🎲

Πιθανότητες

Δειγματικός χώρος, ενδεχόμενα, κανόνες λογισμού

Εκτός ύλης 2026

Στο τάβλι, ποια ζαριά έρχεται πιο συχνά;

Ρίχνεις δύο ζάρια. Το άθροισμα $7$ βγαίνει με $6$ τρόπους στους $36$ , ενώ το $12$ μόνο με έναν ( $6$ - $6$ ). Γι' αυτό οι έμπειροι παίκτες «ποντάρουν» στο $7$ . Σε αυτό το κεφάλαιο μαθαίνεις να μετράς την τύχη με ακρίβεια — από τα ζάρια ως την πρόγνωση καιρού.

Δειγματικός χώρος και ενδεχόμενα

Ρίχνεις ένα ζάρι. Δεν ξέρεις τι θα φέρει, ξέρεις όμως όλα τα δυνατά αποτελέσματα. Αυτό είναι ένα πείραμα τύχης. Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων λέγεται δειγματικός χώρος $\Omega$ — για το ζάρι: $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ .

Ενδεχόμενο είναι κάθε υποσύνολο του $\Omega$ , π.χ. $A = \{2, 4, 6\}$ («φέρνουμε άρτιο»). Το ενδεχόμενο πραγματοποιείται όταν το αποτέλεσμα του πειράματος ανήκει σε αυτό.

Με πράξεις συνόλων φτιάχνουμε νέα ενδεχόμενα:

$A \cup B$ : πραγματοποιείται τουλάχιστον ένα από τα $A, B$ («ή»)
$A \cap B$ : πραγματοποιούνται και τα δύο («και»)
$A'$ : δεν πραγματοποιείται το $A$
$A - B$ : πραγματοποιείται το $A$ αλλά όχι το $B$

Αν $A \cap B = \varnothing$ , τα $A, B$ λέγονται ασυμβίβαστα — δεν μπορούν να συμβούν μαζί.

Ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας

Όταν τα απλά ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα (αμερόληπτο ζάρι, καλά ανακατεμένη τράπουλα), η πιθανότητα ενός ενδεχομένου $A$ είναι το πηλίκο:

$P(A) = \frac{N(A)}{N(\Omega)} = \frac{\text{πλήθος ευνοϊκών περιπτώσεων}}{\text{πλήθος δυνατών περιπτώσεων}}$

Για το «άρτιο» στο ζάρι: $P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ . Η πιθανότητα είναι το μερίδιο του $\Omega$ που καταλαμβάνει το $A$ — ένας αριθμός από το $0$ (αδύνατο ενδεχόμενο $\varnothing$ ) έως το $1$ (βέβαιο ενδεχόμενο $\Omega$ ).

Παράδειγμα: Ρίχνουμε δύο φορές ένα νόμισμα. Να βρεθεί ο δειγματικός χώρος και η πιθανότητα να φέρουμε: α) δύο κεφαλές, β) τουλάχιστον μία κεφαλή.

Λύση: Με $K$ την κεφαλή και $\Gamma$ τα γράμματα: $\Omega = \{KK, K\Gamma, \Gamma K, \Gamma\Gamma\}$ , δηλαδή $N(\Omega) = 4$ ισοπίθανα αποτελέσματα. Προσοχή: τα $K\Gamma$ και $\Gamma K$ είναι διαφορετικά αποτελέσματα (κεφαλή πρώτα ή δεύτερα).

α) $A = \{KK\}$ , άρα $P(A) = \frac{1}{4}$ .

β) Το «τουλάχιστον μία κεφαλή» είναι το συμπλήρωμα του «καμία κεφαλή» $= \{\Gamma\Gamma\}$ , άρα $P = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ .

Ήξερες ότι;

Η θεωρία πιθανοτήτων γεννήθηκε το 1654 από αλληλογραφία των Blaise Pascal και Pierre de Fermat πάνω σε ένα πρόβλημα τζόγου: πώς μοιράζεις δίκαια το ποσό ενός παιχνιδιού που διακόπηκε στη μέση. Κι ένα παράδοξο: σε μια ομάδα μόλις $23$ ατόμων, η πιθανότητα δύο να έχουν γενέθλια την ίδια μέρα είναι πάνω από 50%.

Γρήγορος έλεγχος

Τα ενδεχόμενα $A, B$ είναι ασυμβίβαστα με $P(A) = 0{,}3$ και $P(B) = 0{,}5$ . Πόσο είναι το $P(A \cup B)$ ;

Η πιθανότητα ως μέρος του όλου — δες το ενδεχόμενο να «γεμίζει» το ποσοστό του στον δειγματικό χώρο.

