🪜

Ακολουθίες

Γενικός όρος, αναδρομικός ορισμός, γραφική παράσταση

Ποιος αριθμός ακολουθεί: $1, 2, 4, 8, 16, \ldots$ ;

Αν είπες $32$ , ίσως κάνεις λάθος! Βάλε σημεία πάνω σε έναν κύκλο και ένωσέ τα όλα μεταξύ τους: με $1, 2, 3, 4, 5$ σημεία ο κύκλος χωρίζεται (το πολύ) σε $1, 2, 4, 8, 16$ κομμάτια — αλλά με $6$ σημεία σε $31$ , όχι $32$ . Το δίδαγμα: λίγοι όροι δεν ορίζουν μια ακολουθία· χρειάζεσαι κανόνα.

Τι είναι ακολουθία — αριθμοί στη σειρά, με κανόνα

Σκέψου μια λίστα αριθμών όπου κάθε αριθμός έχει θέση: 1ος όρος, 2ος όρος, 3ος όρος... Αυστηρά, ακολουθία λέγεται κάθε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο των θετικών ακεραίων $\mathbb{N}^* = \{1, 2, 3, \dots\}$ .

Αντί για $f(1), f(2), f(3), \dots$ γράφουμε $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \dots$ και τη συμβολίζουμε $(\alpha_\nu)$ . Ο $\alpha_1$ λέγεται πρώτος όρος, ενώ ο $\alpha_\nu$ λέγεται γενικός ή ν-οστός όρος — ο «τύπος» που δίνει οποιονδήποτε όρο αν ξέρεις τη θέση του.

Παράδειγμα: η ακολουθία με γενικό όρο $\alpha_\nu = 2\nu - 1$ είναι οι περιττοί αριθμοί $1, 3, 5, 7, \dots$ — βάζεις $\nu = 4$ και παίρνεις αμέσως $\alpha_4 = 7$ , χωρίς να χρειάζεσαι τους προηγούμενους όρους.

Κόλπο μνήμης

Φαντάσου μια ουρά στο κυλικείο. Ο δείκτης $\nu$ είναι η θέση στην ουρά (1ος, 2ος, …)· ο $\alpha_\nu$ είναι τι κρατάει αυτός που στέκεται εκεί. Η ερώτηση «είναι το $\kappa$ όρος;» σημαίνει: «υπάρχει θέση $\nu \in \mathbb{N}^*$ που κρατάει το $\kappa$ ;»

Γρήγορος έλεγχος

Αν $\alpha_\nu = \nu^2 + 1$ , ποιος είναι ο όρος $\alpha_5$ ;

Μέθοδος: «Είναι ο αριθμός $\kappa$ όρος της ακολουθίας;»

Γράψε την εξίσωση $\alpha_\nu = \kappa$ με άγνωστο το $\nu$ .
Λύσε την.
Αν βγει $\nu$ θετικός ακέραιος, ο $\kappa$ είναι ο $\nu$ -οστός όρος. Αν βγει κλάσμα ή αρνητικός, ή αν η εξίσωση είναι αδύνατη, ο $\kappa$ δεν είναι όρος.

Παράδειγμα: Δίνεται η ακολουθία $\alpha_\nu = \frac{2\nu - 1}{\nu + 1}$ . α) Να βρεθούν οι τρεις πρώτοι όροι της. β) Είναι ο $\frac{19}{11}$ όρος της; γ) Είναι ο $2$ όρος της;

Λύση: α) $\alpha_1 = \frac{1}{2}$ , $\alpha_2 = \frac{3}{3} = 1$ , $\alpha_3 = \frac{5}{4}$ .

β) $\frac{2\nu - 1}{\nu + 1} = \frac{19}{11} \iff 11(2\nu - 1) = 19(\nu + 1) \iff 22\nu - 11 = 19\nu + 19 \iff 3\nu = 30 \iff \nu = 10$ . Ναι, είναι ο $10$ ός όρος.

γ) $\frac{2\nu - 1}{\nu + 1} = 2 \iff 2\nu - 1 = 2\nu + 2 \iff -1 = 2$ , αδύνατο. Ο $2$ δεν είναι όρος της ακολουθίας.

