🥇

Σύγκριση & Διάταξη Κλασμάτων

Ποιο κλάσμα είναι μεγαλύτερο; Κόλπα με ομώνυμα, το μισό και τη μονάδα

Ποια σοκολάτα είναι πιο «σκούρα»;

Η μία σοκολάτα γράφει ότι τα $\frac{3}{4}$ της είναι κακάο, η άλλη ότι είναι τα $\frac{7}{10}$ . Ποια έχει περισσότερο κακάο; Δεν φαίνεται με μια ματιά — οι παρονομαστές είναι διαφορετικοί! Σε αυτό το μάθημα μαζεύεις κόλπα για να συγκρίνεις οποιαδήποτε κλάσματα γρήγορα και σίγουρα.

Τι μετράει ένα κλάσμα — μια θύμηση 🍫

Το κλάσμα $\frac{3}{4}$ λέει: κόβω τη μονάδα σε $4$ ίσα κομμάτια και παίρνω τα $3$ . Κάθε κομμάτι, το $\frac{1}{4}$ , λέγεται κλασματική μονάδα — το «τούβλο» από το οποίο χτίζονται όλα τα κλάσματα.

Και όταν θέλω κλάσμα μιας ποσότητας; Τα $\frac{3}{4}$ των $20$ ευρώ: διαιρώ με τον παρονομαστή και πολλαπλασιάζω με τον αριθμητή:

$20 : 4 = 5, \quad 5 \times 3 = 15 \text{ ευρώ}$

Σύγκριση: οι δύο εύκολες περιπτώσεις ⚔️

Ίδιος παρονομαστής (ομώνυμα): ίδια κομμάτια, μετράω ποιος έχει περισσότερα → $\frac{5}{8} > \frac{3}{8}$
Ίδιος αριθμητής: ίδιο πλήθος κομματιών, αλλά όσο πιο πολλά κομμάτια κόβεις την πίτσα, τόσο πιο μικρό το καθένα → $\frac{2}{3} > \frac{2}{5}$

Προσοχή στη δεύτερη: ο μικρότερος παρονομαστής δίνει το μεγαλύτερο κλάσμα!

Κόλπο μνήμης

για ίδιο αριθμητή σκέψου μια τούρτα γενεθλίων: όσο περισσότεροι οι καλεσμένοι (παρονομαστής), τόσο μικρότερο το κομμάτι σου. Γι' αυτό $\frac{1}{8} < \frac{1}{5}$ .

Σύγκρινε τις μπάρες των κλασμάτων — θα ανακαλύψεις ότι το 2/3 σκεπάζει περισσότερη μπάρα από το 2/5: ίδια κομμάτια, αλλά τα τρίτα είναι πιο χοντρά από τα πέμπτα!

Ετερώνυμα; Τα κάνω ομώνυμα! 🔄

Όταν διαφέρουν και οι δύο όροι, μετατρέπω τα κλάσματα σε ομώνυμα με κοινό παρονομαστή το ΕΚΠ των παρονομαστών.

Σύγκριση $\frac{3}{4}$ και $\frac{5}{6}$ : ΕΚΠ $(4, 6) = 12$

$\frac{3}{4} = \frac{9}{12} \qquad \frac{5}{6} = \frac{10}{12}$

Άρα $\frac{5}{6} > \frac{3}{4}$ . Τώρα που μιλούν την ίδια «γλώσσα», η σύγκριση είναι παιχνιδάκι!

Ήξερες ότι;

Ανάμεσα σε δύο κλάσματα χωράει πάντα κι άλλο κλάσμα! Ανάμεσα στο $\frac{1}{3} = \frac{4}{12}$ και στο $\frac{1}{2} = \frac{6}{12}$ βρίσκεται το $\frac{5}{12}$ . Κάν' τα εικοστά τέταρτα ( $\frac{8}{24}$ και $\frac{12}{24}$ ) και βρίσκεις κι άλλα: $\frac{9}{24}, \frac{10}{24}, \frac{11}{24}$ . Όσο πιο ψιλά κόβεις, τόσο περισσότερα βρίσκεις — άπειρα!