$0 \le P(A) \le 1, \qquad P(A') = 1 - P(A), \qquad P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Οι κανόνες λογισμού πιθανοτήτων

Απλός προσθετικός νόμος (ασυμβίβαστα $A, B$ ): $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
Προσθετικός νόμος (γενικά): $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ — αφαιρούμε την τομή γιατί αλλιώς τη μετράμε δύο φορές
Συμπλήρωμα: $P(A') = 1 - P(A)$ — συχνά είναι ευκολότερο να μετρήσεις το «αντίθετο»
Διαφορά: $P(A - B) = P(A) - P(A \cap B)$
Αν $A \subseteq B$ τότε $P(A) \le P(B)$

Με αυτά τα πέντε εργαλεία λύνεται κάθε άσκηση του κεφαλαίου — το ζητούμενο είναι πάντα να γράψεις το ζητούμενο ενδεχόμενο ως πράξη γνωστών ενδεχομένων.

Κόλπο μνήμης

Μετάφρασε τις λέξεις σε πράξεις. «ή» $\to$ ένωση $\to$ πρόσθεσε (και αφαίρεσε ό,τι μέτρησες δύο φορές, την τομή). «και» $\to$ τομή. «όχι» $\to$ συμπλήρωμα $\to$ «ένα μείον».

Μέθοδος: άσκηση πιθανοτήτων

Όρισε με γράμματα τα απλά ενδεχόμενα ( $A$ , $B$ ) και γράψε ό,τι δίνεται: $P(A)$ , $P(B)$ , $P(A \cap B)$ .
Μετάφρασε το ζητούμενο σε πράξη συνόλων: «ή» → $A \cup B$ , «και» → $A \cap B$ , «μόνο το $A$ » → $A - B$ , «κανένα» → $(A \cup B)'$ .
Εφάρμοσε τον κατάλληλο κανόνα: προσθετικό νόμο, συμπλήρωμα ή διαφορά.
Έλεγξε ότι κάθε αποτέλεσμα βρίσκεται στο $[0, 1]$ — αλλιώς κάπου υπάρχει λάθος.

Άσκηση: Σε μια τάξη 30 μαθητών, οι 18 μαθαίνουν αγγλικά, οι 12 γαλλικά και οι 5 και τις δύο γλώσσες. Επιλέγουμε τυχαία έναν μαθητή. Να βρείτε την πιθανότητα: α) να μαθαίνει τουλάχιστον μία γλώσσα, β) να μην μαθαίνει καμία.

Λύση: Έστω $A$ : «μαθαίνει αγγλικά», $B$ : «μαθαίνει γαλλικά». Τότε $P(A) = \frac{18}{30}$ , $P(B) = \frac{12}{30}$ , $P(A \cap B) = \frac{5}{30}$ .

α) «Τουλάχιστον μία» σημαίνει $A \cup B$ :

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{18}{30} + \frac{12}{30} - \frac{5}{30} = \frac{25}{30} = \frac{5}{6}$

β) «Καμία» είναι το συμπλήρωμα του (α):

$P\big((A \cup B)'\big) = 1 - P(A \cup B) = 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$

Γρήγορος έλεγχος

Ρίχνουμε ένα αμερόληπτο ζάρι. Ποια είναι η πιθανότητα να φέρουμε άρτιο αριθμό ή πολλαπλάσιο του 3;

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Για δύο ενδεχόμενα $A, B$ ενός δειγματικού χώρου είναι $P(A) = 0{,}5$ , $P(B) = 0{,}4$ και $P(A \cap B) = 0{,}2$ . Να βρεθεί η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί: α) ένα τουλάχιστον από τα $A, B$ , β) μόνο το $A$ , γ) κανένα από τα $A, B$ , δ) ακριβώς ένα από τα $A, B$ .

Λύση:

α) $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0{,}5 + 0{,}4 - 0{,}2 = 0{,}7$ .

β) $P(A - B) = P(A) - P(A \cap B) = 0{,}5 - 0{,}2 = 0{,}3$ .

γ) $P\big((A \cup B)'\big) = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0{,}7 = 0{,}3$ .

δ) «Ακριβώς ένα» είναι το «τουλάχιστον ένα» χωρίς το «και τα δύο»: $P(A \cup B) - P(A \cap B) = 0{,}7 - 0{,}2 = 0{,}5$ . Έλεγχος: $P(A - B) + P(B - A) = 0{,}3 + 0{,}2 = 0{,}5$ ✓

Απάντηση: α) $0{,}7$ , β) $0{,}3$ , γ) $0{,}3$ , δ) $0{,}5$ .

