⚛️

Νόμος Coulomb & Ηλεκτρικό Πεδίο

Από τι εξαρτάται η ηλεκτρική δύναμη, η έννοια του πεδίου & οι δυναμικές γραμμές

Ένα μπαλόνι νικά ολόκληρη τη Γη;

Ολόκληρος ο πλανήτης τραβά ένα χαρτάκι προς τα κάτω με τη βαρύτητά του. Κι όμως, ένα μπαλόνι τριμμένο στα μαλλιά σου το σηκώνει στον αέρα από απόσταση λίγων εκατοστών! Η ηλεκτρική δύναμη είναι απίστευτα ισχυρή — αλλά σβήνει γρήγορα όσο απομακρύνεσαι. Πόσο γρήγορα; Αυτό μας το λέει ο νόμος του Κουλόμπ.

Πόσο ισχυρή είναι η ηλεκτρική δύναμη;

Ο Γάλλος φυσικός Κουλόμπ (Coulomb) μέτρησε με έναν ευαίσθητο ζυγό στρέψης τη δύναμη ανάμεσα σε δύο μικρά φορτισμένα σώματα. Βρήκε δύο καθαρούς κανόνες:

Η δύναμη είναι ανάλογη του γινομένου των φορτίων: διπλάσιο το ένα φορτίο → διπλάσια δύναμη· διπλάσια και τα δύο → τετραπλάσια.
Η δύναμη είναι αντιστρόφως ανάλογη του τετραγώνου της απόστασης: σε διπλάσια απόσταση η δύναμη πέφτει στο 1/4, σε τριπλάσια στο 1/9!

Οι δυνάμεις ασκούνται και στα δύο φορτία, με ίσα μέτρα και αντίθετες κατευθύνσεις (δράση–αντίδραση): ελκτικές για ετερώνυμα, απωστικές για ομώνυμα.

Σου θυμίζει κάτι; Είναι «δίδυμος» του νόμου της παγκόσμιας έλξης του Νεύτωνα — με μια μεγάλη διαφορά: η βαρύτητα μόνο έλκει, ενώ η ηλεκτρική δύναμη έλκει και απωθεί, και σε ατομική κλίμακα είναι ασύγκριτα ισχυρότερη.

$F = k \cdot \frac{|q_1| \cdot |q_2|}{r^2}$

$k = 9 \times 10^{9} \ \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2 \quad \text{(σημειακά φορτία)}$

Μετέβαλε το μέγεθος στον οριζόντιο άξονα και δες πώς απαντά η δύναμη: θα ανακαλύψεις ότι με το φορτίο μεγαλώνει αναλογικά — ευθεία γραμμή — ενώ με την απόσταση πέφτει απότομα: στο διπλάσιο $r$ μένει μόνο το ένα τέταρτο της δύναμης!

Γρήγορος έλεγχος

Δύο φορτισμένες σφαίρες απέχουν $r$ και απωθούνται με δύναμη $F$ . Αν η απόσταση διπλασιαστεί, η δύναμη γίνεται:

Κόλπο μνήμης

«Νόμος του αντίστροφου τετραγώνου»: απόσταση $\times 2$ → δύναμη $\div 4$ · απόσταση $\times 3$ → δύναμη $\div 9$ · απόσταση $\div 2$ → δύναμη $\times 4$ . Σκέψου το φως ενός φακού: σε διπλάσια απόσταση απλώνεται σε τετραπλάσια επιφάνεια, οπότε κάθε σημείο παίρνει το $\frac{1}{4}$ .

Μέθοδος: ασκήσεις με τον νόμο του Κουλόμπ

Αριθμητικές:

Μετατρέπω σε SI: $1 \ \mu\text{C} = 10^{-6} \text{ C}$ , $1 \text{ nC} = 10^{-9} \text{ C}$ , cm σε m.
Αντικαθιστώ στο $F = k \frac{|q_1| |q_2|}{r^2}$ με $k = 9 \times 10^9 \ \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2$ — θυμάμαι το τετράγωνο της απόστασης.
Αποφασίζω χωριστά αν η δύναμη είναι ελκτική (ετερώνυμα) ή απωστική (ομώνυμα).

