🪜

Αριθμητική Πρόοδος

Διαφορά ω, ν-οστός όρος, άθροισμα Sν

Πόσα θα μαζέψεις σε έναν χρόνο;

Βάζεις στον κουμπαρά $1$ € την 1η εβδομάδα, $2$ € τη 2η, $3$ € την 3η και ούτω καθεξής. Στο τέλος των $52$ εβδομάδων έχεις… $1378$ €! Δεν χρειάζεται να προσθέσεις $52$ αριθμούς ένα-ένα: η αριθμητική πρόοδος σου δίνει το άθροισμα με έναν τύπο.

Ακολουθίες & Αριθμητική Πρόοδος

Μια ακολουθία είναι μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού τους φυσικούς $\nu = 1, 2, 3, \ldots$ — δηλαδή μια αριθμημένη λίστα: $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \ldots$

Μια ακολουθία είναι αριθμητική πρόοδος όταν κάθε όρος προκύπτει από τον προηγούμενο προσθέτοντας τον ίδιο σταθερό αριθμό $\omega$ . Αυτός ο αριθμός λέγεται διαφορά της προόδου:

$\alpha_{\nu + 1} = \alpha_\nu + \omega \iff \alpha_{\nu + 1} - \alpha_\nu = \omega$

Παράδειγμα: η $3, 7, 11, 15, \ldots$ είναι αριθμητική πρόοδος με $\alpha_1 = 3$ και $\omega = 4$ . Αν $\omega > 0$ η πρόοδος «ανεβαίνει», αν $\omega < 0$ «κατεβαίνει», αν $\omega = 0$ είναι σταθερή.

Η αριθμητική πρόοδος είναι σκάλα με ίσα σκαλοπάτια: κάθε βήμα προσθέτει ακριβώς ω.

Ο ν-οστός όρος

Για να φτάσεις από τον $\alpha_1$ στον $\alpha_\nu$ κάνεις $\nu - 1$ βήματα, και κάθε βήμα προσθέτει $\omega$ . Άρα ο γενικός όρος βρίσκεται αμέσως — δεν χρειάζεται να γράψεις όλους τους ενδιάμεσους!

Αριθμητικός μέσος

Τρεις αριθμοί $\alpha, \beta, \gamma$ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν ο μεσαίος είναι ο αριθμητικός μέσος των άλλων δύο:

$\beta = \frac{\alpha + \gamma}{2} \iff 2\beta = \alpha + \gamma$

Κόλπο μνήμης

Γιατί $\nu - 1$ και όχι $\nu$ ; Σκέψου έναν φράχτη: $10$ κολόνες έχουν ανάμεσά τους $9$ κενά. Για να πας από τον 1ο όρο στον 10ο κάνεις 9 βήματα των $\omega$ : $\ \alpha_{10} = \alpha_1 + 9\omega$ .

Γρήγορος έλεγχος

Οι αριθμοί $x$ , $7$ , $12$ είναι, με αυτή τη σειρά, διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Ποιος είναι ο $x$ ;

$\alpha_\nu = \alpha_1 + (\nu - 1)\omega \qquad S_\nu = \frac{\nu}{2}\left(\alpha_1 + \alpha_\nu\right) = \frac{\nu}{2}\left[2\alpha_1 + (\nu - 1)\omega\right]$

Το κόλπο του Gauss για το Sν

Γιατί ισχύει ο τύπος του αθροίσματος; Γράψε το άθροισμα δύο φορές, μία κανονικά και μία ανάποδα:

$S_\nu = \alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_\nu$

$S_\nu = \alpha_\nu + \alpha_{\nu-1} + \cdots + \alpha_1$

Προσθέτοντας κατά στήλες, κάθε ζευγάρι δίνει $\alpha_1 + \alpha_\nu$ (ό,τι χάνει ο ένας το κερδίζει ο άλλος!). Έχουμε $\nu$ τέτοια ζευγάρια, άρα $2S_\nu = \nu(\alpha_1 + \alpha_\nu)$ . Έτσι ο μικρός Gauss πρόσθεσε τους αριθμούς $1$ έως $100$ σε δευτερόλεπτα: $S_{100} = \frac{100}{2}(1 + 100) = 5050$ .

Ήξερες ότι;

Οι Πυθαγόρειοι έφτιαχναν αθροίσματα $1 + 2 + 3 + \cdots$ με βότσαλα σε τρίγωνο και τα έλεγαν «τρίγωνους αριθμούς». Το $1 + 2 + 3 + 4 = 10$ , η «τετρακτύς», ήταν για αυτούς ιερό σύμβολο — πάνω της έδιναν ακόμη και όρκο.

