🎈

Καταστατική Εξίσωση των Αερίων

PV = nRT, νόμοι των αερίων, πυκνότητα και Mr αερίου

Πώς πετάει ένα αερόστατο θερμού αέρα;

Ο καυστήρας ζεσταίνει τον αέρα μέσα στο μπαλόνι. Η πίεση μένει ίδια, όμως στη μεγαλύτερη θερμοκρασία ο ίδιος όγκος χωράει λιγότερα μόρια. Ο ζεστός αέρας γίνεται αραιότερος από τον κρύο αέρα γύρω του, και το αερόστατο ανεβαίνει. Εδώ μαθαίνεις τη σχέση που συνδέει πίεση, όγκο, θερμοκρασία και mol ενός αερίου: την καταστατική εξίσωση $PV = nRT$ .

Τα μεγέθη που περιγράφουν ένα αέριο

Η κατάσταση ενός αερίου περιγράφεται πλήρως από τέσσερα μεγέθη: πίεση $P$ , όγκο $V$ , απόλυτη θερμοκρασία $T$ και ποσότητα $n$ (mol). Η πίεση οφείλεται στις συγκρούσεις των μορίων με τα τοιχώματα του δοχείου.

Νόμοι των αερίων (όταν δύο από τα μεγέθη μένουν σταθερά):

Boyle ( $n$ , $T$ σταθερά): $PV = \text{σταθ.}$ — διπλάσια πίεση, μισός όγκος.
Charles ( $n$ , $P$ σταθερά): $V/T = \text{σταθ.}$ — ο όγκος ανάλογος της απόλυτης θερμοκρασίας.
Gay-Lussac ( $n$ , $V$ σταθερά): $P/T = \text{σταθ.}$
Avogadro ( $P$ , $T$ σταθερά): $V/n = \text{σταθ.}$

Περισσότερα για τους νόμους των αερίων θα δεις στη Φυσική της Β΄ Λυκείου.

Η καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων

Οι νόμοι συνδυάζονται σε μία σχέση:

$PV = nRT$

όπου $R$ η παγκόσμια σταθερά των αερίων. Την υπολογίζουμε από $1\ \text{mol}$ σε STP:

$R = \frac{PV}{nT} = \frac{1\ \text{atm} \cdot 22{,}4\ \text{L}}{1\ \text{mol} \cdot 273\ \text{K}} \approx 0{,}082\ \frac{\text{atm} \cdot \text{L}}{\text{mol} \cdot \text{K}}$

Με αυτή την τιμή του $R$ οι μονάδες είναι υποχρεωτικά: $P$ σε $\text{atm}$ , $V$ σε $\text{L}$ , $T$ σε $\text{K}$ , $n$ σε $\text{mol}$ .

$PV = nRT \qquad R = 0{,}082\ \frac{\text{atm} \cdot \text{L}}{\text{mol} \cdot \text{K}} \qquad T = \theta + 273$

Άλλαξε όγκο και θερμοκρασία στο αέριο με το έμβολο: στην ισόθερμη συμπίεση το γινόμενο $PV$ μένει σταθερό, ενώ με θέρμανση υπό σταθερό όγκο η πίεση ανεβαίνει ανάλογα με το $T$ — όλα αυτά είναι ειδικές περιπτώσεις της $PV = nRT$.

Πυκνότητα και σχετική μοριακή μάζα αερίου

Αφού $n = \dfrac{m}{M_r}$ , η καταστατική γράφεται $PV = \dfrac{m}{M_r}RT$ . Διαιρώντας με $V$ και αφού $\rho = m/V$ :

$P\,M_r = \rho\,R\,T$

Από τη μέτρηση της μάζας ορισμένου όγκου αερίου βρίσκουμε την $M_r$ του — έτσι ταυτοποιούνται άγνωστα αέρια.
Στις ίδιες $P$ και $T$ , η πυκνότητα ενός αερίου είναι ανάλογη της $M_r$ : το $CO_2$ ( $M_r = 44$ ) είναι βαρύτερο από τον αέρα, το $H_2$ ( $M_r = 2$ ) πολύ ελαφρύτερο.

$PV = \frac{m}{M_r}RT \qquad P\,M_r = \rho\,R\,T$

Ήξερες ότι;

Από την $P\,M_r = \rho\,R\,T$ φαίνεται ότι, στις ίδιες συνθήκες, η πυκνότητα ενός αερίου είναι ανάλογη της $M_r$ του. Ο αέρας έχει μέση $M_r \approx 29$ και το ήλιο $4$ . Άρα το ήλιο είναι περίπου 7 φορές αραιότερο από τον αέρα — γι' αυτό τα μπαλόνια με ήλιο ανεβαίνουν μόνα τους.

