🌊

Ταλαντώσεις & Κύματα

Περίοδος T, συχνότητα f, μηχανικά κύματα, μήκος κύματος λ, υ = λ·f

Πόσο μακριά έπεσε ο κεραυνός;

Βλέπεις την αστραπή και αρχίζεις να μετράς: «ένα, δύο, τρία…» μέχρι να ακουστεί η βροντή. Κάθε περίπου 3 δευτερόλεπτα σημαίνουν περίπου 1 km απόσταση, αφού ο ήχος τρέχει με $340 \text{ m/s}$ και $340 \cdot 3 = 1020 \text{ m}$ . Το φως φτάνει σχεδόν αμέσως, ο ήχος όχι — γιατί ο ήχος είναι κύμα που χρειάζεται υλικό για να ταξιδέψει.

Ταλάντωση: μια κίνηση που επαναλαμβάνεται

Ταλάντωση λέγεται η περιοδική κίνηση ενός σώματος γύρω από τη θέση ισορροπίας του, πάνω στην ίδια τροχιά: το εκκρεμές του ρολογιού, ένα σώμα κρεμασμένο σε ελατήριο, μια κούνια.

Τα μεγέθη που τη χαρακτηρίζουν:

Πλάτος $A$ : η μέγιστη απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας.
Περίοδος $T$ : ο χρόνος για μία πλήρη ταλάντωση (πέρα–δώθε και πίσω). Μονάδα: $1 \text{ s}$ .
Συχνότητα $f$ : πόσες πλήρεις ταλαντώσεις γίνονται σε $1 \text{ s}$ . Μονάδα: $1 \text{ Hz}$ (Hertz).

Όσο μεγαλύτερη η συχνότητα, τόσο μικρότερη η περίοδος — είναι αντίστροφα μεγέθη.

$T = \frac{t}{N} \qquad f = \frac{N}{t} \qquad f = \frac{1}{T}$

Παράδειγμα (η κούνια): Ένα παιδί κάνει κούνια. Μετράμε $12$ πλήρεις ταλαντώσεις σε $30 \text{ s}$ , ενώ η απόσταση ανάμεσα στις δύο ακραίες θέσεις της κούνιας είναι $60 \text{ cm}$ .

Δεδομένα: $N = 12$ , $t = 30 \text{ s}$ , απόσταση ακραίων θέσεων $60 \text{ cm}$

Ζητούμενα: (α) $T$ , (β) $f$ , (γ) πλάτος $A$ , (δ) χρόνος για $20$ ταλαντώσεις.

Λύση:

(α) $T = \frac{t}{N} = \frac{30}{12} = 2{,}5 \text{ s}$

(β) $f = \frac{N}{t} = \frac{12}{30} = 0{,}4 \text{ Hz}$ — έλεγχος: $\frac{1}{T} = \frac{1}{2{,}5} = 0{,}4$ ✓

(γ) Το πλάτος μετριέται από τη θέση ισορροπίας ως μία ακραία θέση, άρα είναι το μισό της απόστασης των ακραίων θέσεων: $A = \frac{60}{2} = 30 \text{ cm}$ .

(δ) $t' = N' \cdot T = 20 \cdot 2{,}5 = 50 \text{ s}$

Απάντηση: $T = 2{,}5 \text{ s}$ , $f = 0{,}4 \text{ Hz}$ , $A = 30 \text{ cm}$ , $t' = 50 \text{ s}$ .

Γρήγορος έλεγχος

Η απόσταση ανάμεσα στις δύο ακραίες θέσεις ενός σώματος που ταλαντώνεται είναι $2 \text{ m}$ . Πόσο είναι το πλάτος της ταλάντωσης;

Μηχανικά κύματα

Μηχανικό κύμα λέγεται η διάδοση μιας διαταραχής μέσα σε ένα υλικό μέσο (νερό, σχοινί, αέρας). Προσοχή στο κρισιμότερο σημείο: το κύμα μεταφέρει ενέργεια, όχι ύλη — ο φελλός στη θάλασσα ανεβοκατεβαίνει στη θέση του, δεν ταξιδεύει με το κύμα!