Γρήγορος έλεγχος

Μπορούν δύο ενδεχόμενα με $P(A) = 0{,}7$ και $P(B) = 0{,}6$ να είναι ασυμβίβαστα;

Πρόκληση

Ρίχνουμε δύο αμερόληπτα ζάρια. Ποια είναι η πιθανότητα το άθροισμα να είναι $7$ ή τουλάχιστον ένα ζάρι να φέρει $6$ ;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Ο δειγματικός χώρος έχει $6 \cdot 6 = 36$ ισοπίθανα ζεύγη.

$A$ : «άθροισμα $7$ » $= \{(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)\}$ , άρα $N(A) = 6$
$B$ : «τουλάχιστον ένα $6$ ». Το αντίθετο $B'$ είναι «κανένα $6$ », με $5 \cdot 5 = 25$ ζεύγη. Άρα $N(B) = 36 - 25 = 11$
$A \cap B = \{(1,6), (6,1)\}$ , άρα $N(A \cap B) = 2$

Από τον προσθετικό νόμο:

$P(A \cup B) = \frac{6}{36} + \frac{11}{36} - \frac{2}{36} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$

Απάντηση: $P = \frac{5}{12} \approx 0{,}42$ . Η παγίδα: αν ξεχάσεις να αφαιρέσεις την τομή, βρίσκεις $\frac{17}{36}$ .

Μετάφρασε ΠΑΝΤΑ τη γλώσσα της εκφώνησης σε πράξεις συνόλων πριν πιάσεις τύπους: «ή / τουλάχιστον ένα» → $\cup$ , «και» → $\cap$ , «δεν / κανένα» → συμπλήρωμα, «μόνο το $A$ » → $A - B$ . Και όταν βλέπεις «τουλάχιστον...», σκέψου πρώτα το συμπλήρωμα — σχεδόν πάντα μετριέται ευκολότερα. Ένα γρήγορο διάγραμμα Venn στο πρόχειρο προλαβαίνει το 90% των λαθών.

Συνηθισμένα λάθη

Προσθέτουν $P(A) + P(B)$ για ενδεχόμενα που δεν είναι ασυμβίβαστα, μετρώντας την τομή δύο φορές. Αφαίρεσε το $P(A \cap B)$ .
Μπερδεύουν τα «ασυμβίβαστα» ( $A \cap B = \varnothing$ ) με τα «συμπληρωματικά» ( $B = A'$ ). Τα συμπληρωματικά είναι ασυμβίβαστα, όχι όμως και αντίστροφα.
Εφαρμόζουν τον κλασικό ορισμό χωρίς ισοπίθανα αποτελέσματα — π.χ. μετρούν το «μία κεφαλή» στα δύο νομίσματα σαν ένα αποτέλεσμα, ενώ είναι δύο ( $K\Gamma$ και $\Gamma K$ ).
Δίνουν πιθανότητα έξω από το $[0, 1]$ χωρίς να το προσέξουν.

Σύνοψη — τι κρατάμε

$\Omega$ : όλα τα δυνατά αποτελέσματα· ενδεχόμενο = υποσύνολο του $\Omega$
Κλασικός ορισμός (ισοπίθανα αποτελέσματα): $P(A) = \frac{N(A)}{N(\Omega)}$ , με $0 \le P(A) \le 1$
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ — χωρίς την τομή όταν τα $A, B$ είναι ασυμβίβαστα
$P(A') = 1 - P(A)$ και $P(A - B) = P(A) - P(A \cap B)$
«ή» → $\cup$ , «και» → $\cap$ , «όχι» → συμπλήρωμα

Δειγματικός χώρος και ενδεχόμενα

\Omega

— για το ζάρι:

\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}

Ενδεχόμενο είναι κάθε υποσύνολο του

\Omega

, π.χ.

A = \{2, 4, 6\}

(«φέρνουμε άρτιο»). Το ενδεχόμενο πραγματοποιείται όταν το αποτέλεσμα του πειράματος ανήκει σε αυτό.

Με πράξεις συνόλων φτιάχνουμε νέα ενδεχόμενα:

A \cup B

: πραγματοποιείται τουλάχιστον ένα από τα

A, B

(«ή»)

A \cap B

: πραγματοποιούνται και τα δύο («και»)

A'

: δεν πραγματοποιείται το

A

A - B

: πραγματοποιείται το

A

αλλά όχι το

B

Αν

A \cap B = \varnothing

, τα

A, B

λέγονται ασυμβίβαστα — δεν μπορούν να συμβούν μαζί.