📈

Γεωμετρική Πρόοδος

Λόγος λ, ν-οστός όρος, άθροισμα, ανατοκισμός

Μπορεί ένα χαρτί να φτάσει στη Σελήνη;

Ένα φύλλο χαρτί έχει πάχος περίπου $0{,}1$ mm. Κάθε δίπλωση διπλασιάζει το πάχος. Μετά από $42$ διπλώσεις (θεωρητικά) θα είχε πάχος $0{,}1 \cdot 2^{42}$ mm $\approx 440.000$ km — περισσότερο από την απόσταση Γης–Σελήνης! Αυτή είναι η δύναμη της γεωμετρικής προόδου.

Γεωμετρική Πρόοδος

Μια ακολουθία είναι γεωμετρική πρόοδος όταν κάθε όρος προκύπτει από τον προηγούμενο πολλαπλασιάζοντας με τον ίδιο σταθερό αριθμό $\lambda \neq 0$ . Αυτός ο αριθμός λέγεται λόγος της προόδου:

$\alpha_{\nu + 1} = \alpha_\nu \cdot \lambda \iff \frac{\alpha_{\nu + 1}}{\alpha_\nu} = \lambda$

Όλοι οι όροι είναι μη μηδενικοί. Παράδειγμα: η $2, 6, 18, 54, \ldots$ είναι γεωμετρική πρόοδος με $\alpha_1 = 2$ και $\lambda = 3$ .

Η αριθμητική πρόοδος προσθέτει το ίδιο βήμα· η γεωμετρική πολλαπλασιάζει με τον ίδιο λόγο — γι' αυτό για $\lambda > 1$ εκτοξεύεται εκθετικά.

Κόλπο μνήμης

Η αριθμητική πρόοδος είναι σκάλα: σε κάθε βήμα προσθέτεις το ίδιο $\omega$ . Η γεωμετρική είναι zoom φωτοτυπικού: σε κάθε βήμα πολλαπλασιάζεις με το ίδιο $\lambda$ . Διαφορά ή λόγος διαδοχικών όρων — αυτό σου λέει ποια από τις δύο έχεις.

Γραμμική vs εκθετική αύξηση: η αριθμητική πρόοδος ανεβαίνει σταθερά, η γεωμετρική με λ>1 εκρήγνυται.

Ήξερες ότι;

Για χρόνια λεγόταν ότι ένα χαρτί δεν διπλώνεται στη μέση πάνω από $7$ – $8$ φορές. Το 2002 η μαθήτρια λυκείου Britney Gallivan από την Καλιφόρνια το δίπλωσε 12 φορές, χρησιμοποιώντας ένα πολύ μακρύ ρολό χαρτιού — αφού πρώτα υπολόγισε μαθηματικά πόσο μήκος χρειαζόταν.

Γεωμετρικός μέσος

Τρεις μη μηδενικοί αριθμοί $\alpha, \beta, \gamma$ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου αν και μόνο αν:

$\beta^2 = \alpha \cdot \gamma$

Ο θετικός αριθμός $\sqrt{\alpha\gamma}$ (όταν $\alpha, \gamma > 0$ ) λέγεται γεωμετρικός μέσος των $\alpha$ και $\gamma$ .

Το άθροισμα Sν

Για το άθροισμα των $\nu$ πρώτων όρων: πολλαπλασίασε το $S_\nu$ επί $\lambda$ και αφαίρεσε — σχεδόν όλοι οι όροι διαγράφονται (τηλεσκοπικά) και μένει $\lambda S_\nu - S_\nu = \alpha_1(\lambda^\nu - 1)$ .

Γρήγορος έλεγχος

Ποια από τις παρακάτω ακολουθίες είναι γεωμετρική πρόοδος;

$\alpha_\nu = \alpha_1 \cdot \lambda^{\nu - 1} \qquad S_\nu = \alpha_1 \frac{\lambda^\nu - 1}{\lambda - 1}, \;\; \lambda \neq 1$

Μέθοδος: ασκήσεις γεωμετρικής προόδου

Είναι γεωμετρική πρόοδος; Έλεγξε ότι οι όροι είναι μη μηδενικοί και ότι ο λόγος $\frac{\alpha_{\nu+1}}{\alpha_\nu}$ είναι σταθερός (ανεξάρτητος του $\nu$ ).
Δίνονται δύο όροι: γράψε τους ως $\alpha_1\lambda^{\nu - 1}$ και διαίρεσε κατά μέλη — μένει εξίσωση της μορφής $\lambda^\kappa = \ldots$ . Με άρτιο $\kappa$ εξέτασε και τις δύο λύσεις $\pm$ .
Τρεις διαδοχικοί όροι: χρησιμοποίησε τη σχέση $\beta^2 = \alpha\gamma$ .
Άθροισμα: για $\lambda \neq 1$ ο τύπος $S_\nu = \alpha_1\frac{\lambda^\nu - 1}{\lambda - 1}$ · για $\lambda = 1$ όλοι οι όροι είναι ίσοι και $S_\nu = \nu\alpha_1$ .