Εγκάρσιο κύμα: τα σωματίδια ταλαντώνονται κάθετα στη διεύθυνση διάδοσης (κύμα σε σχοινί, «όρη» και «κοιλάδες»).
Διάμηκες κύμα: τα σωματίδια ταλαντώνονται παράλληλα στη διάδοση («πυκνώματα» και «αραιώματα» — όπως ο ήχος).

Μήκος κύματος $\lambda$ : η απόσταση που διανύει το κύμα σε χρόνο μιας περιόδου — π.χ. η απόσταση δύο διαδοχικών «ορέων». Κάθε σημείο του μέσου ταλαντώνεται με τη συχνότητα της πηγής.

Δες δύο κύματα να συναντιούνται και να **προστίθενται**: όπου «όρος συναντά όρος» το αποτέλεσμα ενισχύεται (μεγαλύτερο πλάτος), όπου «όρος συναντά κοιλάδα» τα κύματα αλληλοαναιρούνται. Θα μάθεις την **επαλληλία**: τα κύματα περνούν το ένα μέσα από το άλλο και συνεχίζουν ανεπηρέαστα.

$\upsilon = \frac{\lambda}{T} = \lambda \cdot f$

Κόλπο μνήμης

Σκέψου μια παρέλαση: ταχύτητα $=$ μήκος βήματος $\times$ βήματα ανά δευτερόλεπτο. Στο κύμα το «βήμα» είναι το μήκος κύματος $\lambda$ και τα «βήματα ανά δευτερόλεπτο» είναι η συχνότητα $f$ : $\upsilon = \lambda \cdot f$ . Αν τα βήματα πυκνώσουν (μεγάλο $f$ ) με την ίδια ταχύτητα, το κάθε βήμα μικραίνει.

Ο ήχος

Ο ήχος είναι διάμηκες μηχανικό κύμα: παράγεται από σώματα που ταλαντώνονται (χορδή, μεμβράνη) και χρειάζεται υλικό μέσο για να διαδοθεί — στο κενό δεν ακούγεται τίποτα! Στον αέρα διαδίδεται με ταχύτητα περίπου $340 \text{ m/s}$ , ταχύτερα στα υγρά και ακόμη ταχύτερα στα στερεά.

Το ύψος του ήχου (πρίμος/μπάσος) καθορίζεται από τη συχνότητα: ακούμε από $20 \text{ Hz}$ έως $20000 \text{ Hz}$ .
Η ακουστότητα (δυνατός/σιγανός) καθορίζεται από το πλάτος της ταλάντωσης.

Ήξερες ότι;

Οι νυχτερίδες κυνηγούν στο απόλυτο σκοτάδι εκπέμποντας υπερήχους — ήχους με συχνότητες πάνω από $20000 \text{ Hz}$ , που εμείς δεν ακούμε. Από τον χρόνο που κάνει η ηχώ να επιστρέψει «καταλαβαίνουν» πόσο μακριά είναι ένα έντομο. Με την ίδια ιδέα λειτουργούν το σόναρ των πλοίων και τα υπερηχογραφήματα στην ιατρική.

Μέθοδος: ασκήσεις ταλαντώσεων και κυμάτων

Γράφω τα δεδομένα σε μονάδες SI: χρόνος σε $\text{s}$ , μήκη σε $\text{m}$ , συχνότητα σε $\text{Hz}$ .
Από πλήθος ταλαντώσεων και χρόνο βρίσκω $T = \frac{t}{N}$ ή $f = \frac{N}{t}$ .
Περνώ από το ένα στο άλλο με $f = \frac{1}{T}$ .
Για το κύμα χρησιμοποιώ τη θεμελιώδη εξίσωση $\upsilon = \lambda \cdot f$ και τη λύνω ως προς ό,τι ζητείται: $\lambda = \frac{\upsilon}{f}$ , $f = \frac{\upsilon}{\lambda}$ .
Ελέγχω αν το αποτέλεσμα είναι λογικό (π.χ. ήχος στον αέρα: $\upsilon \approx 340 \text{ m/s}$ ).

