📐

Μοιρογνωμόνιο, Τρίγωνα & Μονάδες Επιφάνειας

Μετράω γωνίες σωστά, ξεχωρίζω τρίγωνα από τις πλευρές και μετατρέπω εμβαδά

Πόσα στρέμματα είναι ένα γήπεδο;

Ο παππούς λέει ότι το χωράφι του είναι « $7$ στρέμματα». Πόσο μεγάλο είναι αυτό; Περίπου όσο ένα γήπεδο ποδοσφαίρου ( $105$ μ. επί $68$ μ.)! Σε αυτό το μάθημα μαθαίνεις να μετράς γωνίες σωστά, να δίνεις «ονοματεπώνυμο» στα τρίγωνα και να μετατρέπεις τετραγωνικά χωρίς να πέφτεις στην παγίδα του $10$ .

Πώς μετράω γωνία με το μοιρογνωμόνιο 🧭

Το μοιρογνωμόνιο μετράει γωνίες σε μοίρες. Τρία βήματα, πάντα με την ίδια σειρά:

Βήμα 1: Ακουμπάω το κέντρο του μοιρογνωμονίου ακριβώς πάνω στην κορυφή της γωνίας
Βήμα 2: Ευθυγραμμίζω τη γραμμή του $0°$ με τη μία πλευρά της γωνίας
Βήμα 3: Διαβάζω τον αριθμό εκεί που περνά η άλλη πλευρά — προσέχοντας να ακολουθήσω την κλίμακα που ξεκινά από το $0$ της πλευράς μου!

Το μοιρογνωμόνιο έχει δύο κλίμακες (μέσα-έξω) και δείχνει δύο αριθμούς, π.χ. $60$ και $120$ . Ποιος ισχύει; Κοιτάω τη γωνία: αν είναι πιο κλειστή από ορθή (οξεία), διαλέγω τον μικρότερο· αν είναι πιο ανοιχτή (αμβλεία), τον μεγαλύτερο.

Άνοιξε και κλείσε τη γωνία και παρακολούθησε τις μοίρες — θα ανακαλύψεις πότε περνάς από τις οξείες (κάτω από 90°) στις αμβλείες (πάνω από 90°), ακριβώς ό,τι ελέγχεις και στο μοιρογνωμόνιο!

Γρήγορος έλεγχος

Μετράς μια οξεία γωνία και η πλευρά της περνά από το $60$ της μιας κλίμακας και το $120$ της άλλης. Πόσες μοίρες είναι η γωνία;

Λυμένη άσκηση: Σχεδίασε γωνία $130°$ με το μοιρογνωμόνιο.

Λύση:

Χαράζω με τον χάρακα μια ευθεία γραμμή — την πρώτη πλευρά — και σημειώνω την κορυφή στην άκρη της.
Βάζω το κέντρο του μοιρογνωμονίου στην κορυφή και το $0°$ πάνω στην πλευρά.
Ακολουθώ την κλίμακα που ξεκινά από αυτό το $0$ και σημειώνω μια τελεία στο $130$ .
Ενώνω την κορυφή με την τελεία.

Έλεγχος: Η γωνία πρέπει να φαίνεται πιο ανοιχτή από ορθή (αμβλεία). Αν βγήκε κλειστή, διάβασα την άλλη κλίμακα και σχεδίασα $50°$ !

Τρίγωνα με τον χάρακα: είδη ως προς τις πλευρές 📏

Εκτός από τις γωνίες τους, τα τρίγωνα ξεχωρίζουν κι από τις πλευρές τους:

Ισόπλευρο: και οι $3$ πλευρές ίσες
Ισοσκελές: $2$ πλευρές ίσες (τα «σκέλη» του)
Σκαληνό: καμία πλευρά ίση με άλλη

Ο έλεγχος γίνεται με τον χάρακα: μετράω και τις τρεις πλευρές και συγκρίνω!

Παράδειγμα: Μετράω με τον χάρακα ένα τρίγωνο και βρίσκω πλευρές $7$ εκ., $7$ εκ. και $4$ εκ. Τι είδους τρίγωνο είναι;

Λύση: Συγκρίνω: $7 = 7$ , αλλά $4 \ne 7$ . Δύο πλευρές ίσες και μία διαφορετική → ισοσκελές.

Αν είχα βρει $6, 6, 6$ θα ήταν ισόπλευρο, ενώ με $4, 5, 7$ (όλες διαφορετικές) θα ήταν σκαληνό.