Αναλογίες («τι γίνεται αν…»):

Γράφω τον παράγοντα για κάθε φορτίο (διπλάσιο → $\times 2$ ).
Γράφω τον παράγοντα για την απόσταση: $\times \lambda$ στην απόσταση → $\times \frac{1}{\lambda^2}$ στη δύναμη.
Πολλαπλασιάζω όλους τους παράγοντες με την αρχική δύναμη.

Παράδειγμα (αριθμητικό — τύπου διαγωνίσματος): Δύο μικρές σφαίρες έχουν φορτία $q_1 = +2 \ \mu\text{C}$ και $q_2 = +3 \ \mu\text{C}$ και απέχουν $r = 30 \text{ cm}$ .

Δεδομένα: $q_1 = 2 \times 10^{-6} \text{ C}$ , $q_2 = 3 \times 10^{-6} \text{ C}$ , $r = 0{,}3 \text{ m}$ , $k = 9 \times 10^9 \ \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2$

Ζητούμενα: (α) η δύναμη και το είδος της, (β) η δύναμη αν η απόσταση γίνει $15 \text{ cm}$ .

Λύση:

(α) $F = k \frac{|q_1| |q_2|}{r^2} = 9 \times 10^9 \cdot \frac{2 \times 10^{-6} \cdot 3 \times 10^{-6}}{0{,}09} = \frac{9 \times 10^9 \cdot 6 \times 10^{-12}}{0{,}09} = \frac{0{,}054}{0{,}09} = 0{,}6 \text{ N}$

Τα φορτία είναι ομώνυμα, άρα η δύναμη είναι απωστική.

(β) Η απόσταση υποδιπλασιάζεται, άρα η δύναμη γίνεται $2^2 = 4$ φορές μεγαλύτερη: $F' = 4 \cdot 0{,}6 = 2{,}4 \text{ N}$ .

Απάντηση: $F = 0{,}6 \text{ N}$ (άπωση)· στα $15 \text{ cm}$ γίνεται $2{,}4 \text{ N}$ .

Γρήγορος έλεγχος

Δύο σημειακά φορτία $1 \ \mu\text{C}$ το καθένα απέχουν $1 \text{ m}$ . Πόση δύναμη ασκεί το ένα στο άλλο; ( $k = 9 \times 10^9 \ \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2$ )

Γρήγορος έλεγχος

Δύο φορτισμένα σώματα έλκονται με δύναμη $F$ . Διπλασιάζουμε και τα δύο φορτία, χωρίς να αλλάξουμε την απόσταση. Η δύναμη γίνεται:

Ήξερες ότι;

Το $1 \text{ C}$ είναι τεράστιο φορτίο. Δύο σημειακά φορτία $1 \text{ C}$ σε απόσταση $1 \text{ m}$ θα ασκούσαν το ένα στο άλλο δύναμη $F = 9 \times 10^9 \text{ N}$ — όσο το βάρος ενός σώματος περίπου 900.000 τόνων ( $g = 10 \text{ m/s}^2$ )! Ο Κουλόμπ έκανε τις μετρήσεις του το 1785 με φορτία εκατομμύρια φορές μικρότερα, χρησιμοποιώντας ένα λεπτό σύρμα που έστριβε ελάχιστα.

Πώς «ξέρει» το ένα φορτίο ότι υπάρχει το άλλο;

Τα δύο φορτία δεν αγγίζονται — πώς μεταδίδεται η δύναμη μέσα από το κενό; Η απάντηση της φυσικής: κάθε φορτίο αλλάζει τον χώρο γύρω του. Δημιουργεί ένα ηλεκτρικό πεδίο: μια «αόρατη ζώνη επιρροής» που γεμίζει τον χώρο.

Όταν ένα άλλο φορτίο βρεθεί μέσα σε αυτή τη ζώνη, το πεδίο είναι αυτό που του ασκεί τη δύναμη — όχι «μαγικά από μακριά» το πρώτο φορτίο.

Η αναλογία που ήδη ξέρεις: η Γη δημιουργεί γύρω της βαρυτικό πεδίο, και κάθε σώμα μέσα του δέχεται το βάρος του. Έτσι και κάθε φορτίο ζει «βυθισμένο» στο ηλεκτρικό πεδίο των άλλων φορτίων.