Παράδειγμα (τύπου διαγωνίσματος): Η άκρη ενός σχοινιού κάνει $N = 30$ πλήρεις ταλαντώσεις σε χρόνο $t = 15 \text{ s}$ και δημιουργεί κύμα με μήκος κύματος $\lambda = 1{,}5 \text{ m}$ . Να βρεθούν $T$ , $f$ και η ταχύτητα διάδοσης $\upsilon$ .

Βήμα 1 — Περίοδος: $T = \frac{t}{N} = \frac{15}{30} = 0{,}5 \text{ s}$

Βήμα 2 — Συχνότητα: $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0{,}5} = 2 \text{ Hz}$

Βήμα 3 — Θεμελιώδης εξίσωση κυματικής: $\upsilon = \lambda \cdot f = 1{,}5 \cdot 2 = 3 \text{ m/s}$

Το κύμα προχωρά $3$ μέτρα κάθε δευτερόλεπτο, ενώ κάθε σημείο του σχοινιού απλώς ανεβοκατεβαίνει $2$ φορές το δευτερόλεπτο.

Παράδειγμα (ήχος — τύπου διαγωνίσματος): Η ταχύτητα του ήχου στον αέρα είναι $\upsilon = 340 \text{ m/s}$ .

(α) Ένα διαπασών ταλαντώνεται με $f = 680 \text{ Hz}$ . Ποιο είναι το μήκος κύματος του ήχου του;

$\lambda = \frac{\upsilon}{f} = \frac{340}{680} = 0{,}5 \text{ m}$

(β) Βλέπεις την αστραπή και ακούς τη βροντή $3 \text{ s}$ αργότερα. Πόσο μακριά έπεσε ο κεραυνός; Το φως φτάνει πρακτικά ακαριαία, οπότε τα $3 \text{ s}$ είναι ο χρόνος του ήχου:

$d = \upsilon \cdot t = 340 \cdot 3 = 1020 \text{ m} \approx 1 \text{ km}$

(γ) Φωνάζεις μπροστά σε έναν βράχο και ακούς την ηχώ μετά από $2 \text{ s}$ . Ο ήχος πήγε και γύρισε, άρα διένυσε διπλάσια απόσταση:

$2d = 340 \cdot 2 = 680 \text{ m} \Rightarrow d = 340 \text{ m}$

Απάντηση: $\lambda = 0{,}5 \text{ m}$ , ο κεραυνός απέχει περίπου $1020 \text{ m}$ , ο βράχος $340 \text{ m}$ .

Γρήγορος έλεγχος

Ένα εκκρεμές κάνει $20$ πλήρεις ταλαντώσεις σε $10 \text{ s}$ . Η συχνότητά του είναι:

Γρήγορος έλεγχος

Ήχος συχνότητας $170 \text{ Hz}$ διαδίδεται στον αέρα με $\upsilon = 340 \text{ m/s}$ . Το μήκος κύματός του είναι:

Γρήγορος έλεγχος

Στη Σελήνη δεν υπάρχει ατμόσφαιρα. Γιατί δύο αστροναύτες δεν μπορούν να ακούσουν ο ένας τον άλλον χωρίς ασύρματο;

Πρόκληση

Το σόναρ του πλοίου. Ένα ερευνητικό σκάφος στέλνει κατακόρυφα προς τον βυθό υπερηχητικό παλμό συχνότητας $f = 30000 \text{ Hz}$ . Η ηχώ επιστρέφει μετά από $4 \text{ s}$ . Η ταχύτητα του ήχου στο θαλασσινό νερό είναι $\upsilon = 1500 \text{ m/s}$ (στον αέρα $340 \text{ m/s}$ ). (α) Πόσο είναι το βάθος; (β) Πόσο είναι το μήκος κύματος του υπερήχου στο νερό; (γ) Αν ο ίδιος υπέρηχος διαδιδόταν στον αέρα, τι θα άλλαζε;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

(α) Σε $4 \text{ s}$ ο ήχος πηγαίνει και επιστρέφει: $s = \upsilon \cdot t = 1500 \cdot 4 = 6000 \text{ m}$ . Το βάθος είναι το μισό: $h = 3000 \text{ m}$ .

