Γεωμετρική Πρόοδος

Ορισμός Γεωμετρικής Προόδου

Μια ακολουθία $(a_n)$ με $a_n \ne 0$ για κάθε $n$ λέγεται γεωμετρική πρόοδος (Γ.Π.) όταν κάθε όρος της (εκτός από τον πρώτο) προκύπτει από τον προηγούμενό του με πολλαπλασιασμό επί μια σταθερά $\lambda \ne 0$, που ονομάζεται κοινός λόγος.

Δηλαδή: $$a_{n+1} = a_n \cdot \lambda \text{ για κάθε } n \ge 1$$

ή ισοδύναμα: $$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \lambda \text{ (σταθερό)}$$

Γενικός Όρος Γεωμετρικής Προόδου

Ο ν-οστός όρος μιας Γ.Π. με πρώτο όρο $a_1$ και κοινό λόγο $\lambda$ δίνεται από τον τύπο:

$$a_n = a_1 \cdot \lambda^{n-1}$$

Απόδειξη:

• $a_1 = a_1$
• $a_2 = a_1 \cdot \lambda$
• $a_3 = a_2 \cdot \lambda = a_1 \cdot \lambda^2$
• $a_4 = a_3 \cdot \lambda = a_1 \cdot \lambda^3$
• Γενικά: $a_n = a_1 \cdot \lambda^{n-1}$

Εναλλακτικός τύπος:

$$a_n = a_k \cdot \lambda^{n-k}$$

αυτός ο τύπος δίνει τον ν-οστό όρο με βάση οποιονδήποτε γνωστό όρο $a_k$.

Ιδιότητες Γεωμετρικής Προόδου

1. Γεωμετρικός Μέσος

Σε μια Γ.Π. με θετικούς όρους, κάθε όρος είναι ο γεωμετρικός μέσος των δύο γειτονικών του:

$$a_n = \sqrt{a_{n-1} \cdot a_{n+1}}$$

ή ισοδύναμα: $$a_n^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1}$$

2. Γινόμενο Ισαπέχοντων Όρων

Για οποιουσδήποτε δείκτες με $i + j = k + l$ ισχύει:

$$a_i \cdot a_j = a_k \cdot a_l$$

Ειδικότερα: $a_1 \cdot a_n = a_2 \cdot a_{n-1} = a_3 \cdot a_{n-2} = \ldots$

3. Μονοτονία (για $a_1 > 0$)

• Αν $\lambda > 1$: η Γ.Π. είναι γνησίως αύξουσα
• Αν $0 < \lambda < 1$: η Γ.Π. είναι γνησίως φθίνουσα
• Αν $\lambda = 1$: η Γ.Π. είναι σταθερή
• Αν $\lambda < 0$: η Γ.Π. είναι εναλλασσόμενη (αλλάζει πρόσημο)

4. Πρόσημο Όρων

• Αν $\lambda > 0$: όλοι οι όροι έχουν το ίδιο πρόσημο με τον $a_1$
• Αν $\lambda < 0$: οι όροι εναλλάσσονται σε πρόσημο

Άθροισμα Όρων Γεωμετρικής Προόδου

Το άθροισμα των πρώτων $n$ όρων μιας Γ.Π. συμβολίζεται $S_n$:

Για $\lambda \ne 1$:

$$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - \lambda^n}{1 - \lambda} = a_1 \cdot \frac{\lambda^n - 1}{\lambda - 1}$$

Για $\lambda = 1$:

$$S_n = n \cdot a_1$$

Απόδειξη (για $\lambda \ne 1$):

$$S_n = a_1 + a_1\lambda + a_1\lambda^2 + \ldots + a_1\lambda^{n-1}$$

$$\lambda S_n = a_1\lambda + a_1\lambda^2 + \ldots + a_1\lambda^{n-1} + a_1\lambda^n$$

Αφαιρώντας:

$$S_n - \lambda S_n = a_1 - a_1\lambda^n$$

$$S_n(1 - \lambda) = a_1(1 - \lambda^n)$$

$$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - \lambda^n}{1 - \lambda}$$

Άθροισμα Άπειρης Γεωμετρικής Προόδου

Αν $|\lambda| < 1$, τότε το άθροισμα άπειρων όρων της Γ.Π. συγκλίνει:

$$S = \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{a_1}{1 - \lambda}$$

Αυτό ισχύει διότι $\lim_{n \to \infty} \lambda^n = 0$ όταν $|\lambda| < 1$.

Παραδείγματα

Παράδειγμα 1: Εύρεση γενικού όρου

Να βρεθεί ο γενικός όρος της Γ.Π. με $a_1 = 3$ και $\lambda = 2$.

Λύση:

$$a_n = a_1 \cdot \lambda^{n-1} = 3 \cdot 2^{n-1}$$

Οι πρώτοι όροι: $3, 6, 12, 24, 48, \ldots$

Παράδειγμα 2: Εύρεση αθροίσματος

Να βρεθεί το άθροισμα $S_6$ της Γ.Π. με $a_1 = 2$ και $\lambda = 3$.

Λύση:

$$S_6 = 2 \cdot \frac{3^6 - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \frac{729 - 1}{2} = 728$$

Επαλήθευση: $2 + 6 + 18 + 54 + 162 + 486 = 728$ \checkmark

Παράδειγμα 3: Πρόβλημα με άγνωστους

Σε μια Γ.Π. ισχύει $a_2 = 6$ και $a_5 = 162$. Να βρεθούν τα $a_1$, $\lambda$ και $a_8$.

Λύση:

Από τον γενικό τύπο:

• $a_2 = a_1 \cdot \lambda = 6$
• $a_5 = a_1 \cdot \lambda^4 = 162$

Διαιρώντας: $\frac{a_5}{a_2} = \lambda^3 = \frac{162}{6} = 27$

Άρα $\lambda = 3$ και $a_1 = \frac{6}{3} = 2$.

Τότε: $a_8 = 2 \cdot 3^7 = 2 \cdot 2187 = 4374$

Παράδειγμα 4: Άθροισμα άπειρης Γ.Π.

Να υπολογιστεί: $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots$

Λύση:

Έχουμε Γ.Π. με $a_1 = 1$ και $\lambda = \frac{1}{2}$.

Επειδή $|\lambda| = \frac{1}{2} < 1$, το άθροισμα συγκλίνει:

$$S = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$$

Παράδειγμα 5: Επαναλαμβανόμενο δεκαδικό

Να γραφτεί ως κλάσμα: $0.\overline{3} = 0.333\ldots$

Λύση:

$$0.\overline{3} = \frac{3}{10} + \frac{3}{100} + \frac{3}{1000} + \ldots$$

Γ.Π. με $a_1 = \frac{3}{10}$ και $\lambda = \frac{1}{10}$:

$$S = \frac{\frac{3}{10}}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{\frac{3}{10}}{\frac{9}{10}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$$

Σύγκριση Α.Π. και Γ.Π.