Ορισμός Ακολουθίας

Τι είναι Ακολουθία;

Μια ακολουθία είναι μια συνάρτηση $a: \mathbb{N}^* \to \mathbb{R}$ που αντιστοιχίζει σε κάθε φυσικό αριθμό $n$ έναν πραγματικό αριθμό $a_n$. Συμβολίζουμε την ακολουθία ως $(a_n)$ ή $\{a_n\}$ και καλούμε το $a_n$ τον γενικό όρο ή ν-οστό όρο της ακολουθίας.

Οι όροι της ακολουθίας είναι: $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots$

Τρόποι Ορισμού Ακολουθίας

1. Με Γενικό Τύπο

Ο πιο συνηθισμένος τρόπος είναι να δοθεί ο γενικός τύπος $a_n$ ως συνάρτηση του $n$.

Παράδειγμα: Αν $a_n = 2n + 1$, τότε:

• $a_1 = 2 \cdot 1 + 1 = 3$
• $a_2 = 2 \cdot 2 + 1 = 5$
• $a_3 = 2 \cdot 3 + 1 = 7$

Άρα η ακολουθία είναι: $3, 5, 7, 9, 11, \ldots$

2. Με Αναδρομικό Τύπο

Δίνεται ο πρώτος όρος (ή οι πρώτοι όροι) και μια σχέση που συνδέει κάθε όρο με τους προηγούμενους.

Παράδειγμα: Αν $a_1 = 1$ και $a_{n+1} = 2a_n + 1$, τότε:

• $a_1 = 1$
• $a_2 = 2 \cdot 1 + 1 = 3$
• $a_3 = 2 \cdot 3 + 1 = 7$
• $a_4 = 2 \cdot 7 + 1 = 15$

3. Με Απαρίθμηση

Απλά αναφέρονται οι όροι της ακολουθίας με τη σειρά.

Παράδειγμα: Η ακολουθία $1, 4, 9, 16, 25, \ldots$ είναι η ακολουθία των τετραγώνων, με γενικό όρο $a_n = n^2$.

Είδη Ακολουθιών

Πεπερασμένες και Άπειρες Ακολουθίες

• Πεπερασμένη ακολουθία: Έχει συγκεκριμένο πλήθος όρων. Π.χ. $2, 4, 6, 8, 10$
• Άπειρη ακολουθία: Έχει άπειρο πλήθος όρων. Π.χ. $1, 2, 3, 4, \ldots$

Μονότονες Ακολουθίες

Μια ακολουθία $(a_n)$ λέγεται:

• Αύξουσα (γνησίως): αν $a_{n+1} > a_n$ για κάθε $n \in \mathbb{N}^*$
• Φθίνουσα (γνησίως): αν $a_{n+1} < a_n$ για κάθε $n \in \mathbb{N}^*$
• Μη φθίνουσα: αν $a_{n+1} \ge a_n$ για κάθε $n \in \mathbb{N}^*$
• Μη αύξουσα: αν $a_{n+1} \le a_n$ για κάθε $n \in \mathbb{N}^*$

Παράδειγμα: Η ακολουθία $a_n = \frac{1}{n}$ είναι γνησίως φθίνουσα, διότι:

$$\frac{1}{n+1} < \frac{1}{n} \text{ για κάθε } n \ge 1$$

Φραγμένες Ακολουθίες

Μια ακολουθία $(a_n)$ λέγεται:

• Άνω φραγμένη: αν υπάρχει $M \in \mathbb{R}$ τέτοιο ώστε $a_n \le M$ για κάθε $n$
• Κάτω φραγμένη: αν υπάρχει $m \in \mathbb{R}$ τέτοιο ώστε $a_n \ge m$ για κάθε $n$
• Φραγμένη: αν είναι άνω και κάτω φραγμένη, δηλαδή $m \le a_n \le M$

Παράδειγμα: Η ακολουθία $a_n = \frac{n}{n+1}$ είναι φραγμένη με $0 < a_n < 1$ για κάθε $n \ge 1$.

Ειδικές Ακολουθίες

Σταθερή Ακολουθία

Όλοι οι όροι είναι ίσοι: $a_n = c$ για κάθε $n$, όπου $c$ σταθερά.

Εναλλασσόμενη Ακολουθία

Οι όροι εναλλάσσονται σε πρόσημο. Π.χ. $a_n = (-1)^n$ δίνει $-1, 1, -1, 1, \ldots$

Ακολουθία Fibonacci

Ορίζεται αναδρομικά: $F_1 = 1$, $F_2 = 1$, $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$

Δηλαδή: $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \ldots$

Συμβολισμός

Σημαντικές Παρατηρήσεις

1. Ο δείκτης $n$ μπορεί να ξεκινά από οποιονδήποτε ακέραιο (συνήθως 1 ή 0).
2. Δύο ακολουθίες είναι ίσες αν έχουν τους ίδιους όρους στις ίδιες θέσεις.
3. Η μονοτονία εξετάζεται συγκρίνοντας διαδοχικούς όρους ή μελετώντας το πρόσημο της διαφοράς $a_{n+1} - a_n$.