Μέθοδος: προβλήματα καταστατικής εξίσωσης

Φέρε τα δεδομένα στις σωστές μονάδες: $\theta\ (^{\circ}\text{C}) + 273 \to \text{K}$ · $\text{mmHg}/760 \to \text{atm}$ · $\text{mL}/1000 \to \text{L}$ .
Αν δίνεται μάζα, μετάτρεψέ τη σε mol ( $n = m/M_r$ ) — ή χρησιμοποίησε κατευθείαν $PV = \frac{m}{M_r}RT$ .
Λύσε την $PV = nRT$ ως προς το ζητούμενο.
Αν αλλάζει η κατάσταση του ίδιου αερίου, μπορείς να γράψεις $\dfrac{P_1V_1}{T_1} = \dfrac{P_2V_2}{T_2}$ (σταθερό $n$ ).

Άσκηση: Ποιον όγκο καταλαμβάνουν $0{,}5\ \text{mol}$ αερίου στους $27\ ^{\circ}\text{C}$ και σε πίεση $2\ \text{atm}$ ;

Λύση: $T = 27 + 273 = 300\ \text{K}$ .

$V = \frac{nRT}{P} = \frac{0{,}5 \cdot 0{,}082 \cdot 300}{2} = \frac{12{,}3}{2} = 6{,}15\ \text{L}$

Άσκηση: (α) $1{,}6\ \text{g}$ ενός αερίου καταλαμβάνουν $1{,}23\ \text{L}$ στους $27\ ^{\circ}\text{C}$ και $1\ \text{atm}$ . Να βρεθεί η $M_r$ . (β) Να βρεθεί η πυκνότητα του $CO_2$ ( $M_r = 44$ ) στους $127\ ^{\circ}\text{C}$ και $4{,}1\ \text{atm}$ .

Λύση:

(α) $n = \dfrac{PV}{RT} = \dfrac{1 \cdot 1{,}23}{0{,}082 \cdot 300} = \dfrac{1{,}23}{24{,}6} = 0{,}05\ \text{mol}$ , άρα $M_r = \dfrac{1{,}6}{0{,}05} = 32$ (π.χ. $O_2$ ).

(β) $T = 400\ \text{K}$ : $\rho = \dfrac{P\,M_r}{RT} = \dfrac{4{,}1 \cdot 44}{0{,}082 \cdot 400} = \dfrac{180{,}4}{32{,}8} = 5{,}5\ \text{g/L}$ .

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Φιάλη όγκου $8{,}2\ \text{L}$ περιέχει $16\ \text{g}$ $O_2$ στους $27\ ^{\circ}\text{C}$ . ( $A_r$ : $O = 16$ , $N = 14$ , $R = 0{,}082\ \text{atm L/(mol K)}$ )

Δεδομένα: $V = 8{,}2\ \text{L}$ , $m = 16\ \text{g}$ , $M_r = 32$ , $T = 300\ \text{K}$ .

Ζητούμενα: (α) τα mol, (β) η πίεση, (γ) η πίεση αν η φιάλη θερμανθεί στους $127\ ^{\circ}\text{C}$ , (δ) πόσα g $N_2$ πρέπει να προστεθούν στους $27\ ^{\circ}\text{C}$ ώστε η πίεση να γίνει $3\ \text{atm}$ .

Λύση:

(α) $n = \dfrac{16}{32} = 0{,}5\ \text{mol}$

(β) $P = \dfrac{nRT}{V} = \dfrac{0{,}5 \cdot 0{,}082 \cdot 300}{8{,}2} = \dfrac{12{,}3}{8{,}2} = 1{,}5\ \text{atm}$

(γ) Σταθερός όγκος και $n$ : $\dfrac{P_2}{P_1} = \dfrac{T_2}{T_1} \Rightarrow P_2 = 1{,}5 \cdot \dfrac{400}{300} = 2\ \text{atm}$

(δ) Για $3\ \text{atm}$ χρειάζονται συνολικά $n = \dfrac{3 \cdot 8{,}2}{0{,}082 \cdot 300} = \dfrac{24{,}6}{24{,}6} = 1\ \text{mol}$ αερίων. Άρα $1 - 0{,}5 = 0{,}5\ \text{mol}\ N_2 = 0{,}5 \cdot 28 = 14\ \text{g}$ .

Απάντηση: $0{,}5\ \text{mol}$ · $1{,}5\ \text{atm}$ · $2\ \text{atm}$ · $14\ \text{g}$ $N_2$ .