Γρήγορος έλεγχος

Δίνεται $\alpha_\nu = 3\nu + 2$ . Ποιος όρος της ακολουθίας ισούται με $50$ ;

Αναδρομικός ορισμός — κάθε όρος από τους προηγούμενους

Μια ακολουθία δεν ορίζεται πάντα με τύπο $\alpha_\nu = f(\nu)$ . Συχνά ορίζεται αναδρομικά: δίνεται ένας ή περισσότεροι αρχικοί όροι και ένας αναδρομικός τύπος που εκφράζει κάθε όρο μέσω προηγούμενων.

Παράδειγμα: $\alpha_1 = 2$ και $\alpha_{\nu+1} = 3\alpha_\nu - 1$ . Χτίζουμε αλυσιδωτά:

$\alpha_2 = 3\alpha_1 - 1 = 3 \cdot 2 - 1 = 5$
$\alpha_3 = 3\alpha_2 - 1 = 3 \cdot 5 - 1 = 14$
$\alpha_4 = 3\alpha_3 - 1 = 3 \cdot 14 - 1 = 41$

Για να βρεις τον $\alpha_{10}$ πρέπει να περάσεις από όλους τους ενδιάμεσους — αυτό είναι το «κόστος» της αναδρομής. Η διάσημη ακολουθία Fibonacci ορίζεται με δύο αρχικούς όρους: $\alpha_1 = \alpha_2 = 1$ και $\alpha_{\nu+2} = \alpha_{\nu+1} + \alpha_\nu$ , δίνοντας $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \dots$

Οι πιο σημαντικές αναδρομικές ακολουθίες της ύλης είναι η αριθμητική πρόοδος ( $\alpha_{\nu+1} = \alpha_\nu + \omega$ ) και η γεωμετρική πρόοδος ( $\alpha_{\nu+1} = \alpha_\nu \cdot \lambda$ ).

$\alpha_\nu = f(\nu) \ \text{(γενικός όρος)} \qquad \text{ή} \qquad \alpha_1 = c, \ \ \alpha_{\nu+1} = g(\alpha_\nu) \ \text{(αναδρομικός ορισμός)}$

Ανέβα τα σκαλιά όρο-όρο — θα ανακαλύψεις πώς ο αναδρομικός τύπος χτίζει κάθε σκαλί πατώντας στο προηγούμενο, ενώ ο γενικός όρος σε τηλεμεταφέρει κατευθείαν στο ν-οστό.

Ήξερες ότι;

Η ακολουθία $1, 1, 2, 3, 5, 8, \ldots$ φέρει το όνομα του Fibonacci επειδή εμφανίστηκε στο βιβλίο του Liber Abaci (1202), ως λύση ενός προβλήματος με κουνέλια που πολλαπλασιάζονται κάθε μήνα. Υπάρχει σήμερα και μια ολόκληρη διαδικτυακή «εγκυκλοπαίδεια ακολουθιών» (OEIS) με εκατοντάδες χιλιάδες καταγεγραμμένες ακολουθίες.

Γρήγορος έλεγχος

Δίνεται $\alpha_1 = 1$ και $\alpha_{\nu+1} = 2\alpha_\nu + 3$ . Ποιος είναι ο $\alpha_3$ ;

Παράδειγμα: Να βρεθεί ένας γενικός όρος για καθεμιά από τις ακολουθίες: α) $3, 7, 11, 15, \ldots$ β) $1, 4, 9, 16, \ldots$ γ) $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \ldots$ δ) $\alpha_1 = 5$ , $\alpha_{\nu+1} = \alpha_\nu + 3$ .

Λύση: α) Κάθε όρος είναι κατά $4$ μεγαλύτερος από τον προηγούμενο: $\alpha_\nu = 4\nu - 1$ (έλεγχος: $\alpha_1 = 3$ , $\alpha_4 = 15$ ✓).

β) Τα τετράγωνα των θέσεων: $\alpha_\nu = \nu^2$ .

γ) Οι παρονομαστές είναι δυνάμεις του $2$ : $\alpha_\nu = \frac{1}{2^\nu}$ .

δ) Γράφουμε τους πρώτους όρους: $5, 8, 11, 14, \ldots$ — ξεκινά από το $5$ και προσθέτει $3$ κάθε φορά, άρα $\alpha_\nu = 5 + 3(\nu - 1) = 3\nu + 2$ .

Προσοχή: από λίγους όρους ο γενικός όρος μαντεύεται, δεν αποδεικνύεται — γι' αυτό ελέγχουμε πάντα ότι δίνει όλους τους δοσμένους όρους.