(β) $\lambda = \frac{\upsilon}{f} = \frac{1500}{30000} = 0{,}05 \text{ m} = 5 \text{ cm}$ .

(γ) Η συχνότητα καθορίζεται από την πηγή και δεν αλλάζει. Αλλάζει η ταχύτητα, άρα και το μήκος κύματος: $\lambda' = \frac{340}{30000} \approx 0{,}011 \text{ m} \approx 1{,}1 \text{ cm}$ .

Απάντηση: (α) $3000 \text{ m}$ — η παγίδα είναι να ξεχάσεις το «πήγαινε–έλα»· (β) $5 \text{ cm}$ · (γ) ίδια $f$ , μικρότερο $\lambda \approx 1{,}1 \text{ cm}$ .

Συνηθισμένα λάθη

Μπερδεύεις $T$ και $f$ . Η περίοδος είναι χρόνος (s), η συχνότητα πλήθος ανά δευτερόλεπτο (Hz). Έλεγχος: $T \cdot f = 1$ .
Πλάτος = απόσταση από άκρη σε άκρη. Λάθος: το πλάτος μετριέται από τη θέση ισορροπίας, άρα είναι το μισό αυτής της απόστασης.
«Το κύμα μεταφέρει νερό/αέρα». Το κύμα μεταφέρει ενέργεια· τα σωματίδια του μέσου απλώς ταλαντώνονται γύρω από τη θέση τους.
Στην ηχώ ξεχνάς το «πήγαινε–έλα». Ο ήχος διανύει διπλάσια απόσταση από εσένα ως το εμπόδιο, άρα $d = \frac{\upsilon \cdot t}{2}$ .

Στα κύματα, σχεδόν κάθε άσκηση λύνεται με τρεις τύπους: $T = \frac{t}{N}$ , $f = \frac{1}{T}$ , $\upsilon = \lambda f$ . Πριν αντικαταστήσεις, έλεγξε μονάδες: $\lambda$ σε m και $f$ σε Hz δίνουν $\upsilon$ σε m/s. Και θυμήσου την παγίδα της θεωρίας: το κύμα μεταφέρει ενέργεια, ποτέ ύλη — αυτό ζητείται ξανά και ξανά στα σωστού–λάθους.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Ταλάντωση: περιοδική κίνηση γύρω από θέση ισορροπίας· πλάτος $A$ = μέγιστη απομάκρυνση.
$T = \frac{t}{N}$ , $f = \frac{N}{t}$ , $f = \frac{1}{T}$ (μονάδες: s και Hz).
Μηχανικό κύμα = διάδοση διαταραχής σε υλικό μέσο· μεταφέρει ενέργεια, όχι ύλη. Εγκάρσιο (κάθετη ταλάντωση) ή διάμηκες (παράλληλη).
Θεμελιώδης εξίσωση: $\upsilon = \lambda \cdot f$ .
Ήχος: διάμηκες κύμα, χρειάζεται υλικό μέσο, $\approx 340 \text{ m/s}$ στον αέρα· ύψος ↔ συχνότητα, ακουστότητα ↔ πλάτος.

Ταλάντωση: μια κίνηση που επαναλαμβάνεται

Τα μεγέθη που τη χαρακτηρίζουν:

Πλάτος

A

: η μέγιστη απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας.

Περίοδος

T

: ο χρόνος για μία πλήρη ταλάντωση (πέρα–δώθε και πίσω). Μονάδα:

1 \text{ s}

Συχνότητα

f

: πόσες πλήρεις ταλαντώσεις γίνονται σε

1 \text{ s}

. Μονάδα:

1 \text{ Hz}

(Hertz).

Όσο μεγαλύτερη η συχνότητα, τόσο μικρότερη η περίοδος — είναι αντίστροφα μεγέθη.