Συσχέτιση

Εισαγωγή στη Συσχέτιση

Η συσχέτιση (correlation) μετρά τη γραμμική σχέση μεταξύ δύο μεταβλητών. Μας δείχνει αν οι μεταβλητές τείνουν να αυξάνονται ή να μειώνονται μαζί και πόσο ισχυρή είναι αυτή η τάση.

Συνδιακύμανση (Covariance)

Πριν ορίσουμε τη συσχέτιση, πρέπει να κατανοήσουμε τη συνδιακύμανση.

Ορισμός Συνδιακύμανσης

Για δύο μεταβλητές $X$ και $Y$ με $n$ ζεύγη παρατηρήσεων $(x_i, y_i)$:

$$\text{Cov}(X, Y) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$$

ή ισοδύναμα:

$$\text{Cov}(X, Y) = \overline{xy} - \bar{x} \cdot \bar{y}$$

Ερμηνεία Συνδιακύμανσης

• $\text{Cov}(X,Y) > 0$: Θετική σχέση (αυξάνονται μαζί)
• $\text{Cov}(X,Y) < 0$: Αρνητική σχέση (η μία αυξάνεται, η άλλη μειώνεται)
• $\text{Cov}(X,Y) = 0$: Καμία γραμμική σχέση

Συντελεστής Συσχέτισης Pearson

Ο συντελεστής συσχέτισης Pearson συμβολίζεται με $r$ (για δείγμα) ή $\rho$ (για πληθυσμό) και ορίζεται:

$$r = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sigma_X \cdot \sigma_Y} = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2} \cdot \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2}}$$

Εναλλακτικός Τύπος

$$r = \frac{n\sum x_i y_i - (\sum x_i)(\sum y_i)}{\sqrt{[n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2][n\sum y_i^2 - (\sum y_i)^2]}}$$

Ιδιότητες του Συντελεστή r

Όρια

$$-1 \leq r \leq 1$$

Ερμηνεία Τιμών

Ειδικές Περιπτώσεις

• $r = 1$: Τέλεια θετική γραμμική συσχέτιση
• $r = -1$: Τέλεια αρνητική γραμμική συσχέτιση
• $r = 0$: Καμία γραμμική συσχέτιση

Ιδιότητες της Συσχέτισης

Ιδιότητα 1: Συμμετρία

$$r_{XY} = r_{YX}$$

Ιδιότητα 2: Ανεξαρτησία από Μονάδες

Ο συντελεστής $r$ δεν επηρεάζεται από αλλαγές κλίμακας ή μετατόπιση:

Αν $U = aX + b$ και $V = cY + d$ με $a, c > 0$, τότε:

$$r_{UV} = r_{XY}$$

Ιδιότητα 3: Γραμμική Σχέση

Αν $Y = aX + b$ (τέλεια γραμμική σχέση):

• $r = 1$ αν $a > 0$
• $r = -1$ αν $a < 0$

Συντελεστής Προσδιορισμού

Ο συντελεστής προσδιορισμού $r^2$ (ή $R^2$) εκφράζει το ποσοστό της μεταβλητότητας του $Y$ που «εξηγείται» από τη γραμμική σχέση με το $X$:

$$R^2 = r^2$$

• $R^2 = 0.64$ σημαίνει ότι το 64% της μεταβλητότητας του $Y$ εξηγείται από το $X$.

Προσοχή: Συσχέτιση ≠ Αιτιότητα

Σημαντικό: Η ύπαρξη συσχέτισης δεν σημαίνει αιτιώδη σχέση!

• Η συσχέτιση μετρά μόνο τη γραμμική σχέση
• Μπορεί να υπάρχει ισχυρή μη γραμμική σχέση με $r \approx 0$
• Η συσχέτιση μπορεί να οφείλεται σε τρίτο παράγοντα