Γραφική παράσταση ακολουθίας — τελείες, όχι γραμμή

Η ακολουθία είναι συνάρτηση με πεδίο ορισμού το $\mathbb{N}^*$ . Άρα η γραφική της παράσταση είναι τα σημεία $(\nu, \alpha_\nu)$ για $\nu = 1, 2, 3, \dots$ — μεμονωμένες τελείες, μία πάνω από κάθε θετικό ακέραιο του οριζόντιου άξονα.

Δεν τα ενώνουμε με γραμμή: δεν υπάρχει «όρος στη θέση $2{,}5$ ». Για την $\alpha_\nu = 2\nu - 1$ σχεδιάζουμε τα σημεία $(1, 1), (2, 3), (3, 5), (4, 7), \dots$ — βρίσκονται πάνω σε μια νοητή ευθεία, αλλά η γραφική παράσταση είναι μόνο οι τελείες.

Από το σχήμα διαβάζεται αμέσως η συμπεριφορά: αν τα σημεία ανεβαίνουν, η ακολουθία είναι αύξουσα ( $\alpha_{\nu+1} > \alpha_\nu$ )· αν κατεβαίνουν, φθίνουσα.

Γρήγορος έλεγχος

Πώς μοιάζει η γραφική παράσταση μιας ακολουθίας;

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Δίνεται η ακολουθία με $\alpha_1 = 1$ και $\alpha_{\nu+1} = \alpha_\nu + 2\nu$ .

α) Να βρεθούν οι όροι $\alpha_2$ , $\alpha_3$ , $\alpha_4$ .

β) Να δειχθεί ότι η ακολουθία $\beta_\nu = \nu^2 - \nu + 1$ έχει τον ίδιο πρώτο όρο και ικανοποιεί τον ίδιο αναδρομικό τύπο.

γ) Να υπολογιστεί ο $\alpha_{20}$ .

Λύση:

α) $\alpha_2 = \alpha_1 + 2 \cdot 1 = 3$ , $\alpha_3 = \alpha_2 + 2 \cdot 2 = 7$ , $\alpha_4 = \alpha_3 + 2 \cdot 3 = 13$ .

β) $\beta_1 = 1 - 1 + 1 = 1 = \alpha_1$ . Επίσης

$\beta_{\nu+1} = (\nu + 1)^2 - (\nu + 1) + 1 = \nu^2 + \nu + 1 = (\nu^2 - \nu + 1) + 2\nu = \beta_\nu + 2\nu$

γ) Οι δύο ακολουθίες ξεκινούν από τον ίδιο όρο και «χτίζονται» με τον ίδιο κανόνα, άρα συμπίπτουν όρο-όρο: $\alpha_\nu = \nu^2 - \nu + 1$ . Επομένως $\alpha_{20} = 400 - 20 + 1 = 381$ — χωρίς να περάσουμε από τους ενδιάμεσους όρους.

Απάντηση: α) $3, 7, 13$ , β) αποδείχθηκε, γ) $\alpha_{20} = 381$ .

Πρόκληση

Δίνεται $\alpha_1 = 1$ και $\alpha_{\nu+1} = \alpha_\nu + 2\nu + 1$ . Βρες τον $\alpha_{100}$ χωρίς να υπολογίσεις και τους $99$ προηγούμενους.

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Γράψε τους πρώτους όρους: $\alpha_2 = 1 + 3 = 4$ , $\ \alpha_3 = 4 + 5 = 9$ , $\ \alpha_4 = 9 + 7 = 16$ . Είναι τα τέλεια τετράγωνα! Υποψία: $\alpha_\nu = \nu^2$ .

Επαλήθευση ότι ο τύπος ικανοποιεί τον αναδρομικό ορισμό:

$\alpha_1 = 1^2 = 1$ ✓
$(\nu + 1)^2 = \nu^2 + 2\nu + 1$ , δηλαδή $\alpha_{\nu+1} = \alpha_\nu + 2\nu + 1$ ✓

Αφού ο αναδρομικός ορισμός καθορίζει μονοσήμαντα όλους τους όρους, και η $\nu^2$ τον ικανοποιεί, είναι $\alpha_\nu = \nu^2$ .

Απάντηση: $\alpha_{100} = 100^2 = 10000$ . Κρυφό μάθημα: το άθροισμα των πρώτων $\nu$ περιττών είναι $\nu^2$ .