Πώς ελέγχουμε αν υπάρχει πεδίο; Φέρνουμε ένα μικρό δοκιμαστικό φορτίο σε κάποιο σημείο: αν δεχτεί ηλεκτρική δύναμη, εκεί υπάρχει πεδίο. Προσοχή όμως — το πεδίο υπάρχει ούτως ή άλλως, είτε βάλουμε δοκιμαστικό φορτίο είτε όχι!

Δυναμικές γραμμές — ο «χάρτης» του πεδίου

Για να «δούμε» το αόρατο πεδίο, σχεδιάζουμε τις δυναμικές γραμμές του:

Ξεκινούν από τα θετικά φορτία και καταλήγουν στα αρνητικά
Σε κάθε σημείο δείχνουν την κατεύθυνση της δύναμης που θα δεχόταν ένα θετικό δοκιμαστικό φορτίο
Όπου είναι πυκνές, το πεδίο είναι ισχυρό· όπου αραιώνουν, εξασθενεί
Δεν τέμνονται ποτέ μεταξύ τους

Γύρω από ένα μοναχικό θετικό φορτίο οι γραμμές μοιάζουν με ακτίνες ήλιου προς τα έξω· γύρω από αρνητικό, δείχνουν προς το φορτίο. Κοντά στο φορτίο είναι πυκνές (ισχυρό πεδίο) και όσο απομακρυνόμαστε αραιώνουν — ακριβώς όπως προβλέπει ο νόμος του Κουλόμπ.

Παράδειγμα (λυμένο, ποιοτικό): Δύο σημειακά φορτία έλκονται με δύναμη $F = 12 \text{ N}$ . Διπλασιάζουμε το ένα φορτίο και ταυτόχρονα διπλασιάζουμε την απόστασή τους. Ποια είναι η νέα δύναμη;

Βήμα 1 — Επίδραση του φορτίου: Διπλάσιο $q_1$ → δύναμη $\times 2$ .

Βήμα 2 — Επίδραση της απόστασης: Διπλάσιο $r$ → δύναμη $\times \frac{1}{4}$ .

Βήμα 3 — Συνδυασμός:

$F' = 12 \cdot 2 \cdot \frac{1}{4} = 6 \text{ N}$

Η δύναμη υποδιπλασιάστηκε — και παραμένει ελκτική, αφού τα πρόσημα των φορτίων δεν άλλαξαν. Στα δύο φορτία ασκούνται δυνάμεις ίσου μέτρου 6 N, αντίθετης κατεύθυνσης.

Παράδειγμα (πόσο να απομακρύνω;): Δύο σημειακά φορτία απέχουν $10 \text{ cm}$ και απωθούνται με δύναμη $36 \text{ N}$ . Σε ποια απόσταση πρέπει να τα φέρουμε ώστε η δύναμη να γίνει $4 \text{ N}$ ;

Λύση: Η δύναμη πρέπει να γίνει $\frac{36}{4} = 9$ φορές μικρότερη. Αφού $F \propto \frac{1}{r^2}$ , η απόσταση πρέπει να γίνει $\sqrt{9} = 3$ φορές μεγαλύτερη:

$r' = 3 \cdot 10 = 30 \text{ cm}$

Έλεγχος: $F' = \frac{36}{3^2} = \frac{36}{9} = 4 \text{ N}$ ✓

Απάντηση: $r' = 30 \text{ cm}$ — όχι $90 \text{ cm}$ , που θα έδινε δύναμη $81$ φορές μικρότερη.

Γρήγορος έλεγχος

Σε μια περιοχή του χώρου ΔΕΝ έχουμε τοποθετήσει κανένα δοκιμαστικό φορτίο. Μπορεί εκεί να υπάρχει ηλεκτρικό πεδίο;

Πρόκληση

Ντετέκτιβ φορτίων. Δύο ίδιες μικρές μεταλλικές σφαίρες έχουν ίσα φορτία και απωθούνται με δύναμη $F = 0{,}9 \text{ N}$ όταν απέχουν $r = 10 \text{ cm}$ ( $k = 9 \times 10^{9} \ \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2$ , $e = 1{,}6 \times 10^{-19} \text{ C}$ ). (α) Πόσο είναι το φορτίο κάθε σφαίρας; (β) Αν τα φορτία είναι θετικά, πόσα ηλεκτρόνια λείπουν από κάθε σφαίρα; (γ) Αγγίζουμε τη μία με μια τρίτη ίδια, ουδέτερη σφαίρα, την απομακρύνουμε και ξαναφέρνουμε τις δύο αρχικές σε απόσταση $10 \text{ cm}$ . Πόση είναι τώρα η δύναμη;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

(α) $r = 0{,}1 \text{ m}$ . Με $|q_1| = |q_2| = q$ : $F = k\frac{q^2}{r^2} \Rightarrow q^2 = \frac{F r^2}{k} = \frac{0{,}9 \cdot 0{,}01}{9 \times 10^9} = 10^{-12}$ , άρα $q = 10^{-6} \text{ C} = 1 \ \mu\text{C}$ .