Παράδειγμα: Δίνεται η ακολουθία $\alpha_\nu = 3 \cdot 2^\nu$ . α) Να δειχθεί ότι είναι γεωμετρική πρόοδος. β) Να βρεθεί το $S_5$ . γ) Ποιος όρος της ισούται με $384$ ;

Λύση: α) Όλοι οι όροι είναι θετικοί και $\frac{\alpha_{\nu+1}}{\alpha_\nu} = \frac{3 \cdot 2^{\nu+1}}{3 \cdot 2^\nu} = 2$ , σταθερό. Άρα γεωμετρική πρόοδος με $\lambda = 2$ και $\alpha_1 = 3 \cdot 2 = 6$ .

β) $S_5 = 6 \cdot \frac{2^5 - 1}{2 - 1} = 6 \cdot 31 = 186$ (έλεγχος: $6 + 12 + 24 + 48 + 96 = 186$ ✓).

γ) $3 \cdot 2^\nu = 384 \iff 2^\nu = 128 = 2^7 \iff \nu = 7$ : είναι ο $7$ ος όρος.

Ανατοκισμός: η γεωμετρική πρόοδος της τράπεζας

Καταθέτεις κεφάλαιο $K$ με ετήσιο επιτόκιο $\varepsilon\%$ . Κάθε χρόνο το ποσό πολλαπλασιάζεται επί $1 + \frac{\varepsilon}{100}$ , και ο τόκος ανατοκίζεται — δηλαδή τοκίζεται και ο τόκος! Μετά από $\nu$ χρόνια το κεφάλαιο γίνεται:

$K_\nu = K\left(1 + \frac{\varepsilon}{100}\right)^\nu$

Τα ποσά $K_1, K_2, K_3, \ldots$ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου με λόγο $\lambda = 1 + \frac{\varepsilon}{100}$ . Η αύξηση είναι «σιωπηλή» αλλά εκθετική. Γι' αυτό οι αποταμιεύσεις σου — και τα χρέη! — μεγαλώνουν πολύ πιο γρήγορα απ' ό,τι περιμένεις.

Παράδειγμα: Σε γεωμετρική πρόοδο είναι $\alpha_3 = 12$ και $\alpha_6 = 96$ . Να βρεθούν τα $\alpha_1, \lambda$ και το $S_5$ .

Λύση: Διαιρούμε κατά μέλη: $\frac{\alpha_6}{\alpha_3} = \frac{\alpha_1 \lambda^5}{\alpha_1 \lambda^2} = \lambda^3 = \frac{96}{12} = 8 \Rightarrow \lambda = 2$ .

Τότε $\alpha_3 = \alpha_1 \lambda^2 \Rightarrow 12 = 4\alpha_1 \Rightarrow \alpha_1 = 3$ .

Άθροισμα: $S_5 = 3 \cdot \frac{2^5 - 1}{2 - 1} = 3 \cdot 31 = 93$ ✓

Εφαρμογή ανατοκισμού: $1000$ € με επιτόκιο $5\%$ για $3$ χρόνια: $K_3 = 1000 \cdot 1{,}05^3 = 1157{,}63$ € — κερδίσαμε $157{,}63$ €, όχι $150$ €, χάρη στον ανατοκισμό.

Γρήγορος έλεγχος

Σε γεωμετρική πρόοδο με $\alpha_1 = 2$ και $\lambda = 3$ , ποιος είναι ο $\alpha_5$ ;

Γρήγορος έλεγχος

Σε γεωμετρική πρόοδο είναι $\alpha_2 = 6$ και $\alpha_4 = 24$ . Τι ισχύει για τον λόγο $\lambda$ ;

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Οι αριθμοί $x$ , $x + 4$ , $x + 16$ είναι, με αυτή τη σειρά, διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου.

α) Να βρεθούν ο $x$ και ο λόγος $\lambda$ .

β) Αν οι αριθμοί αυτοί είναι οι τρεις πρώτοι όροι της προόδου, να βρεθεί ο γενικός όρος $\alpha_\nu$ .

γ) Να υπολογιστεί το $S_6$ .

δ) Πόσους πρώτους όρους πρέπει να προσθέσουμε για να πάρουμε άθροισμα $242$ ;

Λύση:

α) $(x + 4)^2 = x(x + 16) \iff x^2 + 8x + 16 = x^2 + 16x \iff 8x = 16 \iff x = 2$ . Οι όροι είναι $2, 6, 18$ (μη μηδενικοί ✓), άρα $\lambda = \frac{6}{2} = 3$ .

β) $\alpha_\nu = 2 \cdot 3^{\nu - 1}$ .

γ) $S_6 = 2 \cdot \frac{3^6 - 1}{3 - 1} = 3^6 - 1 = 728$ .

δ) $S_\nu = 2 \cdot \frac{3^\nu - 1}{2} = 3^\nu - 1$ . Άρα $3^\nu - 1 = 242 \iff 3^\nu = 243 = 3^5 \iff \nu = 5$ (έλεγχος: $2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242$ ✓).

