Σύγκλιση Ακολουθιών

Ορισμός Ορίου Ακολουθίας

Μια ακολουθία $(a_n)$ συγκλίνει στον πραγματικό αριθμό $L$ όταν για κάθε $\varepsilon > 0$ υπάρχει φυσικός αριθμός $n_0$ τέτοιος ώστε:

$$|a_n - L| < \varepsilon \text{ για κάθε } n > n_0$$

Γράφουμε: $$\lim_{n \to \infty} a_n = L$$ ή $a_n \to L$ καθώς $n \to \infty$

Διαισθητική ερμηνεία: Καθώς το $n$ μεγαλώνει, οι όροι $a_n$ πλησιάζουν όλο και περισσότερο τον αριθμό $L$ και τελικά "σταθεροποιούνται" κοντά σε αυτόν.

Βασικές Ιδιότητες Ορίων

Αν $\lim_{n \to \infty} a_n = L$ και $\lim_{n \to \infty} b_n = M$, τότε:

1. Γραμμικότητα

$$\lim_{n \to \infty} (a_n \pm b_n) = L \pm M$$

$$\lim_{n \to \infty} (c \cdot a_n) = c \cdot L \text{ για κάθε σταθερά } c$$

2. Γινόμενο και Πηλίκο

$$\lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n) = L \cdot M$$

$$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{L}{M} \text{ εφόσον } M \ne 0$$

3. Δύναμη και Ρίζα

$$\lim_{n \to \infty} a_n^k = L^k$$

$$\lim_{n \to \infty} \sqrt[k]{a_n} = \sqrt[k]{L} \text{ για } a_n \ge 0, L \ge 0$$

Θεμελιώδη Όρια

Βασικά όρια που πρέπει να γνωρίζετε:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$$

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^k} = 0 \text{ για κάθε } k > 0$$

$$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1 \text{ για κάθε } a > 0$$

$$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1$$

$$\lim_{n \to \infty} \lambda^n = 0 \text{ για } |\lambda| < 1$$

$$\lim_{n \to \infty} \lambda^n = +\infty \text{ για } \lambda > 1$$

$$\lim_{n \to \infty} \frac{n^k}{a^n} = 0 \text{ για } a > 1 \text{ (εκθετικό κερδίζει πολυώνυμο)}$$

$$\lim_{n \to \infty} \frac{a^n}{n!} = 0 \text{ (παραγοντικό κερδίζει εκθετικό)}$$

Φραγμένες Ακολουθίες

Ορισμός

Μια ακολουθία $(a_n)$ λέγεται:

• Άνω φραγμένη: αν $\exists M: a_n \le M$ για κάθε $n$
• Κάτω φραγμένη: αν $\exists m: a_n \ge m$ για κάθε $n$
• Φραγμένη: αν είναι άνω και κάτω φραγμένη, δηλ. $\exists K: |a_n| \le K$

Σημαντικό Θεώρημα

Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία είναι φραγμένη.

Το αντίστροφο δεν ισχύει! Π.χ. η $a_n = (-1)^n$ είναι φραγμένη αλλά δε συγκλίνει.

Κριτήριο Μονότονης Φραγμένης

Θεώρημα: Κάθε μονότονη και φραγμένη ακολουθία συγκλίνει.

Πιο συγκεκριμένα:

• Αύξουσα και άνω φραγμένη $\Rightarrow$ συγκλίνει στο supremum
• Φθίνουσα και κάτω φραγμένη $\Rightarrow$ συγκλίνει στο infimum

Κριτήριο Παρεμβολής (Squeeze Theorem)

Αν για κάθε $n \ge n_0$ ισχύει:

$$b_n \le a_n \le c_n$$

και $\lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} c_n = L$, τότε:

$$\lim_{n \to \infty} a_n = L$$

Τεχνικές Υπολογισμού Ορίων

1. Διαίρεση με την υψηλότερη δύναμη

Για ρητές εκφράσεις, διαιρούμε αριθμητή και παρονομαστή με τη μεγαλύτερη δύναμη του $n$.

Παράδειγμα:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 + 2n - 1}{5n^2 - 4n + 7}$$

Διαιρούμε με $n^2$:

$$= \lim_{n \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{n} - \frac{1}{n^2}}{5 - \frac{4}{n} + \frac{7}{n^2}} = \frac{3 + 0 - 0}{5 - 0 + 0} = \frac{3}{5}$$

2. Πολλαπλασιασμός με συζυγή

Για εκφράσεις με ρίζες.

Παράδειγμα:

$$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$$

Πολλαπλασιάζουμε με $\frac{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$:

$$= \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1) - n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = 0$$

3. Αλλαγή μεταβλητής

Μερικές φορές βοηθά να θέσουμε $m = n - k$ ή παρόμοια.

Παραδείγματα

Παράδειγμα 1: Ρητή συνάρτηση

$$\lim_{n \to \infty} \frac{2n^3 - 5n + 3}{4n^3 + n^2 - 1}$$

Διαιρώντας με $n^3$:

$$= \lim_{n \to \infty} \frac{2 - \frac{5}{n^2} + \frac{3}{n^3}}{4 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n^3}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

Παράδειγμα 2: Εκθετική ακολουθία

$$\lim_{n \to \infty} \frac{3^n + 2^n}{3^n - 2^n}$$

Διαιρούμε με $3^n$:

$$= \lim_{n \to \infty} \frac{1 + (\frac{2}{3})^n}{1 - (\frac{2}{3})^n} = \frac{1 + 0}{1 - 0} = 1$$

Παράδειγμα 3: Κριτήριο παρεμβολής

Να βρεθεί το $\lim_{n \to \infty} \frac{\sin n}{n}$.

Επειδή $-1 \le \sin n \le 1$, έχουμε:

$$-\frac{1}{n} \le \frac{\sin n}{n} \le \frac{1}{n}$$

Επειδή $\lim_{n \to \infty} (-\frac{1}{n}) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{\sin n}{n} = 0$$

Παράδειγμα 4: Αναδρομική ακολουθία

Έστω $a_1 = 1$ και $a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}$. Να δειχθεί ότι η $(a_n)$ συγκλίνει και να βρεθεί το όριό της.

Λύση:

1. Φραγμένη: Με επαγωγή, $a_n < 2$ για κάθε $n$.
2. Αύξουσα: $a_{n+1} - a_n = \sqrt{2 + a_n} - a_n > 0$ (αποδεικνύεται με επαγωγή)
3. Σύγκλιση: Από το κριτήριο μονότονης φραγμένης, υπάρχει το $L = \lim_{n \to \infty} a_n$.
4. Υπολογισμός: Στην $a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}$ παίρνουμε όριο: $$L = \sqrt{2 + L}$$ $$L^2 = 2 + L$$ $$L^2 - L - 2 = 0$$ $$(L-2)(L+1) = 0$$

Επειδή $a_n > 0$, έχουμε $L = 2$.

Απόκλιση στο Άπειρο

Όταν μια ακολουθία δεν συγκλίνει σε πεπερασμένο όριο:

• $\lim_{n \to \infty} a_n = +\infty$: οι όροι γίνονται αυθαίρετα μεγάλοι
• $\lim_{n \to \infty} a_n = -\infty$: οι όροι γίνονται αυθαίρετα μικροί
• Δεν υπάρχει όριο: η ακολουθία ταλαντεύεται (π.χ. $(-1)^n$)