Μέθοδος: ασκήσεις αριθμητικής προόδου

Είναι αριθμητική πρόοδος; Υπολόγισε τη διαφορά $\alpha_{\nu+1} - \alpha_\nu$ . Αν βγαίνει σταθερή (ανεξάρτητη του $\nu$ ), η ακολουθία είναι αριθμητική πρόοδος με αυτή τη διαφορά $\omega$ .
Δίνονται δύο όροι: γράψε τον καθένα ως $\alpha_1 + (\nu - 1)\omega$ και λύσε το σύστημα ως προς $\alpha_1, \omega$ .
Είναι ο $\kappa$ όρος της; Λύσε την $\alpha_\nu = \kappa$ ως προς $\nu$ . Είναι όρος μόνο αν το $\nu$ βγει θετικός ακέραιος.
Άθροισμα: αν ξέρεις τον τελευταίο όρο, χρησιμοποίησε το $S_\nu = \frac{\nu}{2}(\alpha_1 + \alpha_\nu)$ , αλλιώς το $S_\nu = \frac{\nu}{2}[2\alpha_1 + (\nu - 1)\omega]$ .

Παράδειγμα: Δίνεται η ακολουθία $\alpha_\nu = 5 - 3\nu$ . α) Να δειχθεί ότι είναι αριθμητική πρόοδος. β) Ποιος όρος της ισούται με $-40$ ; γ) Είναι ο $-50$ όρος της;

Λύση: α) $\alpha_{\nu+1} - \alpha_\nu = [5 - 3(\nu + 1)] - (5 - 3\nu) = 5 - 3\nu - 3 - 5 + 3\nu = -3$ , σταθερό. Άρα είναι αριθμητική πρόοδος με $\omega = -3$ και $\alpha_1 = 5 - 3 = 2$ .

β) $5 - 3\nu = -40 \iff 3\nu = 45 \iff \nu = 15$ : είναι ο $15$ ος όρος.

γ) $5 - 3\nu = -50 \iff 3\nu = 55 \iff \nu = \frac{55}{3}$ , που δεν είναι ακέραιος. Άρα ο $-50$ δεν είναι όρος της προόδου.

Παράδειγμα: Σε αριθμητική πρόοδο είναι $\alpha_3 = 11$ και $\alpha_7 = 23$ . Να βρεθούν τα $\alpha_1, \omega$ και το $S_{20}$ .

Λύση: Από τον γενικό όρο: $\alpha_3 = \alpha_1 + 2\omega = 11$ και $\alpha_7 = \alpha_1 + 6\omega = 23$ . Αφαιρώντας: $4\omega = 12 \Rightarrow \omega = 3$ , οπότε $\alpha_1 = 11 - 2 \cdot 3 = 5$ .

Για το άθροισμα: $S_{20} = \frac{20}{2}\left[2 \cdot 5 + 19 \cdot 3\right] = 10(10 + 57) = 10 \cdot 67 = 670$ ✓

Παράδειγμα: Πόσους πρώτους όρους της αριθμητικής προόδου $2, 5, 8, \ldots$ πρέπει να προσθέσουμε για να βρούμε άθροισμα $155$ ;

Λύση: Είναι $\alpha_1 = 2$ και $\omega = 3$ . Θέλουμε $S_\nu = 155$ :

$\frac{\nu}{2}\left[2 \cdot 2 + (\nu - 1) \cdot 3\right] = 155 \iff \nu(3\nu + 1) = 310 \iff 3\nu^2 + \nu - 310 = 0$

Είναι $\Delta = 1 + 3720 = 3721 = 61^2$ , άρα $\nu = \frac{-1 \pm 61}{6}$ , δηλαδή $\nu = 10$ ή $\nu = -\frac{31}{3}$ , που απορρίπτεται αφού το $\nu$ είναι θετικός ακέραιος.

Χρειάζονται $10$ όροι. Έλεγχος: $\alpha_{10} = 2 + 9 \cdot 3 = 29$ και $S_{10} = \frac{10}{2}(2 + 29) = 155$ ✓

Γρήγορος έλεγχος

Σε αριθμητική πρόοδο με $\alpha_1 = 5$ και $\omega = 3$ , ποιος είναι ο $\alpha_{10}$ ;

Γρήγορος έλεγχος

Πόσο κάνει το άθροισμα $1 + 3 + 5 + \cdots + 19$ ;

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Οι αριθμοί $x - 1$ , $2x$ , $4x - 3$ είναι, με αυτή τη σειρά, οι τρεις πρώτοι όροι αριθμητικής προόδου.

α) Να βρεθεί ο $x$ .

β) Να βρεθεί ο γενικός όρος $\alpha_\nu$ της προόδου.

γ) Να υπολογιστεί το άθροισμα $S_{20}$ .

δ) Να υπολογιστεί το άθροισμα $\alpha_{11} + \alpha_{12} + \cdots + \alpha_{20}$ .

Λύση:

α) Ο μεσαίος όρος είναι αριθμητικός μέσος των άλλων δύο: $2 \cdot 2x = (x - 1) + (4x - 3) \iff 4x = 5x - 4 \iff x = 4$ . Οι όροι είναι $3, 8, 13$ .

β) $\alpha_1 = 3$ και $\omega = 8 - 3 = 5$ , άρα $\alpha_\nu = 3 + (\nu - 1) \cdot 5 = 5\nu - 2$ .