Απάντηση: α) $x = 2$ , $\lambda = 3$ , β) $\alpha_\nu = 2 \cdot 3^{\nu - 1}$ , γ) $S_6 = 728$ , δ) $5$ όροι.

Πρόκληση

α) Ένα χαρτί πάχους $0{,}1$ mm διπλώνεται (θεωρητικά) ξανά και ξανά. Μετά από πόσες διπλώσεις το πάχος ξεπερνά για πρώτη φορά το $1$ km; β) Ο θρύλος της σκακιέρας: $1$ κόκκος ρύζι στο 1ο τετράγωνο, $2$ στο 2ο, $4$ στο 3ο κ.ο.κ. Πόσοι κόκκοι σε όλα τα $64$ τετράγωνα;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

α) Μετά από $\nu$ διπλώσεις το πάχος είναι $0{,}1 \cdot 2^\nu$ mm. Το $1$ km είναι $10^6$ mm, άρα θέλουμε

$0{,}1 \cdot 2^\nu > 10^6 \iff 2^\nu > 10^7$

Είναι $2^{23} = 8.388.608 < 10^7$ και $2^{24} = 16.777.216 > 10^7$ , άρα $\nu = 24$ .

β) Γεωμετρική πρόοδος με $\alpha_1 = 1$ , $\lambda = 2$ , $\nu = 64$ :

$S_{64} = \alpha_1 \frac{\lambda^{64} - 1}{\lambda - 1} = \frac{2^{64} - 1}{2 - 1} = 2^{64} - 1$

Απάντηση: α) $24$ διπλώσεις, β) $2^{64} - 1 \approx 1{,}8 \cdot 10^{19}$ κόκκοι — εκατοντάδες φορές η σημερινή ετήσια παγκόσμια παραγωγή ρυζιού.

Όταν δίνονται δύο όροι γεωμετρικής προόδου, ΔΙΑΙΡΕΣΕ κατά μέλη — το $\alpha_1$ απλοποιείται και μένει μόνο δύναμη του $\lambda$ . Και πρόσεχε: αν $\lambda^2 = 4$ τότε $\lambda = \pm 2$ · κράτα ΚΑΙ τις δύο λύσεις εκτός αν η εκφώνηση λέει π.χ. «θετικοί όροι».

Συνηθισμένα λάθη

Εκθέτης $\nu$ αντί για $\nu - 1$ : σωστό είναι $\alpha_\nu = \alpha_1\lambda^{\nu - 1}$ , όχι $\alpha_1\lambda^\nu$ .
Από $\lambda^2 = 4$ κρατούν μόνο το $\lambda = 2$ . Με άρτιο εκθέτη εξέτασε και την αρνητική ρίζα, εκτός αν η εκφώνηση την αποκλείει (π.χ. «θετικοί όροι»).
Χρησιμοποιούν τον τύπο του $S_\nu$ με $\lambda = 1$ , όπου μηδενίζεται ο παρονομαστής. Εκεί $S_\nu = \nu\alpha_1$ .
Μπερδεύουν τα κριτήρια: $2\beta = \alpha + \gamma$ ισχύει για αριθμητική, $\beta^2 = \alpha\gamma$ για γεωμετρική πρόοδο.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Γεωμετρική πρόοδος: $\frac{\alpha_{\nu+1}}{\alpha_\nu} = \lambda$ σταθερό, με $\lambda \neq 0$ και όρους μη μηδενικούς
Γενικός όρος: $\alpha_\nu = \alpha_1\lambda^{\nu - 1}$
Οι $\alpha, \beta, \gamma$ είναι διαδοχικοί όροι $\iff \beta^2 = \alpha\gamma$
$S_\nu = \alpha_1\frac{\lambda^\nu - 1}{\lambda - 1}$ για $\lambda \neq 1$ και $S_\nu = \nu\alpha_1$ για $\lambda = 1$
Δύο γνωστοί όροι → διαίρεση κατά μέλη → εξίσωση $\lambda^\kappa = \ldots$

Γεωμετρική Πρόοδος

Μια ακολουθία είναι γεωμετρική πρόοδος όταν κάθε όρος προκύπτει από τον προηγούμενο πολλαπλασιάζοντας με τον ίδιο σταθερό αριθμό

\lambda \neq 0

. Αυτός ο αριθμός λέγεται λόγος της προόδου:

\alpha_{\nu + 1} = \alpha_\nu \cdot \lambda \iff \frac{\alpha_{\nu + 1}}{\alpha_\nu} = \lambda

Όλοι οι όροι είναι μη μηδενικοί. Παράδειγμα: η

2, 6, 18, 54, \ldots

είναι γεωμετρική πρόοδος με

\alpha_1 = 2

και

\lambda = 3

Η αριθμητική πρόοδος προσθέτει το ίδιο βήμα· η γεωμετρική πολλαπλασιάζει με τον ίδιο λόγο — γι' αυτό για

\lambda > 1

εκτοξεύεται εκθετικά.