(β) $N = \frac{10^{-6}}{1{,}6 \times 10^{-19}} = 6{,}25 \times 10^{12}$ ηλεκτρόνια λείπουν από κάθε σφαίρα.

(γ) Η σφαίρα που άγγιξε την ουδέτερη μοιράζεται το φορτίο της: $\frac{1 \ \mu\text{C}}{2} = 0{,}5 \ \mu\text{C}$ . Το γινόμενο των φορτίων υποδιπλασιάστηκε, η απόσταση έμεινε ίδια, άρα $F' = \frac{F}{2} = 0{,}45 \text{ N}$ .

Απάντηση: $q = 1 \ \mu\text{C}$ · λείπουν $6{,}25 \times 10^{12}$ ηλεκτρόνια· νέα δύναμη $0{,}45 \text{ N}$ (απωστική).

Συνηθισμένα λάθη

Διπλάσια απόσταση → $F/2$ . Η απόσταση είναι στο τετράγωνο: διπλάσια → $F/4$ , τριπλάσια → $F/9$ .
Ξεχνάς μετατροπές. Τα $\mu\text{C}$ γίνονται $10^{-6} \text{ C}$ και τα cm γίνονται m πριν αντικαταστήσεις — αλλιώς το αποτέλεσμα αποκλίνει κατά τεράστιες δυνάμεις του 10.
«Το μεγαλύτερο φορτίο δέχεται μεγαλύτερη δύναμη». Οι δύο δυνάμεις είναι δράση–αντίδραση: ίσα μέτρα, αντίθετες κατευθύνσεις, ό,τι κι αν είναι τα φορτία.
Πρόσημα μέσα στον τύπο. Βάζεις απόλυτες τιμές στον τύπο και αποφασίζεις χωριστά: ομώνυμα → άπωση, ετερώνυμα → έλξη.

Δύο σημεία που πιάνουν σχεδόν όλες οι ερωτήσεις θεωρίας: (1) στον νόμο του Κουλόμπ η απόσταση μπαίνει στο τετράγωνο — διπλάσιο $r$ σημαίνει $F/4$ , όχι $F/2$ · (2) οι δυναμικές γραμμές πάνε από το + προς το − και όπου πυκνώνουν το πεδίο δυναμώνει. Σκέψου τις γραμμές σαν ισοϋψείς σε χάρτη βουνού: πυκνές γραμμές = «απότομη πλαγιά» = ισχυρό πεδίο.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Νόμος Κουλόμπ: $F = k \frac{|q_1| |q_2|}{r^2}$ , $k = 9 \times 10^9 \ \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2$ .
$F$ ανάλογη του γινομένου των φορτίων, αντιστρόφως ανάλογη του τετραγώνου της απόστασης.
Οι δυνάμεις στα δύο φορτία έχουν ίσα μέτρα και αντίθετες κατευθύνσεις (δράση–αντίδραση).
Ηλεκτρικό πεδίο: ο χώρος γύρω από φορτία όπου ένα δοκιμαστικό φορτίο δέχεται δύναμη — υπάρχει είτε το ελέγχουμε είτε όχι.
Δυναμικές γραμμές: από το + προς το −, πυκνές όπου το πεδίο είναι ισχυρό, δεν τέμνονται.

Πόσο ισχυρή είναι η ηλεκτρική δύναμη;

Η δύναμη είναι ανάλογη του γινομένου των φορτίων: διπλάσιο το ένα φορτίο → διπλάσια δύναμη· διπλάσια και τα δύο → τετραπλάσια.

Η δύναμη είναι αντιστρόφως ανάλογη του τετραγώνου της απόστασης: σε διπλάσια απόσταση η δύναμη πέφτει στο 1/4, σε τριπλάσια στο 1/9!