Διασπορά

Εισαγωγή στη Διασπορά

Η διασπορά (variance) είναι ένα θεμελιώδες μέτρο διασποράς που μετρά πόσο «απλωμένες» είναι οι τιμές ενός συνόλου δεδομένων γύρω από τη μέση τιμή. Αποτελεί τη βάση για πολλές στατιστικές μεθόδους.

Ορισμός Διασποράς

Διασπορά Πληθυσμού

Για έναν πληθυσμό $N$ τιμών $x_1, x_2, \ldots, x_N$ με μέση τιμή $\mu$, η διασπορά πληθυσμού συμβολίζεται με $\sigma^2$ και ορίζεται:

$$\sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2$$

Διασπορά Δείγματος

Για ένα δείγμα $n$ τιμών με μέση τιμή $\bar{x}$, η διασπορά δείγματος συμβολίζεται με $s^2$ και ορίζεται:

$$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$$

Η διαίρεση με $n-1$ (αντί για $n$) δίνει αμερόληπτη εκτίμηση της διασποράς του πληθυσμού.

Εναλλακτικός Τύπος Υπολογισμού

Ένας πιο βολικός τύπος για τον υπολογισμό είναι:

$$\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{N} - \mu^2 = \overline{x^2} - \bar{x}^2$$

Δηλαδή: Διασπορά = (Μέσος τετραγώνων) - (Τετράγωνο μέσου)

Διασπορά για Ομαδοποιημένα Δεδομένα

Όταν η τιμή $x_i$ έχει συχνότητα $f_i$:

$$\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{k} f_i (x_i - \bar{x})^2}{n}$$

ή με τον εναλλακτικό τύπο:

$$\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{k} f_i x_i^2}{n} - \bar{x}^2$$

Ιδιότητες της Διασποράς

Ιδιότητα 1: Μη Αρνητικότητα

$$\sigma^2 \geq 0$$

Η διασπορά είναι μηδέν μόνο όταν όλες οι τιμές είναι ίσες.

Ιδιότητα 2: Γραμμικός Μετασχηματισμός

Αν $y_i = a \cdot x_i + b$, τότε:

$$\sigma_y^2 = a^2 \cdot \sigma_x^2$$

Προσοχή: Η πρόσθεση σταθεράς $b$ δεν επηρεάζει τη διασπορά!

Ιδιότητα 3: Διασπορά Αθροίσματος

Αν $X$ και $Y$ είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές:

$$\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$$

Ιδιότητα 4: Εναλλακτική Έκφραση

$$\sigma^2 = E(X^2) - [E(X)]^2$$

Ερμηνεία της Διασποράς

• Μικρή διασπορά: Οι τιμές συγκεντρώνονται κοντά στη μέση τιμή
• Μεγάλη διασπορά: Οι τιμές είναι διασκορπισμένες μακριά από τη μέση τιμή

Μονάδες Μέτρησης

Η διασπορά έχει μονάδες ίσες με το τετράγωνο των μονάδων των δεδομένων. Αυτό είναι ένα μειονέκτημα που ξεπερνιέται με τη χρήση της τυπικής απόκλισης.