Γρήγορος έλεγχος

Ένα τρίγωνο έχει πλευρές $6$ εκ., $8$ εκ. και $10$ εκ. Ως προς τις πλευρές του είναι:

Δύο ονόματα για κάθε τρίγωνο 🏷️

Κάθε τρίγωνο έχει ένα όνομα από τις γωνίες του και ένα από τις πλευρές του:

Ο γνώμονας είναι ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο: μία ορθή γωνία ( $90°$ ), δύο ίσες πλευρές και δύο γωνίες των $45°$ .
Το ισόπλευρο τρίγωνο έχει και τις τρεις γωνίες ίσες: $180° : 3 = 60°$ η καθεμία — άρα είναι πάντα οξυγώνιο.

Ήξερες ότι;

Το τρίγωνο είναι το πιο σταθερό σχήμα! Φτιάξε ένα τετράγωνο από καλαμάκια: αν το πιέσεις, στραβώνει. Ένα τρίγωνο από καλαμάκια δεν στραβώνει. Γι' αυτό οι γερανοί, οι μεταλλικές γέφυρες και ο Πύργος του Άιφελ είναι γεμάτοι τρίγωνα.

Γρήγορος έλεγχος

Πόσες μοίρες είναι κάθε γωνία ενός ισόπλευρου τριγώνου;

Μονάδες επιφάνειας: το σκαλοπάτι του 100 🟦

Το εμβαδόν μετριέται σε τετραγωνικά: τετραγωνικό μέτρο ( $\text{μ.}^2$ ), τετραγωνικό εκατοστό ( $\text{εκ.}^2$ ) κ.λπ.

Προσοχή στην παγίδα! Στις μονάδες μήκους το σκαλί είναι το $10$ — στην επιφάνεια όμως κάθε σκαλί είναι $100$ , γιατί το τετράγωνο μεγαλώνει και στις δύο διαστάσεις: $1$ μ. $= 100$ εκ., άρα $1$ $\text{μ.}^2 = 100 \times 100 = 10000$ $\text{εκ.}^2$ !

Για χωράφια χρησιμοποιούμε και το στρέμμα: $1$ στρέμμα $= 1000$ $\text{μ.}^2$

Κόλπο μνήμης

«Μήκος $10$ — Επιφάνεια $100$ — Όγκος $1000$ ». Γιατί $100$ ; Ένα τετράγωνο $1$ δεκ. επί $1$ δεκ. χωράει $10$ σειρές με $10$ τετραγωνάκια του $1$ $\text{εκ.}^2$ : $10 \times 10 = 100$ .

$1 \text{ μ.}^2 = 10000 \text{ εκ.}^2 \qquad 1 \text{ στρέμμα} = 1000 \text{ μ.}^2$

Μέθοδος: μετατροπή μονάδων επιφάνειας

Τα σκαλιά είναι: $\text{μ.}^2 \to \text{δεκ.}^2 \to \text{εκ.}^2 \to \text{χιλ.}^2$ .
Κάθε σκαλί αλλάζει τον αριθμό $100$ φορές.
Κατεβαίνω σε μικρότερη μονάδα → πολλαπλασιάζω· ανεβαίνω → διαιρώ.
Για χωράφια: $1$ στρέμμα $= 1000$ $\text{μ.}^2$ .

Παράδειγμα: Ένα τραπέζι έχει εμβαδόν $2{,}5$ $\text{μ.}^2$ . Πόσα $\text{εκ.}^2$ είναι;

Λύση: Πηγαίνω σε μικρότερη μονάδα, άρα πολλαπλασιάζω:

$2{,}5 \times 10000 = 25000 \text{ εκ.}^2$

Αντίστροφα: Ένα οικόπεδο $3$ στρεμμάτων είναι $3 \times 1000 = 3000$ $\text{μ.}^2$ .

Λυμένη άσκηση: Ένα ορθογώνιο οικόπεδο έχει διαστάσεις $50$ μ. και $40$ μ. Πόσα στρέμματα είναι;

Λύση:

Εμβαδόν: $50 \times 40 = 2000$ $\text{μ.}^2$
Σε στρέμματα: $2000 : 1000 = 2$ στρέμματα

Λυμένη άσκηση: Ένα τετράγωνο πλακάκι έχει πλευρά $20$ εκ. Πόσα πλακάκια χρειάζονται για να στρωθεί $1$ $\text{μ.}^2$ ;

Λύση:

Εμβαδόν πλακακιού: $20 \times 20 = 400$ $\text{εκ.}^2$
$1$ $\text{μ.}^2 = 10000$ $\text{εκ.}^2$
Πλακάκια: $10000 : 400 = 25$