Γρήγορα κόλπα: το $\frac{1}{2}$ και το $1$ ⚡

Σύγκριση με το μισό: το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από $\frac{1}{2}$ όταν ο αριθμητής ξεπερνά τον μισό παρονομαστή. Το $\frac{4}{7}$ ; Μισό του $7$ είναι $3{,}5$ και $4 > 3{,}5$ → ναι!
Σύγκριση με τη μονάδα: αριθμητής μικρότερος από παρονομαστή → κλάσμα $< 1$ · ίσοι → ίσο με $1$ · μεγαλύτερος → $> 1$

Έτσι βάζω σε σειρά χωρίς πράξεις: το $\frac{3}{8}$ (κάτω από μισό) είναι σίγουρα μικρότερο από το $\frac{5}{9}$ (πάνω από μισό)!

Μέθοδος: ποια σύγκριση διαλέγω;

Ίδιος παρονομαστής; Νικά ο μεγαλύτερος αριθμητής.
Ίδιος αριθμητής; Νικά ο μικρότερος παρονομαστής.
Το ένα πάνω και το άλλο κάτω από το $\frac{1}{2}$ (ή το $1$ ); Τελείωσα χωρίς πράξεις.
Τίποτα από αυτά; Τα κάνω ομώνυμα με το ΕΚΠ των παρονομαστών και συγκρίνω αριθμητές.

Παράδειγμα: Βάλε σε αύξουσα σειρά τα $\frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{7}{12}$ .

Λύση: ΕΚΠ $(3, 4, 12) = 12$ :

$\frac{2}{3} = \frac{8}{12} \qquad \frac{3}{4} = \frac{9}{12} \qquad \frac{7}{12} = \frac{7}{12}$

Συγκρίνω αριθμητές: $7 < 8 < 9$ , άρα $\frac{7}{12} < \frac{2}{3} < \frac{3}{4}$ .

Λυμένη άσκηση: Στην προπόνηση η Ελένη έτρεξε $\frac{5}{6}$ του χιλιομέτρου και ο Κώστας $\frac{7}{9}$ του χιλιομέτρου. Ποιος έτρεξε περισσότερο;

Λύση: Διαφορετικοί όροι και τα δύο πάνω από το μισό → ΕΚΠ $(6, 9) = 18$ :

$\frac{5}{6} = \frac{15}{18} \qquad \frac{7}{9} = \frac{14}{18}$

$15 > 14$ , άρα η Ελένη έτρεξε περισσότερο — κατά $\frac{1}{18}$ του χιλιομέτρου.

Παράδειγμα: Βάλε σε αύξουσα σειρά: $\frac{9}{8}$ , $\frac{7}{8}$ , $\frac{8}{9}$ .

Λύση:

Το $\frac{9}{8}$ είναι μεγαλύτερο από $1$ (αριθμητής $>$ παρονομαστής) → ο μεγαλύτερος
$\frac{7}{8}$ και $\frac{8}{9}$ : ΕΚΠ $(8, 9) = 72$ → $\frac{63}{72}$ και $\frac{64}{72}$ , άρα $\frac{7}{8} < \frac{8}{9}$

$\frac{7}{8} < \frac{8}{9} < \frac{9}{8}$

Γρήγορος έλεγχος

Ποιο κλάσμα είναι μεγαλύτερο: $\frac{2}{5}$ ή $\frac{3}{7}$ ;

Γρήγορος έλεγχος

Ποιο από τα παρακάτω κλάσματα είναι μεγαλύτερο από $\frac{1}{2}$ ;

Γρήγορος έλεγχος

Πόσα είναι τα $\frac{2}{5}$ του $30$ ;

Γρήγορος έλεγχος

Ποιο από τα παρακάτω κλάσματα είναι το μικρότερο;

Γρήγορος έλεγχος

Ποια είναι η φθίνουσα σειρά (από το μεγαλύτερο στο μικρότερο) για τα $\frac{1}{2}$ , $\frac{5}{6}$ , $\frac{2}{3}$ ;

Πριν πιάσεις το ΕΚΠ, ρίξε μια ματιά για συντόμευση: ίδιοι παρονομαστές, ίδιοι αριθμητές ή σύγκριση με το $\frac{1}{2}$ και το $1$ λύνουν τις μισές ασκήσεις στο λεπτό!