Γρήγορος έλεγχος

$2\ \text{mol}$ αερίου βρίσκονται σε δοχείο $10\ \text{L}$ στους $27\ ^{\circ}\text{C}$ . Η πίεση είναι:

Γρήγορος έλεγχος

Υπό σταθερή θερμοκρασία ο όγκος ορισμένης ποσότητας αερίου υποδιπλασιάζεται. Η πίεση:

Γρήγορος έλεγχος

Στις ίδιες συνθήκες $P$ και $T$ , ποιο αέριο έχει τη μεγαλύτερη πυκνότητα; ( $A_r$ : $H = 1$ , $C = 12$ , $N = 14$ , $O = 16$ )

Πρόκληση

η φιάλη στον ήλιο. Μια φιάλη όγκου $8{,}2\ \text{L}$ περιέχει οξυγόνο σε πίεση $30\ \text{atm}$ στους $27\ ^{\circ}\text{C}$ . Η βαλβίδα ασφαλείας ανοίγει στις $36\ \text{atm}$ . ( $A_r$ : $O = 16$ , $R = 0{,}082\ \text{atm L mol}^{-1}\text{K}^{-1}$ ) (α) Πόσα g $O_2$ περιέχει; (β) Ποια θα είναι η πίεση αν η φιάλη ζεσταθεί στους $127\ ^{\circ}\text{C}$ ; (γ) Σε ποια θερμοκρασία ανοίγει η βαλβίδα;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

(α) $n = \dfrac{PV}{RT} = \dfrac{30 \cdot 8{,}2}{0{,}082 \cdot 300} = \dfrac{246}{24{,}6} = 10\ \text{mol}$ → $m = 10 \cdot 32 = 320\ \text{g}$ .

(β) Ο όγκος και τα mol μένουν σταθερά, άρα $\dfrac{P_1}{T_1} = \dfrac{P_2}{T_2}$ : $P_2 = 30 \cdot \dfrac{400}{300} = 40\ \text{atm}$ . Επειδή $40 > 36$ , η βαλβίδα θα έχει ήδη ανοίξει νωρίτερα.

(γ) $T = 300 \cdot \dfrac{36}{30} = 360\ \text{K}$ , δηλαδή $360 - 273 = 87\ ^{\circ}\text{C}$ .

Απάντηση: (α) $320\ \text{g}$ , (β) $40\ \text{atm}$ (η βαλβίδα θα ανοίξει πριν φτάσει εκεί), (γ) $87\ ^{\circ}\text{C}$ — θερμοκρασία που μπορεί να φτάσει ένα κλειστό αυτοκίνητο στον ήλιο.

Συνηθισμένα λάθη

Θερμοκρασία σε $^{\circ}\text{C}$ . Στην $PV = nRT$ βάζεις πάντα Kelvin.
Όγκος σε mL. Με $R = 0{,}082$ ο όγκος μπαίνει σε λίτρα.
Πίεση σε mmHg. Διαίρεσε με $760$ για να πάρεις atm.
$V_m = 22{,}4$ εκτός STP. Σε άλλες συνθήκες ο γραμμομοριακός όγκος είναι διαφορετικός· υπολόγισε με την καταστατική.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Νόμοι: Boyle ( $PV$ σταθ.), Charles ( $V/T$ σταθ.), Gay-Lussac ( $P/T$ σταθ.), Avogadro ( $V/n$ σταθ.).
$PV = nRT$ με $R = 0{,}082\ \text{atm L mol}^{-1}\text{K}^{-1}$ — μονάδες: atm, L, K, mol.
$PV = \frac{m}{M_r}RT$ και $P\,M_r = \rho RT$ : από μάζα και όγκο αερίου βρίσκουμε την $M_r$ .
Ίδια $P$ , $T$ : πυκνότητα ανάλογη της $M_r$ .
Για το ίδιο αέριο: $\frac{P_1V_1}{T_1} = \frac{P_2V_2}{T_2}$ .

Τα μεγέθη που περιγράφουν ένα αέριο

Νόμοι των αερίων (όταν δύο από τα μεγέθη μένουν σταθερά):

Boyle (

n

T

σταθερά):

PV = \text{σταθ.}

— διπλάσια πίεση, μισός όγκος.

Charles (

n

P

σταθερά):

V/T = \text{σταθ.}

— ο όγκος ανάλογος της απόλυτης θερμοκρασίας.

Gay-Lussac (

n

V

σταθερά):

P/T = \text{σταθ.}

Avogadro (

P

T

σταθερά):

V/n = \text{σταθ.}

Περισσότερα για τους νόμους των αερίων θα δεις στη Φυσική της Β΄ Λυκείου.