Αριθμητική Πρόοδος

Ορισμός Αριθμητικής Προόδου

Μια ακολουθία $(a_n)$ λέγεται αριθμητική πρόοδος (Α.Π.) όταν κάθε όρος της (εκτός από τον πρώτο) προκύπτει από τον προηγούμενό του με πρόσθεση μιας σταθεράς $\omega$, που ονομάζεται κοινή διαφορά.

Δηλαδή: $$a_{n+1} = a_n + \omega \text{ για κάθε } n \ge 1$$

ή ισοδύναμα: $$a_{n+1} - a_n = \omega \text{ (σταθερό)}$$

Γενικός Όρος Αριθμητικής Προόδου

Ο ν-οστός όρος μιας Α.Π. με πρώτο όρο $a_1$ και κοινή διαφορά $\omega$ δίνεται από τον τύπο:

$$a_n = a_1 + (n-1)\omega$$

Απόδειξη:

• $a_1 = a_1$
• $a_2 = a_1 + \omega$
• $a_3 = a_2 + \omega = a_1 + 2\omega$
• $a_4 = a_3 + \omega = a_1 + 3\omega$
• Γενικά: $a_n = a_1 + (n-1)\omega$

Εναλλακτικοί τύποι:

$$a_n = a_k + (n-k)\omega$$

αυτός ο τύπος δίνει τον ν-οστό όρο με βάση οποιονδήποτε γνωστό όρο $a_k$.

Ιδιότητες Αριθμητικής Προόδου

1. Μεσαίος Όρος

Σε μια Α.Π., κάθε όρος (εκτός του πρώτου και του τελευταίου σε πεπερασμένη Α.Π.) είναι ο αριθμητικός μέσος των δύο γειτονικών του:

$$a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$$

2. Άθροισμα Ισαπέχοντων Όρων

Για οποιουσδήποτε δείκτες με $i + j = k + l$ ισχύει:

$$a_i + a_j = a_k + a_l$$

Ειδικότερα: $a_1 + a_n = a_2 + a_{n-1} = a_3 + a_{n-2} = \ldots$

3. Μονοτονία

• Αν $\omega > 0$: η Α.Π. είναι γνησίως αύξουσα
• Αν $\omega < 0$: η Α.Π. είναι γνησίως φθίνουσα
• Αν $\omega = 0$: η Α.Π. είναι σταθερή (όλοι οι όροι ίσοι)

Άθροισμα Όρων Αριθμητικής Προόδου

Το άθροισμα των πρώτων $n$ όρων μιας Α.Π. συμβολίζεται $S_n$ και δίνεται από:

$$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$

ή ισοδύναμα:

$$S_n = \frac{n[2a_1 + (n-1)\omega]}{2}$$

Απόδειξη: Γράφουμε το άθροισμα δύο φορές:

$$S_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_{n-1} + a_n$$

$$S_n = a_n + a_{n-1} + \ldots + a_2 + a_1$$

Προσθέτοντας κατά μέλη:

$$2S_n = (a_1 + a_n) + (a_2 + a_{n-1}) + \ldots + (a_n + a_1)$$

$$2S_n = n(a_1 + a_n)$$

$$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$

Παραδείγματα

Παράδειγμα 1: Εύρεση γενικού όρου

Να βρεθεί ο γενικός όρος της Α.Π. με $a_1 = 5$ και $\omega = 3$.

Λύση:

$$a_n = a_1 + (n-1)\omega = 5 + (n-1) \cdot 3 = 5 + 3n - 3 = 3n + 2$$

Επαλήθευση: $a_1 = 3(1) + 2 = 5$ \checkmark, $a_2 = 3(2) + 2 = 8 = 5 + 3$ \checkmark

Παράδειγμα 2: Εύρεση αθροίσματος

Να βρεθεί το άθροισμα $S_{20}$ της Α.Π. με $a_1 = 2$ και $\omega = 4$.

Λύση:

Βρίσκουμε πρώτα τον $a_{20}$:

$$a_{20} = 2 + (20-1) \cdot 4 = 2 + 76 = 78$$

Τότε:

$$S_{20} = \frac{20(2 + 78)}{2} = \frac{20 \cdot 80}{2} = 800$$

Παράδειγμα 3: Πρόβλημα με άγνωστους

Σε μια Α.Π. ισχύει $a_3 = 11$ και $a_7 = 23$. Να βρεθούν τα $a_1$, $\omega$ και $S_{10}$.

Λύση:

Από τον γενικό τύπο:

• $a_3 = a_1 + 2\omega = 11$
• $a_7 = a_1 + 6\omega = 23$

Αφαιρώντας: $4\omega = 12 \Rightarrow \omega = 3$

Αντικαθιστώντας: $a_1 + 6 = 11 \Rightarrow a_1 = 5$

Για το άθροισμα:

$$a_{10} = 5 + 9 \cdot 3 = 32$$

$$S_{10} = \frac{10(5 + 32)}{2} = \frac{10 \cdot 37}{2} = 185$$

Παράδειγμα 4: Άθροισμα αριθμών

Να βρεθεί το άθροισμα: $1 + 2 + 3 + \ldots + 100$.

Λύση:

Έχουμε Α.Π. με $a_1 = 1$, $a_{100} = 100$, $n = 100$.

$$S_{100} = \frac{100(1 + 100)}{2} = \frac{100 \cdot 101}{2} = 5050$$

Ειδικές Περιπτώσεις

Άθροισμα πρώτων $n$ φυσικών αριθμών:

$$1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2}$$

Άθροισμα πρώτων $n$ περιττών αριθμών:

$$1 + 3 + 5 + \ldots + (2n-1) = n^2$$

Άθροισμα πρώτων $n$ άρτιων αριθμών:

$$2 + 4 + 6 + \ldots + 2n = n(n+1)$$