Σειρές

Ορισμός Σειράς

Έστω $(a_n)$ μια ακολουθία πραγματικών αριθμών. Η έκφραση:

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots$$

ονομάζεται άπειρη σειρά ή απλά σειρά. Ο αριθμός $a_n$ λέγεται γενικός όρος της σειράς.

Μερικά Αθροίσματα

Το ν-οστό μερικό άθροισμα της σειράς είναι:

$$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = a_1 + a_2 + \ldots + a_n$$

Η ακολουθία $(S_n)$ των μερικών αθροισμάτων καθορίζει τη συμπεριφορά της σειράς.

Σύγκλιση και Απόκλιση Σειρών

Ορισμός

Μια σειρά $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ λέγεται συγκλίνουσα αν η ακολουθία $(S_n)$ των μερικών αθροισμάτων συγκλίνει σε πεπερασμένο όριο $S$:

$$S = \lim_{n \to \infty} S_n = \sum_{n=1}^{\infty} a_n$$

Διαφορετικά η σειρά λέγεται αποκλίνουσα.

Αναγκαία Συνθήκη Σύγκλισης

Αν η σειρά $\sum a_n$ συγκλίνει, τότε:

$$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$$

Προσοχή: Το αντίστροφο ΔΕΝ ισχύει! Η συνθήκη $a_n \to 0$ είναι αναγκαία αλλά όχι ικανή.

Αντιπαράδειγμα: Η αρμονική σειρά $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ αποκλίνει, παρόλο που $\frac{1}{n} \to 0$.

Γεωμετρική Σειρά

Η σειρά $$\sum_{n=0}^{\infty} a \cdot \lambda^n = a + a\lambda + a\lambda^2 + \ldots$$

ονομάζεται γεωμετρική σειρά με πρώτο όρο $a$ και λόγο $\lambda$.

Σύγκλιση Γεωμετρικής Σειράς

• Αν $|\lambda| < 1$: η σειρά συγκλίνει και $$\sum_{n=0}^{\infty} a\lambda^n = \frac{a}{1 - \lambda}$$
• Αν $|\lambda| \ge 1$: η σειρά αποκλίνει

Απόδειξη:

Το ν-οστό μερικό άθροισμα είναι:

$$S_n = a \cdot \frac{1 - \lambda^n}{1 - \lambda}$$

Για $|\lambda| < 1$: $\lambda^n \to 0$, άρα:

$$S = \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{a}{1 - \lambda}$$

Ιδιότητες Συγκλινουσών Σειρών

Αν $\sum a_n = A$ και $\sum b_n = B$ (συγκλίνουσες), τότε:

1. Γραμμικότητα

$$\sum (a_n \pm b_n) = A \pm B$$

$$\sum c \cdot a_n = c \cdot A \text{ για κάθε σταθερά } c$$

2. Αφαίρεση Πεπερασμένων Όρων

Η σύγκλιση σειράς δεν επηρεάζεται από αλλαγές σε πεπερασμένο πλήθος όρων.

Κριτήρια Σύγκλισης

1. Κριτήριο Σύγκρισης

Αν $0 \le a_n \le b_n$ για κάθε $n$:

• Αν $\sum b_n$ συγκλίνει $\Rightarrow$ $\sum a_n$ συγκλίνει
• Αν $\sum a_n$ αποκλίνει $\Rightarrow$ $\sum b_n$ αποκλίνει

2. Κριτήριο Λόγου (d'Alembert)

Έστω $a_n > 0$ και $L = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}$:

• Αν $L < 1$: η σειρά συγκλίνει
• Αν $L > 1$: η σειρά αποκλίνει
• Αν $L = 1$: το κριτήριο δεν αποφαίνεται

3. Κριτήριο Ρίζας (Cauchy)

Έστω $a_n \ge 0$ και $L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}$:

• Αν $L < 1$: η σειρά συγκλίνει
• Αν $L > 1$: η σειρά αποκλίνει
• Αν $L = 1$: το κριτήριο δεν αποφαίνεται

4. Κριτήριο Ολοκληρώματος

Αν $f(x)$ είναι θετική, φθίνουσα και συνεχής για $x \ge 1$ με $f(n) = a_n$:

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ συγκλίνει } \Leftrightarrow \int_1^{\infty} f(x) dx \text{ συγκλίνει}$$

Σημαντικές Σειρές

Αρμονική Σειρά

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots \text{ (αποκλίνει)}$$

Γενικευμένη Αρμονική Σειρά (p-σειρά)

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$$

• Συγκλίνει για $p > 1$
• Αποκλίνει για $p \le 1$

Τηλεσκοπική Σειρά

$$\sum_{n=1}^{\infty} (b_n - b_{n+1}) = b_1 - \lim_{n \to \infty} b_{n+1}$$

(αν το όριο υπάρχει)

Παραδείγματα

Παράδειγμα 1: Γεωμετρική σειρά

Να βρεθεί: $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2}{3^n}$

Λύση:

Έχουμε $a = 2$ και $\lambda = \frac{1}{3}$.

Επειδή $|\frac{1}{3}| < 1$:

$$S = \frac{2}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{2}{\frac{2}{3}} = 3$$

Παράδειγμα 2: Τηλεσκοπική σειρά

Να βρεθεί: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}$

Λύση:

Με ανάλυση σε απλά κλάσματα:

$$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$$

Το μερικό άθροισμα:

$$S_n = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \ldots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)$$

$$= 1 - \frac{1}{n+1}$$

Άρα:

$$S = \lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n+1}\right) = 1$$

Παράδειγμα 3: Κριτήριο λόγου

Να εξεταστεί η σύγκλιση: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n}$

Λύση:

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{n!} = \frac{n+1}{(n+1)^{n+1}} \cdot n^n = \frac{n^n}{(n+1)^n}$$

$$= \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \left(\frac{1}{1 + \frac{1}{n}}\right)^n \to \frac{1}{e} < 1$$

Άρα η σειρά συγκλίνει.

Παράδειγμα 4: p-σειρά

Να εξεταστεί: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$

Λύση:

Είναι p-σειρά με $p = 2 > 1$, άρα συγκλίνει.

(Ενδιαφέρον: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$ - Πρόβλημα Basel)

Παράδειγμα 5: Κριτήριο σύγκρισης

Να εξεταστεί: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + 1}$

Λύση:

Για κάθε $n \ge 1$:

$$0 < \frac{1}{n^2 + 1} < \frac{1}{n^2}$$

Επειδή $\sum \frac{1}{n^2}$ συγκλίνει (p-σειρά με $p = 2$), από το κριτήριο σύγκρισης η σειρά $\sum \frac{1}{n^2 + 1}$ συγκλίνει.

Εναλλασσόμενες Σειρές

Μια σειρά της μορφής $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} a_n$ με $a_n > 0$ λέγεται εναλλασσόμενη.

Κριτήριο Leibniz: Αν $a_n$ είναι φθίνουσα και $a_n \to 0$, τότε η εναλλασσόμενη σειρά συγκλίνει.

Παράδειγμα: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \ldots = \ln 2$