γ) $S_{20} = \frac{20}{2}\left[2 \cdot 3 + 19 \cdot 5\right] = 10(6 + 95) = 1010$ .

δ) Το ζητούμενο είναι οι $20$ πρώτοι όροι χωρίς τους $10$ πρώτους: $S_{10} = \frac{10}{2}\left[6 + 9 \cdot 5\right] = 5 \cdot 51 = 255$ , άρα $S_{20} - S_{10} = 1010 - 255 = 755$ .

Απάντηση: α) $x = 4$ , β) $\alpha_\nu = 5\nu - 2$ , γ) $S_{20} = 1010$ , δ) $755$ .

Πρόκληση

Οι γωνίες ενός τριγώνου σχηματίζουν αριθμητική πρόοδο. α) Δείξε ότι μία από αυτές είναι οπωσδήποτε $60^\circ$ . β) Αν η μικρότερη γωνία είναι $30^\circ$ , βρες τις άλλες δύο.

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

α) Το «κόλπο» είναι να ονομάσεις τις γωνίες συμμετρικά γύρω από τη μεσαία: $\ \alpha - \omega, \ \alpha, \ \alpha + \omega$ . Το άθροισμα γωνιών τριγώνου είναι $180^\circ$ :

$(\alpha - \omega) + \alpha + (\alpha + \omega) = 180^\circ \iff 3\alpha = 180^\circ \iff \alpha = 60^\circ$

Τα $\omega$ απλοποιήθηκαν — η μεσαία γωνία είναι πάντα $60^\circ$ , όποια κι αν είναι η διαφορά.

β) $\alpha - \omega = 30^\circ$ με $\alpha = 60^\circ$ δίνει $\omega = 30^\circ$ , άρα η τρίτη γωνία είναι $60^\circ + 30^\circ = 90^\circ$ .

Απάντηση: β) $60^\circ$ και $90^\circ$ — ορθογώνιο τρίγωνο! Έλεγχος: $30 + 60 + 90 = 180$ ✓

Στις ασκήσεις «δίνονται δύο όροι»: γράψε ΚΑΘΕ δεδομένο όρο ως $\alpha_1 + (\nu-1)\omega$ και λύσε το σύστημα — βγαίνει πάντα με αφαίρεση. Και έλεγχος-αστραπή αν μια ακολουθία είναι αριθμητική πρόοδος: η διαφορά $\alpha_{\nu+1} - \alpha_\nu$ πρέπει να είναι σταθερή, ανεξάρτητη του $\nu$ .

Συνηθισμένα λάθη

Γράφουν $\alpha_\nu = \alpha_1 + \nu\omega$ αντί για $\alpha_1 + (\nu - 1)\omega$ . Από τον 1ο στον $\nu$ -οστό όρο γίνονται $\nu - 1$ βήματα.
Ξεχνούν το $\frac{\nu}{2}$ στο άθροισμα ή βάζουν $\frac{1}{2}$ στη θέση του.
Δέχονται μη ακέραιο ή αρνητικό $\nu$ ως «θέση» όρου. Το $\nu$ είναι πάντα θετικός ακέραιος.
Για το άθροισμα από τον $\alpha_{11}$ ως τον $\alpha_{20}$ υπολογίζουν $S_{20} - S_{11}$ . Σωστό είναι $S_{20} - S_{10}$ , αλλιώς χάνεται ο $\alpha_{11}$ .

Σύνοψη — τι κρατάμε

Αριθμητική πρόοδος: $\alpha_{\nu+1} - \alpha_\nu = \omega$ σταθερό
Γενικός όρος: $\alpha_\nu = \alpha_1 + (\nu - 1)\omega$
Οι $\alpha, \beta, \gamma$ είναι διαδοχικοί όροι $\iff 2\beta = \alpha + \gamma$
$S_\nu = \frac{\nu}{2}(\alpha_1 + \alpha_\nu) = \frac{\nu}{2}[2\alpha_1 + (\nu - 1)\omega]$
Ο $\kappa$ είναι όρος μόνο αν η $\alpha_\nu = \kappa$ δίνει $\nu \in \mathbb{N}^*$

Ακολουθίες & Αριθμητική Πρόοδος

Μια ακολουθία είναι μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού τους φυσικούς

\nu = 1, 2, 3, \ldots

— δηλαδή μια αριθμημένη λίστα:

\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \ldots

Μια ακολουθία είναι αριθμητική πρόοδος όταν κάθε όρος προκύπτει από τον προηγούμενο προσθέτοντας τον ίδιο σταθερό αριθμό

\omega

. Αυτός ο αριθμός λέγεται διαφορά της προόδου:

\alpha_{\nu + 1} = \alpha_\nu + \omega \iff \alpha_{\nu + 1} - \alpha_\nu = \omega

Παράδειγμα: η

3, 7, 11, 15, \ldots

είναι αριθμητική πρόοδος με

\alpha_1 = 3

και

\omega = 4

. Αν

\omega > 0

η πρόοδος «ανεβαίνει», αν

\omega < 0

«κατεβαίνει», αν

\omega = 0

είναι σταθερή.