση $g(x) = f(x + 3) - 4$ είναι άρτια.

Λύση:

α) $f(x) = -(x^2 - 6x) - 5 = -(x^2 - 6x + 9) + 9 - 5 = -(x - 3)^2 + 4$ .

β) Η $C_f$ προκύπτει από την $y = -x^2$ με μετατόπιση $3$ μονάδες δεξιά και $4$ μονάδες πάνω· η κορυφή πάει από το $(0, 0)$ στο $(3, 4)$ . Η $y = -x^2$ είναι γνησίως αύξουσα στο $(-\infty, 0]$ και γνησίως φθίνουσα στο $[0, +\infty)$ , άρα η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $(-\infty, 3]$ και γνησίως φθίνουσα στο $[3, +\infty)$ .

γ) $-(x - 3)^2 \le 0$ για κάθε $x$ , άρα $f(x) \le 4 = f(3)$ . Η $f$ έχει ολικό μέγιστο στο $x_0 = 3$ , το $f(3) = 4$ .

δ) $g(x) = -(x + 3 - 3)^2 + 4 - 4 = -x^2$ , με πεδίο ορισμού το $\mathbb{R}$ και $g(-x) = -(-x)^2 = -x^2 = g(x)$ . Άρα η $g$ είναι άρτια.

Απάντηση: α) $f(x) = -(x - 3)^2 + 4$ , β) γνησίως αύξουσα στο $(-\infty, 3]$ και γνησίως φθίνουσα στο $[3, +\infty)$ , γ) μέγιστο $f(3) = 4$ , δ) αποδείχθηκε.

Πρόκληση

Να γραφεί η $f(x) = x^3 + x^2 - 2x + 5$ ως άθροισμα μιας άρτιας συνάρτησης $g$ και μιας περιττής $h$ . Στη συνέχεια, να δειχθεί ότι κάθε συνάρτηση $f$ με πεδίο ορισμού το $\mathbb{R}$ γράφεται έτσι.

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Η ιδέα: «μισό-μισό» με το $f(-x)$ . Είναι $f(-x) = -x^3 + x^2 + 2x + 5$ . Θέτουμε

$g(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} = \frac{2x^2 + 10}{2} = x^2 + 5, \qquad h(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2} = \frac{2x^3 - 4x}{2} = x^3 - 2x$

Η $g$ είναι άρτια (μόνο άρτιες δυνάμεις), η $h$ περιττή (μόνο περιττές), και $g(x) + h(x) = x^3 + x^2 - 2x + 5 = f(x)$ ✓

Γενικά, για οποιαδήποτε $f$ με πεδίο το $\mathbb{R}$ ορίζουμε τις ίδιες $g, h$ . Τότε $g(-x) = \frac{f(-x) + f(x)}{2} = g(x)$ , άρα η $g$ είναι άρτια, και $h(-x) = \frac{f(-x) - f(x)}{2} = -h(x)$ , άρα η $h$ είναι περιττή. Προσθέτοντας: $g(x) + h(x) = \frac{2f(x)}{2} = f(x)$ . Κάθε συνάρτηση «κρύβει» ένα άρτιο και ένα περιττό κομμάτι!

Τρία σημεία που βαθμολογούνται στις εξετάσεις: (1) Για άρτια/περιττή, υπολόγισε ΠΑΝΤΑ το $f(-x)$ με πράξεις και κατέληξε σε $f(x)$ ή $-f(x)$ — μην κρίνεις «με το μάτι»· έλεγξε πρώτα ότι το πεδίο ορισμού είναι συμμετρικό. (2) Στη μονοτονία, η απάντηση γράφεται με τον ορισμό: πάρε $x_1 < x_2$ και δείξε τη σωστή φορά της ανισότητας. (3) Στις μετατοπίσεις, ο κανόνας-σωσίβιο: ΕΞΩ από τη συνάρτηση = κατακόρυφα όπως το περιμένεις, ΜΕΣΑ στο όρισμα = οριζόντια και ΑΝΑΠΟΔΑ ( $x - c$ δεξιά, $x + c$ αριστερά).

Συνηθισμένα λάθη

Κρίνουν αν η $f$ είναι άρτια/περιττή χωρίς να ελέγξουν ότι το πεδίο ορισμού είναι συμμετρικό.
Από $f(-1) = f(1)$ συμπεραίνουν ότι η $f$ είναι άρτια. Ένα ζεύγος τιμών μόνο διαψεύδει· η απόδειξη θέλει $f(-x) = f(x)$ για κάθε $x$ .
Στην $f(x - c)$ μετατοπίζουν αριστερά. Μέσα στο όρισμα: $x - c$ δεξιά, $x + c$ αριστερά.
Δηλώνουν μονοτονία σε ένωση διαστημάτων, π.χ. «η $\frac{1}{x}$ είναι φθίνουσα στο $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$ ». Είναι φθίνουσα σε καθένα χωριστά, όχι στην ένωση: $-1 < 1$ αλλά $\frac{1}{-1} < \frac{1}{1}$ .

Σύνοψη — τι κρατάμε

Γνησίως αύξουσα: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$ · γνησίως φθίνουσα: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$
Μέγιστο στο $x_0$ : $f(x) \le f(x_0)$ για κάθε $x \in A$ · ελάχιστο: $f(x) \ge f(x_0)$
Άρτια: $f(-x) = f(x)$ , συμμετρία ως προς τον $y'y$ · περιττή: $f(-x) = -f(x)$ , συμμετρία ως προς το $O$ — πάντα με συμμετρικό πεδίο ορισμού
Με $c > 0$ : $f(x) \pm c$ μετατόπιση πάνω/κάτω, $f(x \mp c)$ μετατόπιση δεξιά/αριστερά
$y = \alpha(x - \kappa)^2 + \lambda$ : παραβολή με κορυφή $(\kappa, \lambda)$

Μονοτονία — ανηφόρα ή κατηφόρα;

Μια συνάρτηση

f

λέγεται γνησίως αύξουσα σε διάστημα

\Delta

όταν για οποιαδήποτε

x_1, x_2 \in \Delta

x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)

και γνησίως φθίνουσα όταν

x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)

Δηλαδή: στη γνησίως αύξουσα, μεγαλύτερο

x

σημαίνει πάντα μεγαλύτερο

f(x)

— και το αντίστροφο ισχύει επίσης, γι' αυτό η μονοτονία λύνει ανισώσεις.

Ακρότατα — κορυφή και πάτος της διαδρομής

f

παρουσιάζει (ολικό) μέγιστο στο

x_0

όταν

f(x) \leq f(x_0)

για κάθε

x

στο πεδίο ορισμού. Με απλά λόγια, το

f(x_0)

είναι η ψηλότερη τιμή που πιάνει ποτέ. Αντίστοιχα, έχει (ολικό) ελάχιστο στο

x_0

όταν

f(x) \geq f(x_0)

για κάθε

x

Παράδειγμα: η

f(x) = x^2 + 1

έχει ελάχιστο στο

x_0 = 0

, το

f(0) = 1

, αφού

x^2 + 1 \geq 1

πάντα. Μέγιστο δεν έχει — η παραβολή ανεβαίνει χωρίς ταβάνι. Προσοχή: δεν έχουν όλες οι συναρτήσεις ακρότατα (η

f(x) = x

δεν έχει κανένα).