Όταν σου δίνουν αναδρομικό τύπο, γράψε αμέσως τους 3-4 πρώτους όρους — σχεδόν πάντα αποκαλύπτουν το μοτίβο. Και πρόσεχε τη διάκριση: ο γενικός όρος $\alpha_\nu = f(\nu)$ εξαρτάται από τη θέση, ο αναδρομικός από τους προηγούμενους όρους. Στις προόδους θα δεις και τα δύο πρόσωπα της ίδιας ακολουθίας: $\alpha_{\nu+1} = \alpha_\nu + \omega$ (αναδρομικά) και $\alpha_\nu = \alpha_1 + (\nu - 1)\omega$ (γενικός όρος).

Συνηθισμένα λάθη

Μπερδεύουν θέση και τιμή: ο $\alpha_5$ είναι ο όρος στη θέση $5$ , όχι ο αριθμός $5$ .
Στον αναδρομικό τύπο «πηδούν» όρους: για τον $\alpha_3$ χρειάζεται πρώτα ο $\alpha_2$ .
Δέχονται μη ακέραιο $\nu$ και λένε ότι ο αριθμός «είναι όρος». Το $\nu$ πρέπει να ανήκει στο $\mathbb{N}^*$ .
Ενώνουν με γραμμή τα σημεία της γραφικής παράστασης. Η ακολουθία ορίζεται μόνο στους θετικούς ακεραίους.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Ακολουθία: συνάρτηση με πεδίο ορισμού το $\mathbb{N}^* = \{1, 2, 3, \ldots\}$ , με όρους $\alpha_1, \alpha_2, \ldots$
Γενικός όρος $\alpha_\nu = f(\nu)$ : δίνει απευθείας κάθε όρο από τη θέση του
Αναδρομικός ορισμός: αρχικός όρος και κανόνας $\alpha_{\nu+1} = g(\alpha_\nu)$
Ο $\kappa$ είναι όρος $\iff$ η $\alpha_\nu = \kappa$ έχει λύση $\nu \in \mathbb{N}^*$
Γραφική παράσταση: μεμονωμένα σημεία $(\nu, \alpha_\nu)$

Τι είναι ακολουθία — αριθμοί στη σειρά, με κανόνα

\mathbb{N}^* = \{1, 2, 3, \dots\}

Αντί για

f(1), f(2), f(3), \dots

γράφουμε

\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \dots

και τη συμβολίζουμε

(\alpha_\nu)

. Ο

\alpha_1

λέγεται πρώτος όρος, ενώ ο

\alpha_\nu

λέγεται γενικός ή ν-οστός όρος — ο «τύπος» που δίνει οποιονδήποτε όρο αν ξέρεις τη θέση του.

Παράδειγμα: η ακολουθία με γενικό όρο

\alpha_\nu = 2\nu - 1

είναι οι περιττοί αριθμοί

1, 3, 5, 7, \dots

— βάζεις

\nu = 4

και παίρνεις αμέσως

\alpha_4 = 7

, χωρίς να χρειάζεσαι τους προηγούμενους όρους.

Ακολουθίες

Ποιος αριθμός ακολουθεί: 1,2,4,8,16,…1, 2, 4, 8, 16, \ldots1,2,4,8,16,…;

Τι είναι ακολουθία — αριθμοί στη σειρά, με κανόνα

Μέθοδος: «Είναι ο αριθμός κ\kappaκ όρος της ακολουθίας;»

Αναδρομικός ορισμός — κάθε όρος από τους προηγούμενους

Γραφική παράσταση ακολουθίας — τελείες, όχι γραμμή

Ακολουθίες

Ποιος αριθμός ακολουθεί: 1,2,4,8,16,…1, 2, 4, 8, 16, \ldots1,2,4,8,16,…;

Τι είναι ακολουθία — αριθμοί στη σειρά, με κανόνα

Μέθοδος: «Είναι ο αριθμός κ\kappaκ όρος της ακολουθίας;»

Αναδρομικός ορισμός — κάθε όρος από τους προηγούμενους

Γραφική παράσταση ακολουθίας — τελείες, όχι γραμμή

Ποιος αριθμός ακολουθεί: $1, 2, 4, 8, 16, \ldots$ ;

Μέθοδος: «Είναι ο αριθμός $\kappa$ όρος της ακολουθίας;»

Ποιος αριθμός ακολουθεί: $1, 2, 4, 8, 16, \ldots$ ;

Μέθοδος: «Είναι ο αριθμός $\kappa$ όρος της ακολουθίας;»