Έλεγχος: Στο $1$ μ. $= 100$ εκ. χωράνε $5$ πλακάκια σε κάθε σειρά, και $5$ σειρές → $5 \times 5 = 25$ ✅

Γρήγορος έλεγχος

Ένα χαλί έχει εμβαδόν $50000$ $\text{εκ.}^2$ . Πόσα τετραγωνικά μέτρα είναι;

Γρήγορος έλεγχος

Πόσα $\text{εκ.}^2$ είναι τα $3$ $\text{δεκ.}^2$ ;

Γρήγορος έλεγχος

Ένα χωράφι έχει εμβαδόν $4500$ $\text{μ.}^2$ . Πόσα στρέμματα είναι;

Τρεις άγκυρες για το κεφάλαιο: στο μοιρογνωμόνιο κέντρο στην κορυφή και 0° στην πλευρά· στα τρίγωνα μέτρα και τις τρεις πλευρές πριν αποφασίσεις· στα εμβαδά θυμήσου ότι οι μονάδες αλλάζουν με τετραγωνισμένα σκαλιά (×100, ×10000) — όχι με το σκέτο 10 του μήκους!

Πρόκληση

Ένα ορθογώνιο χωράφι έχει εμβαδόν $1{,}5$ στρέμμα και μήκος $60$ μ. Ο ιδιοκτήτης θέλει να το περιφράξει με συρματόπλεγμα που πουλιέται σε ρολά των $25$ μ. Πόσα ρολά πρέπει να αγοράσει;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Εμβαδόν σε $\text{μ.}^2$ : $1{,}5 \times 1000 = 1500$ $\text{μ.}^2$ .
Πλάτος: $1500 : 60 = 25$ μ.
Περίμετρος: $60 + 25 + 60 + 25 = 170$ μ.
Ρολά: $170 : 25 = 6$ με υπόλοιπο $20$ . Τα $6$ ρολά δίνουν $150$ μ. και λείπουν $20$ μ.

Απάντηση: $7$ ρολά. (Θα περισσέψουν $175 - 170 = 5$ μ. συρματόπλεγμα.)

Συνηθισμένα λάθη

Λάθος κλίμακα στο μοιρογνωμόνιο: μια οξεία γωνία δεν μπορεί να είναι $120°$ · ελέγχω αν η γωνία είναι πιο κλειστή ή πιο ανοιχτή από ορθή.
Κέντρο εκτός κορυφής: αν το κέντρο του μοιρογνωμονίου δεν είναι ακριβώς στην κορυφή, η μέτρηση βγαίνει λάθος.
Επιφάνεια με το 10: $1$ $\text{μ.}^2 = 10000$ $\text{εκ.}^2$ , όχι $100$ .
Στρέμμα $= 100$ $\text{μ.}^2$ ; Όχι — $1000$ $\text{μ.}^2$ .

Σύνοψη — τι κρατάμε

Μοιρογνωμόνιο: κέντρο στην κορυφή, $0°$ στη μία πλευρά, διαβάζω από το δικό μου $0$
Ως προς τις πλευρές: ισόπλευρο ( $3$ ίσες), ισοσκελές ( $2$ ίσες), σκαληνό (καμία)
Ισόπλευρο: κάθε γωνία $60°$
Επιφάνεια: κάθε σκαλί $\times 100$ · $1$ $\text{μ.}^2 = 10000$ $\text{εκ.}^2$ · $1$ στρέμμα $= 1000$ $\text{μ.}^2$

Πώς μετράω γωνία με το μοιρογνωμόνιο 🧭

Το μοιρογνωμόνιο μετράει γωνίες σε μοίρες. Τρία βήματα, πάντα με την ίδια σειρά:

Βήμα 1: Ακουμπάω το κέντρο του μοιρογνωμονίου ακριβώς πάνω στην κορυφή της γωνίας

Βήμα 2: Ευθυγραμμίζω τη γραμμή του

0°

με τη μία πλευρά της γωνίας

Βήμα 3: Διαβάζω τον αριθμό εκεί που περνά η άλλη πλευρά — προσέχοντας να ακολουθήσω την κλίμακα που ξεκινά από το $0$ της πλευράς μου!

Το μοιρογνωμόνιο έχει δύο κλίμακες (μέσα-έξω) και δείχνει δύο αριθμούς, π.χ.

60

και

120

. Ποιος ισχύει; Κοιτάω τη γωνία: αν είναι πιο κλειστή από ορθή (οξεία), διαλέγω τον μικρότερο· αν είναι πιο ανοιχτή (αμβλεία), τον μεγαλύτερο.