Πρόκληση

Βρες όλους τους φυσικούς αριθμούς που μπορούν να μπουν στο κουτάκι ώστε να ισχύει $\frac{1}{3} < \frac{\square}{12} < \frac{3}{4}$ .

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Κάνω όλα τα κλάσματα δωδέκατα: $\frac{1}{3} = \frac{4}{12}$ και $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$ .
Τώρα θέλω $\frac{4}{12} < \frac{\square}{12} < \frac{9}{12}$ . Ίδιοι παρονομαστές, άρα αρκεί $4 < \square < 9$ .
Προσοχή: τα σύμβολα είναι «μικρότερο», όχι «μικρότερο ή ίσο» — το $4$ και το $9$ δεν μετράνε.

Απάντηση: $\square = 5, 6, 7$ ή $8$ — τέσσερις αριθμοί.

Συνηθισμένα λάθη

Συγκρίνω μόνο παρονομαστές: « $\frac{3}{8} > \frac{3}{4}$ γιατί $8 > 4$ » — λάθος, ισχύει το αντίθετο.
Συγκρίνω αριθμητές ετερώνυμων: $\frac{3}{4}$ και $\frac{5}{6}$ δεν συγκρίνονται με το $3 < 5$ χωρίς πρώτα ομώνυμα.
Μετατρέπω μόνο τον παρονομαστή: $\frac{3}{4} \ne \frac{3}{12}$ · σωστά $\frac{9}{12}$ .
Μπερδεύω αύξουσα με φθίνουσα.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Ομώνυμα: μεγαλύτερο όποιο έχει μεγαλύτερο αριθμητή
Ίδιος αριθμητής: μεγαλύτερο όποιο έχει μικρότερο παρονομαστή
Ετερώνυμα: κοινός παρονομαστής το ΕΚΠ, μετά σύγκριση αριθμητών
Γρήγορα κόλπα: σύγκριση με το $\frac{1}{2}$ και το $1$
Κλάσμα ποσότητας: διαιρώ με τον παρονομαστή, πολλαπλασιάζω με τον αριθμητή

Τι μετράει ένα κλάσμα — μια θύμηση 🍫

Το κλάσμα

\frac{3}{4}

λέει: κόβω τη μονάδα σε

4

ίσα κομμάτια και παίρνω τα

3

. Κάθε κομμάτι, το

\frac{1}{4}

, λέγεται κλασματική μονάδα — το «τούβλο» από το οποίο χτίζονται όλα τα κλάσματα.

Και όταν θέλω κλάσμα μιας ποσότητας; Τα

\frac{3}{4}

των

20

ευρώ: διαιρώ με τον παρονομαστή και πολλαπλασιάζω με τον αριθμητή:

20 : 4 = 5, \quad 5 \times 3 = 15 \text{ ευρώ}

Σύγκριση & Διάταξη Κλασμάτων

Ποια σοκολάτα είναι πιο «σκούρα»;

Τι μετράει ένα κλάσμα — μια θύμηση 🍫

Σύγκριση: οι δύο εύκολες περιπτώσεις ⚔️

Ετερώνυμα; Τα κάνω ομώνυμα! 🔄

Γρήγορα κόλπα: το 12\frac{1}{2}21​ και το 111 ⚡

Μέθοδος: ποια σύγκριση διαλέγω;

Σύγκριση & Διάταξη Κλασμάτων

Ποια σοκολάτα είναι πιο «σκούρα»;

Τι μετράει ένα κλάσμα — μια θύμηση 🍫

Σύγκριση: οι δύο εύκολες περιπτώσεις ⚔️

Ετερώνυμα; Τα κάνω ομώνυμα! 🔄

Γρήγορα κόλπα: το 12\frac{1}{2}21​ και το 111 ⚡

Μέθοδος: ποια σύγκριση διαλέγω;

Γρήγορα κόλπα: το $\frac{1}{2}$ και το $1$ ⚡

Γρήγορα κόλπα: το $\frac{1}{2}$ και το $1$ ⚡